2023-2024学年宁夏回族自治区银川市兴庆区唐徕中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区银川市兴庆区唐徕中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两集合之间元素的特征判断出，D正确，ABC均错误.
【详解】A选项，，但，故不是的子集，A错误；
B选项，，但，故不是的子集，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确.
故选：D
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举出反例得到充分性不成立，两边平方得到必要性成立.
【详解】若，满足，不能得到，充分性不成立，
因为，若，两边平方得，必要性成立.
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3．（），则b等于（ ）
A．B．34C．43D．35
【答案】A
【分析】根据分数指数幂的概念可以表示出
【详解】因为且，所以.
故选：A
4．设x，y均为正数，且，则xy的最大值为（ ）
A．1B．2C．4D．16
【答案】C
【分析】运用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为x，y均为正数，且，
所以，当且仅当时取等号，
故选：C
5．一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣3，0）B．（﹣3，0]C．[﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象列式可解得结果.
【详解】由一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，
则，解得﹣3＜k＜0.
综上，满足一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣3，0）.
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
6．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果
【详解】要使函数有意义，必须，解得且，
则函数的定义域为，
故选：D．
7．已知函数为奇函数，且，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义，结合给定值计算即可.
【详解】函数为奇函数，则，而，
所以.
故选：A
8．若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，
因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，否则当时，，不符合题意，
于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
二、多选题
9．关于的不等式的解集可能是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】BC
【分析】分情况讨论解不等式即可.
【详解】由，
得，
当，即时，该不等式的解集为或，
当，即时，该不等式的解集为或，
当，即时，该不等式的解集为或，
故选：BC.
10．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】设，则，可得，则，
对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对；
对于B选项，，则函数的值域为，B对；
对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数为非奇非偶函数，C错；
对于D选项，的单调增区间为，D对.
故选：ABD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】结合含有量词的命题的否定检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C，结合不等式的性质检验选项D．
【详解】对于，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对于B，因为，且，
当且仅当即时取等号,故B正确；
对于C，由不等式的解集为，
可知，，，
，，，故C正确
对于D，由“”可推出“”，由可得或，推不出“”，故D正确．
故选:BCD．
12．当时，下列不等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由幂函数和指数函数的单调性比大小即可.
【详解】为减函数，
又，均错；
又和均为增函数，B错；
对于D，，而，∴D正确.
故选：.
【点睛】本题考查比大小问题，属于压轴题.关键在于构造函数，利用幂函数与指数函数的单调性解决问题即可.
三、填空题
13．设，，求的值为 ．
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，．
故答案为：.
14．若，则x的值等于 ．
【答案】
【分析】通过指对互化即可求解．
【详解】因为，所以，
所以
故答案为：.
15．已知函数，则 ．
【答案】6
【分析】直接代入计算即可.
【详解】，
故答案为：6.
16．已知函数，其中常数，给出下列结论：
①是上的奇函数；
②当时，对任意恒成立；
③的图象关于和对称；
④若对，使得，则．
其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】作出 的图象, 由图象对各选项进行判断即可. 当 时, , 当
时, , 当 时, , 由图易知①正确, ③错误;
的图象是由 向右平移 个单位, 故可得②正确; 对于④主要需注意求 范围, 考虑在 0 附近的值以及临界值的取舍.
【详解】试题分析: , 其图象如下图所示, 由于图象关于原点对称, 故①正确;
时, , 故可得 的图象是由 向右平移 个单位, 故可得②正确;
观察图可知③错误;
对于④：当 , 即 时 , 故当 从负方向接近于 0 时, 不满足题意, 当 , 即 时, , 同 上可知不满足题意, 当 , 即 时, 要使得和 时相对应时, 需满足 ,即 , 故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】本题考查分段函数的图象，单调性，奇偶性等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，属于难题.
四、解答题
17．化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解.
【详解】（1）.
（2）.
18．计算或化简:
（1）；
（2）已知，，求的值.（用表示）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数运算法则直接计算可得结果；
（2）利用换底公式和对数运算法则化简可得结果.
【详解】（1）；
（2）.
19．设命题p：实数x满足，其中.命题q：实数x满足.
(1)当时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简命题p，q，再由命题p，q都为真求解；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得 是的真子集，由包含关系建立不等式组求解即可.
【详解】（1）当时，由，解得：，
故命题p：实数x满足.
由，得，或，
即，或，
则，或，
所以，
故命题q：实数x满足.
若命题p，q都为真，则，
∴，
∴实数的取值范围是.
（2）命题p：实数x满足，其中.
∵，，
由， 解得，
∵是的必要不充分条件，
，且，即 是的真子集，
∴， 解得，
∴的取值范围是．
20．已知关于的不等式的解集为或
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到1和是方程的两个实数根，再利用根与系数关系求解即可；
（2）根据题意得到，再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，即，.
所以实数，的值分别为1，2.
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为．
21．已知函数= （m）是定义在R上的奇函数
(1)求m的值
(2)根据函数单调性的定义证明在R上单调递增（备注：>0）
(3)若对，不等式)0恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）由奇函数性质求得参数值，再验证符合题意即可；
（2）根据单调性的定义证明；
（3）由奇函数化不等式为，再由增函数化为，然后由一元二次不等式恒成立得结论．
【详解】（1）是奇函数，∴，，
时，，满足，是奇函数，
所以；
（2）设任意两个实数满足，
则，
∵，∴，，∴，即，
所以在R上为单调递增；
（3）原不等式化为，
∵是奇函数，∴不等式化为，
又是增函数，所以，
∴问题转化为，恒成立，
设，，
，即时，，．
，即时，，无解；
，即时，，无解；
综上，．
【点睛】方法点睛：关于具有奇偶性和单调性函数的不等式恒成立问题，解题方法是利用奇偶性化不等式为，再由单调性化去“”，转化为一般的不等式，如一元二次不等式恒成立问题，再根据不等式的知识求得参数范围．
22．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)，
(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题知，时，，
于是，，解得.
所以，.根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.