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2023-2024学年宁夏回族自治区银川市西夏区宁夏育才中学高一上学期11月期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区银川市西夏区宁夏育才中学高一上学期11月期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，问答题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：A
2．计算，结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【详解】.
故选：B
3．计算：（ ）
A．10B．1C．2D．
【答案】B
【分析】应用对数的运算性质求值即可.
【详解】.
故选：B
4．已知，则“”的一个必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件，
由不能得到，，，比如，
故选：D
5．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的充分条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，存在量词命题的否定，充分条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①，命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②，命题“”是全称量词命题，故②正确；
对于③，“”的否定为“”，故③错误；
对于④，当时，，
故由不能推出，
所以命题“是的充分条件”是假命题，故④错误.
故选：B.
6．已知a,b,c,d∈R,则下列说法中一定正确的是
A．若a＞b,c＞b,则a＞cB．若a＞－b,则c－a＜c＋b
C．若a＞b,c＜d,则D．若,则－a＜－b
【答案】B
【分析】对于，令，，可判断；对于，利用不等式的性质可证明一定成立；
对于，由，可判断；对于，若，可判断.
【详解】对于，若，，，显然不成立；
对于，若，则，则，一定成立；
对于，若，，则不成立；
对于，若，，有，但不成立，故选B.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于中档题.利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
7．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】D
【分析】根据新定义运算得到关于的一元二次不等式，解之即可.
【详解】因为，
所以，
整理得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
8．我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，，当且仅当时取等号，
所以该三角形面积S的最大值为.
故选：B
二、多选题
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AD
【分析】根据函数的基本概念进行判断即可.
【详解】对于A，与表示同一个函数，故A正确；
对于B，与对应法则不同，不表示同一个函数，故B错误；
对于C，与不表示同一个函数，故C错误；
对于D，与表示同一个函数，故D正确.
故选：AD
10．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．B．恒过定点
C．若时，D．若时，关于轴对称
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，则，故正确；
根据幂函数的图象恒过定点，故正确；
当时，，故函数上单调递增，
则，故错误；
当时，，定义域为，且，
故为偶函数，关于轴对称，故正确.
故选：
11．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对底数分情况讨论即可得答案.
【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．
故选：BC
【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.
12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，，使得
【答案】BCD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.
【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，
所以，故A错误；
对选项B，若，则，得，故B正确；
对选项C，若，则或，
因为，所以或，故C正确；
对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，
且在上单调递增，
所以，所以只需即可，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分母不等于零，偶次被开方式大于等于零，可得结果
【详解】解：由可得，整理得且，
解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．已知幂函数的图像过点，则= .
【答案】4
【分析】设，代入，求出，函数解析式，从而得到.
【详解】设幂函数，故，解得：，
则，则.
故答案为：4
15．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.
【详解】由得，
因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．已知函数的值域为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由指数函数的性质得到，要使得函数的值域为，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，
当时，可得，
因为函数的值域为，
所以函数在上必为增函数，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、计算题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数运算进行化简即可；
（2）利用对数运算进行化简即可.
【详解】（1）
=
（2）
．
五、问答题
18．设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据交集和并集的定义即可得解；
（2）由题意可得是的真子集，再根据集合的包含关系即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，；
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集，
又，故不为空集，
故（等号不同时成立），得，
所以实数的取值范围．
六、解答题
19．函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)计算，；
(2)求的解析式．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，，计算得到答案.
（2）令，则，则，再根据奇函数性质得到解析式.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，．
（2）令，则，则，
又函数是奇函数，，所以，
所以．
20．已知函数的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
(3)最小值为，最大值为
【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数、的方程组，解出这两个实数的值，即可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在区间上为减函数，任取、且，作差，因式分解，判断差值符号，由此可证得结论成立；
（3）由（2）中的结论可得出函数在区间上为减函数，由此可求得函数在区间上的最值.
【详解】（1）因为函数的图象过，，
所以，解得，因此；
（2）函数在上为减函数，
证明：设任意、，且，
则，
，所以，，
所以，即，
因此函数在上为减函数；
（3）由（2）知，函数在上为减函数，
，，
即在区间上的最小值为，最大值为.
21．已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；
（2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）解： 函数是定义域上的奇函数，
，即，解得．
此时，则，符合题意；
（2）解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
则不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即；
七、应用题
22．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；
（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．
详解：（1）依题意得，当时，；
当时，.
.
（2）当时，,
时, 取得最大值.
当时,
,
,
当或时, 取得最大值.
因为，
当公司参加培训的员工人数为或时，
培训机构可获得最大利润元.
点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．
一、单选题
1．已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：A
2．计算，结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【详解】.
故选：B
3．计算：（ ）
A．10B．1C．2D．
【答案】B
【分析】应用对数的运算性质求值即可.
【详解】.
故选：B
4．已知，则“”的一个必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件，
由不能得到，，，比如，
故选：D
5．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的充分条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，存在量词命题的否定，充分条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①，命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②，命题“”是全称量词命题，故②正确；
对于③，“”的否定为“”，故③错误；
对于④，当时，，
故由不能推出，
所以命题“是的充分条件”是假命题，故④错误.
故选：B.
6．已知a,b,c,d∈R,则下列说法中一定正确的是
A．若a＞b,c＞b,则a＞cB．若a＞－b,则c－a＜c＋b
C．若a＞b,c＜d,则D．若,则－a＜－b
【答案】B
【分析】对于，令，，可判断；对于，利用不等式的性质可证明一定成立；
对于，由，可判断；对于，若，可判断.
【详解】对于，若，，，显然不成立；
对于，若，则，则，一定成立；
对于，若，，则不成立；
对于，若，，有，但不成立，故选B.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于中档题.利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
7．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】D
【分析】根据新定义运算得到关于的一元二次不等式，解之即可.
【详解】因为，
所以，
整理得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
8．我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，，当且仅当时取等号，
所以该三角形面积S的最大值为.
故选：B
二、多选题
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AD
【分析】根据函数的基本概念进行判断即可.
【详解】对于A，与表示同一个函数，故A正确；
对于B，与对应法则不同，不表示同一个函数，故B错误；
对于C，与不表示同一个函数，故C错误；
对于D，与表示同一个函数，故D正确.
故选：AD
10．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．B．恒过定点
C．若时，D．若时，关于轴对称
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，则，故正确；
根据幂函数的图象恒过定点，故正确；
当时，，故函数上单调递增，
则，故错误；
当时，，定义域为，且，
故为偶函数，关于轴对称，故正确.
故选：
11．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对底数分情况讨论即可得答案.
【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．
故选：BC
【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.
12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，，使得
【答案】BCD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.
【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，
所以，故A错误；
对选项B，若，则，得，故B正确；
对选项C，若，则或，
因为，所以或，故C正确；
对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，
且在上单调递增，
所以，所以只需即可，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分母不等于零，偶次被开方式大于等于零，可得结果
【详解】解：由可得，整理得且，
解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．已知幂函数的图像过点，则= .
【答案】4
【分析】设，代入，求出，函数解析式，从而得到.
【详解】设幂函数，故，解得：，
则，则.
故答案为：4
15．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.
【详解】由得，
因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．已知函数的值域为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由指数函数的性质得到，要使得函数的值域为，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，
当时，可得，
因为函数的值域为，
所以函数在上必为增函数，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、计算题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数运算进行化简即可；
（2）利用对数运算进行化简即可.
【详解】（1）
=
（2）
．
五、问答题
18．设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据交集和并集的定义即可得解；
（2）由题意可得是的真子集，再根据集合的包含关系即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，；
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集，
又，故不为空集，
故（等号不同时成立），得，
所以实数的取值范围．
六、解答题
19．函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)计算，；
(2)求的解析式．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，，计算得到答案.
（2）令，则，则，再根据奇函数性质得到解析式.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，．
（2）令，则，则，
又函数是奇函数，，所以，
所以．
20．已知函数的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
(3)最小值为，最大值为
【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数、的方程组，解出这两个实数的值，即可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在区间上为减函数，任取、且，作差，因式分解，判断差值符号，由此可证得结论成立；
（3）由（2）中的结论可得出函数在区间上为减函数，由此可求得函数在区间上的最值.
【详解】（1）因为函数的图象过，，
所以，解得，因此；
（2）函数在上为减函数，
证明：设任意、，且，
则，
，所以，，
所以，即，
因此函数在上为减函数；
（3）由（2）知，函数在上为减函数，
，，
即在区间上的最小值为，最大值为.
21．已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；
（2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）解： 函数是定义域上的奇函数，
，即，解得．
此时，则，符合题意；
（2）解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
则不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即；
七、应用题
22．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；
（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．
详解：（1）依题意得，当时，；
当时，.
.
（2）当时，,
时, 取得最大值.
当时,
,
,
当或时, 取得最大值.
因为，
当公司参加培训的员工人数为或时，
培训机构可获得最大利润元.
点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．
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