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2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线方程可得其斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可得到结果.
【详解】因为直线，即
所以，且
所以
故选:D.
2．直线与直线平行，则它们的距离为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是
故答案为2．
3．已知，，且，则实数t的值为（ ）
A．B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：B.
4．圆O1：和圆O2：的位置关系是
A．相离B．相交C．外切D．内切
【答案】B
【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．
【解析】圆与圆的位置关系．
5．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．
【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.
∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．
故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
6．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.
【详解】设，因为的中点为，
所以，所以，
又因为在圆上，所以，
所以的轨迹方程即为，
故选：C.
7．已知AB是圆内过点的最短弦，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】求圆的标准方程，确定圆心半径，找到最短弦条件，求出最短弦长.
【详解】
设圆为，其标准方程为，
则圆心坐标为，半径为3，
过的最短的弦满足为在弦上垂足时，则
，
则，
故选：C.
8．曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要求的实数的取值范围即为直线斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值；当直线过点时，由和的坐标求出此时直线的斜率，根据两种情况求出的斜率得出的取值范围．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线过，，
又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，
当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，
解得：；
当直线过点时，直线的斜率为，
则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为．
故选：．
二、多选题
9．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程.
【详解】若截距都为0，则直线为；
若截距不为0，令直线为，则，
所以直线为；
综上，所求直线方程为或.
故选：AC
10．设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（ ）
A．－1B．
C．D．
【答案】BD
【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，求直线斜率.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为1,
当直线l斜率不存在时，直线显然与圆不相切.
当直线l斜率存在时，设l：，即.
又l与圆相切，则圆心到直线距离．解得.
故选：BD
11．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.
【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，
因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，
所以的最大值为，C错，
因为可化为，
故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，
故选：ABD.
12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
三、填空题
13．已知点，则直线的斜率为2，则
【答案】
【分析】根据斜率公式计算即可.
【详解】依题意，得，所以.
故答案为：
14．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则等于
【答案】
【分析】利用椭圆的定义可求得的值.
【详解】在椭圆中，，由椭圆定义可得.
故答案为：.
15．若点在圆的内部，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为点在圆的内部，
所以，解得，
故答案为：
16．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点M关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：
四、解答题
17．已知直线经过直线与直线的交点.
（1）若直线平行于直线，求直线的方程．
（2）若直线垂直于直线，求直线的方程．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）联立方程组求出点，由点，且所求直线与直线平行，设所求直线的斜率为，利用点斜式即可求出的方程．
（2）由于点，且所求直线与直线垂直，设所求直线的斜率为利用点斜式即可求出的方程．
【详解】由，解得，
交点的坐标为
（1）直线的斜率为
又直线l平行于直线，
过点的直线的方程为
整理得
（2）直线、垂直于直线
过点的直线的方程为
整理得.
【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
五、问答题
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在y轴上；
(2)焦距为4，且经过点；
(3)经过点，的椭圆标准方程.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解.
（2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解.
（3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解.
【详解】（1）不妨设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意，所以，分以下两种情形来讨论，
情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上，
不妨设椭圆的标准方程为，
则，
所以椭圆的标准方程为；
情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上，
不妨设椭圆的标准方程为，
则，
所以椭圆的标准方程为；
综上所述，椭圆的标准方程为或.
（3）由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点，
所以，所以，且长轴端点在轴上，
所以椭圆的标准方程为.
六、解答题
19．已知圆过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先设圆的一般方程为，结合题意有，解出D，E，F值，代入即可求得圆的一般方程；
（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线的斜率不存在时，满足题意；②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，由点到直线的距离公式求得的值，即可得到直线的方程，再综合在这两种情况即可．
【详解】（1）设圆的一般方程为，圆心，
根据题意有，解得，
故所求圆的一般方程为，
（2）如图所示，，设是线段的中点，则，，
又，∴在中，得，
当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为．
当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式，得，此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
20．如图所示，平面，点M在以为直径的上，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明和，得证平面，所以平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为为的直径，点M在弧上，所以.
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以A为原点，所在的直线为y轴，
过点A且垂直的直线为x轴，AP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，
所以是边长为1的等边三角形，所以，
又，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，令，得，，
.易知是平面的一个法向量，
，
由图知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21．已知曲线：.
（1）当为何值时，曲线表示圆；
（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由圆的一般方程所满足的条件列出不等式，解之即可；
（2）将转化为，即，然后直线与圆联立，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可.
【详解】（1）由，得.
（2）设，，由得，即.
将直线方程与曲线：联立并消去得
，由韦达定理得①，②，
又由得；
∴.
将①、②代入得，满足判别式大于0.
22．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1）解：连接，∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
（2）解：由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，，
则，
∵直线与平面所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以，．
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线方程可得其斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可得到结果.
【详解】因为直线，即
所以，且
所以
故选:D.
2．直线与直线平行，则它们的距离为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是
故答案为2．
3．已知，，且，则实数t的值为（ ）
A．B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：B.
4．圆O1：和圆O2：的位置关系是
A．相离B．相交C．外切D．内切
【答案】B
【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．
【解析】圆与圆的位置关系．
5．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．
【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.
∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．
故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
6．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.
【详解】设，因为的中点为，
所以，所以，
又因为在圆上，所以，
所以的轨迹方程即为，
故选：C.
7．已知AB是圆内过点的最短弦，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】求圆的标准方程，确定圆心半径，找到最短弦条件，求出最短弦长.
【详解】
设圆为，其标准方程为，
则圆心坐标为，半径为3，
过的最短的弦满足为在弦上垂足时，则
，
则，
故选：C.
8．曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要求的实数的取值范围即为直线斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值；当直线过点时，由和的坐标求出此时直线的斜率，根据两种情况求出的斜率得出的取值范围．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线过，，
又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，
当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，
解得：；
当直线过点时，直线的斜率为，
则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为．
故选：．
二、多选题
9．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程.
【详解】若截距都为0，则直线为；
若截距不为0，令直线为，则，
所以直线为；
综上，所求直线方程为或.
故选：AC
10．设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（ ）
A．－1B．
C．D．
【答案】BD
【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，求直线斜率.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为1,
当直线l斜率不存在时，直线显然与圆不相切.
当直线l斜率存在时，设l：，即.
又l与圆相切，则圆心到直线距离．解得.
故选：BD
11．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.
【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，
因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，
所以的最大值为，C错，
因为可化为，
故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，
故选：ABD.
12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
三、填空题
13．已知点，则直线的斜率为2，则
【答案】
【分析】根据斜率公式计算即可.
【详解】依题意，得，所以.
故答案为：
14．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则等于
【答案】
【分析】利用椭圆的定义可求得的值.
【详解】在椭圆中，，由椭圆定义可得.
故答案为：.
15．若点在圆的内部，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为点在圆的内部，
所以，解得，
故答案为：
16．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点M关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：
四、解答题
17．已知直线经过直线与直线的交点.
（1）若直线平行于直线，求直线的方程．
（2）若直线垂直于直线，求直线的方程．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）联立方程组求出点，由点，且所求直线与直线平行，设所求直线的斜率为，利用点斜式即可求出的方程．
（2）由于点，且所求直线与直线垂直，设所求直线的斜率为利用点斜式即可求出的方程．
【详解】由，解得，
交点的坐标为
（1）直线的斜率为
又直线l平行于直线，
过点的直线的方程为
整理得
（2）直线、垂直于直线
过点的直线的方程为
整理得.
【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
五、问答题
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在y轴上；
(2)焦距为4，且经过点；
(3)经过点，的椭圆标准方程.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解.
（2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解.
（3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解.
【详解】（1）不妨设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意，所以，分以下两种情形来讨论，
情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上，
不妨设椭圆的标准方程为，
则，
所以椭圆的标准方程为；
情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上，
不妨设椭圆的标准方程为，
则，
所以椭圆的标准方程为；
综上所述，椭圆的标准方程为或.
（3）由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点，
所以，所以，且长轴端点在轴上，
所以椭圆的标准方程为.
六、解答题
19．已知圆过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先设圆的一般方程为，结合题意有，解出D，E，F值，代入即可求得圆的一般方程；
（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线的斜率不存在时，满足题意；②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，由点到直线的距离公式求得的值，即可得到直线的方程，再综合在这两种情况即可．
【详解】（1）设圆的一般方程为，圆心，
根据题意有，解得，
故所求圆的一般方程为，
（2）如图所示，，设是线段的中点，则，，
又，∴在中，得，
当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为．
当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式，得，此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
20．如图所示，平面，点M在以为直径的上，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明和，得证平面，所以平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为为的直径，点M在弧上，所以.
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以A为原点，所在的直线为y轴，
过点A且垂直的直线为x轴，AP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，
所以是边长为1的等边三角形，所以，
又，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，令，得，，
.易知是平面的一个法向量，
，
由图知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21．已知曲线：.
（1）当为何值时，曲线表示圆；
（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由圆的一般方程所满足的条件列出不等式，解之即可；
（2）将转化为，即，然后直线与圆联立，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可.
【详解】（1）由，得.
（2）设，，由得，即.
将直线方程与曲线：联立并消去得
，由韦达定理得①，②，
又由得；
∴.
将①、②代入得，满足判别式大于0.
22．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1）解：连接，∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
（2）解：由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，，
则，
∵直线与平面所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以，．
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