2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】利用空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2．已知直线l过点A(-1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m=（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【分析】本题先建立方程，再求m的值.
【详解】设直线l的斜率为k，则，故.
故选：A.
【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，是基础题.
3．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直的数量积表示可求得结果.
【详解】由题意可知，，因此，.
故选：D.
4．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1C．D．3
【答案】B
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】由两直线平行，得，解得.
当时，直线与直线平行，故.
故选：B.
5．若圆的圆心在直线上，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到、的关系．
【详解】解：圆的圆心坐标是，圆的圆心在直线上，所以，即．
故选：C．
6．已知双曲线的一个焦点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线焦点坐标确定焦点位置，结合可求得双曲线方程，进而可求得结果.
【详解】由题知，该双曲线的焦点在轴上，，
所以，，，
由可得，解得：，
所以，即双曲线的方程为，
所以该双曲线的渐近线方程为．
故选：C.
7．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出当，此时圆心到该直线的距离，建立不等式，计算m的范围，即可．
【详解】当，此时圆心到MN的距离
要使得，则要求，故，解得，故选A．
【点睛】考查了点到直线距离公式，关键知道的意义，难度中等．
8．过椭圆的左焦点的直线与的一个交点为，与圆相切于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线与圆相切可得且，结合点、点分别是、的中点可得，，再结合椭圆定义进而可求得结果.
【详解】设椭圆的右焦点为，如图所示，
因为直线与圆相切，所以．
又，，所以．
又因为，所以是的中点，
又是的中点，所以，，
所以，
所以在中，，，
又点在椭圆上，所以由椭圆定义可知，
所以，解得，
即椭圆的离心率为．
故选：B.
二、多选题
9．已知直线，下列说法中正确的是（ ）
A．倾斜角为B．倾斜角为
C．斜率不存在D．斜率为0
【答案】BD
【分析】根据直线方程得到斜率，进而得到倾斜角.
【详解】解：因为直线方程为，
所以斜率为0，倾斜角为，
故选：BD
10．下列圆中与圆相切的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】求出圆的圆心及半径，求出圆心距，即可得出答案.
【详解】解：圆，化为，
则圆的圆心，半径，
对于A，圆心为，半径为，
圆心距为，
因为，所以两圆相交，故A不符题意；
对于B，圆心为，半径为，
圆心距为，
所以两圆外切，故B符合题意；
对于C，圆心为，半径为，
圆心距为，
所有两圆内切，故C符合题意；
对于D，圆心为，半径为，
圆心距为，
所以两圆外离，故D不符题意.
故选：BC.
11．下列结论判断正确的是（ ）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程（，，）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线
D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则
【答案】BD
【分析】对于A，由抛物线定义判断即可；
对于B，将方程化为椭圆的标准方程判断即可；
对于C，由双曲线定义判断即可；
对于D，分别求出两个双曲线的离心率，再代入通过计算判断即可.
【详解】对于A，由抛物线定义，直线不经过点（当时，与定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误；
对于B，方程（，，）可化为，且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程，故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项B正确；
对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点，距离之差等于（）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C错误；
对于D，双曲线（，）的离心率，双曲线（，）的离心率，故，故选项D正确.
故选：BD.
12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使得直线
B．存在点，使得平面
C．点到直线距离的最小值为
D．三棱锥的体积为
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，计算可判断A项，计算可判断B项，运用空间点到线的距离公式计算可判断C项，证明面，运用等体积法计算可判断D项.
【详解】以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，，，，，
所以，，，
设，则，
所以，
对于A项，，
所以，故A项错误；
对于B项，因为面，
所以面的一个法向量为，
又因为面，，
所以，解得，即，
所以存在点M位于的中点时，使得面，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
设，则，
所以点到直线的距离为（），
所以当时，，故C项正确；
对于D项，因为，面，面，所以面，
所以，
易得，，
所以，
所以，故D项错误．
故选：BC.
三、单空题
13．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ．
【答案】14
【分析】借助椭圆定义即可得.
【详解】由，则，由在椭圆上，故有,
又，所以.
故答案为：.
四、填空题
14．若点（2a，a+1）在圆x2+（y–1）2=5的内部，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据点（2a，a+1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，可得不等式4a2+a2＜5，解之即可求得a的取值范围
【详解】由题意，4a2+a2<5，解得–1故答案为．
【点睛】本题的考点是点与圆的位置关系，关键是由条件建立不等式，属于基础题．
五、单空题
15．椭圆中以点为中点的弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【分析】运用点差法设出弦的两端点坐标，分别代入椭圆方程，两式作差可得弦所在直线的斜率，结合点斜式方程即可求得结果.
【详解】设弦的两个端点分别为，，
根据题意可知为线段的中点，则，，
又根据椭圆的对称性可知，与坐标轴垂直时，其中点必在坐标轴上，
所以，，
，两式相减可得，
故直线方程为，即.
故答案为：.
六、填空题
16．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中均为正数，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】结合均值不等式即可直接求出结果.
【详解】因为直线，即，故，
由于点也在直线上，所以，
因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
故则的最小值为8，
故答案为：8.
七、问答题
17．已知的三个顶点为，，.
(1)求过点A且平行于的直线方程；
(2)求上的中线所在直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出所求直线的斜率，再根据点斜式方程求出直线方程即可；
（2）先求出的中点坐标，再根据两点式方程求出直线方程即可.
【详解】（1）由B、C两点的坐标可得，
因为所求直线与直线平行，故其斜率为，
由点斜式方程可得所求直线方程为，
整理得.
（2）中点坐标为，，
由两点式方程可得所求直线方程为，即.
18．已知双曲线的方程为：，直线.
（1）求双曲线的渐近线方程、离心率；
（2）若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.
【答案】⑴，；⑵.
【分析】（1）由双曲线方程求得，利用渐近线与离心率公式可得结果；⑵设直线方程为，与双曲线方程联立，利用判别式大于零列不等式可得结果.
【详解】⑴由得，
∴双曲线的渐近线方程为和
，
∴，
∴双曲线的离心率为
⑵把代入双曲线
得
由
得
解得.
【点睛】本题主要考查双曲线的方程，渐近线、离心率，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
19．已知点，，，是圆上的动点．
(1)求面积的最小值；
(2)求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图象求出圆上的点到直线距离的最小值，再运用两点间距离公式、三角形面积公式计算即可.
（2）设出，，由中点坐标公式可得，，结合点在圆上代入整理即可.
【详解】（1）如图所示，
由题知，，直线的方程为．
圆的标准方程为，则圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为．
设点到直线的距离为，则，
所以面积的最小值为．
（2）设，，由题意知，，则，，
又点在圆上，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程为，即．
20．点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线被椭圆截得的弦长为，求的值
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的，然后求解，即可得到方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式解得的值即可.
【详解】（1）由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．
可得，解得，进而，
所以椭圆方程为：.
（2）设直线与曲线的交点分别为
联立得,
,即
又，
，化简，
整理得，∴，符合题意.
综上，.
【点睛】本题考查了求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属于中档题.
八、证明题
21．如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）依题意可得 四边形是平行四边形，即可，从而得到平面，同理可得平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）在直三棱柱中，四边形为矩形，
因为，分别为，的中点，，，
四边形是平行四边形，．
平面，平面，平面，
同理可得平面．
平面，平面，，平面平面．
（2）由题知，平面，，
故以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，
设直线与平面所成的角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到其焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程与准线方程；
（2）直线与抛物线相交于两点(位于轴的两侧)，若，求证直线恒过定点.
【答案】（1）， ；（2）见详解
【解析】（1）先计算，根据抛物线的定义，可得，最后可得结果.
（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出，可得结果.
【详解】（1）因为在抛物线上，
，由抛物线的定义，
或
当时，，故舍去
所以，抛物线的方程为，
准线方程为
（2）设直线的方程为，由
，得，
设，
则.
由
得或.
当时，
位于轴的同侧，舍去；
当时，
位于轴的两侧，
即直线的方程为，
所以，直线恒过.
【点睛】本题主要考查抛物线中过顶点的问题，难点在于找到方程中的关系，属中档题.