2023-2024学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线与直线平行，则（ ）
A．0B．1C．D．1或
【答案】B
【分析】由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于的方程，可求．
【详解】解：因为直线与直线平行，
所以，
所以或，
当时，直线与直线重合，舍去，
故．
故选：B．
2．圆与圆外切，则的值为
A．3B．-5C．2或-5D．3或-5
【答案】C
【分析】根据两圆外切时，圆心距和两个圆的半径的关系计算.
【详解】圆，圆心为（-2，m），半径为3；
圆，圆心为（m，-1），半径为2；
已知两圆外切，则两个圆心的距离 ，
解得
故选C.
【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆外切时，圆心距等于两个圆的半径之和.
3．如图，在边长为的正方体中，（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】，再根据空间向量的数量积，即可得解．
【详解】解：在正方体中，平面，
所以，
所以．
故选：．
4．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.
【详解】圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选：C
5．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为基底表示空间向量，再利用数量积运算求解.
【详解】因为
所以
即
所以．
故选：C．
6．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
【详解】圆
由题意可得
最长弦为直径等于6，
最短的弦由垂径定理可得，
则四边形的面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题.
7．直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
8．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出的取值范围
【详解】将曲线的方程化简为
即表示以 为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：
当直线经过时最大，即，
当直线与下半圆相切时最小，
由圆心到直线 的距离等于半径2，可得：
解得 （舍去），或
结合图象可得
故选：D.
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC；直接求向量的模可判断B；分别求出在上的投影和与同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.
【详解】因为
所以，
所以，A正确；
因为，，所以B正确；
，因为，所以与不平行，故C错误；
在上的投影，与同向的单位向量为，
所以在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（ ）
A．B．向量与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量是D．点D到直线的距离为
【答案】BCD
【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.
【详解】，，，，所以，所以，故，A错误；
，B正确；
设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确；
，，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.
故选：BCD
11．已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
【答案】AC
【分析】首先判断点在圆外，则，即可判断A，根据判断B，设直线，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得的取值范围，即可判断C，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求出公共弦方程.
【详解】圆的圆心，半径，
又，所以，即点在圆外，
所以，故A正确；
，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；
设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；
设的中点为，则，又，
所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，
所以公共弦方程为，故D错误．

故选：AC．
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．
【详解】由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A错误；
圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，
曲线化为标准式，
圆心距为，解得，故C正确；
设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
13．已知空间向量，，若，则实数 ．
【答案】1
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：1
14．若与平行，则的距离为 .
【答案】
【分析】先由两直线平行求解，再利用平行线间的距离公式，即得解
【详解】由题意，直线，
直线，故，即.
故，，
则的距离.
故答案为：
15．若，向量与平行且，则 ．
【答案】或/或
【分析】首先求出方向上的单位向量，讨论与同向或反向分别求出对应的坐标.
【详解】由题设，方向上的单位向量为，
所以，当与同向，则，
当与反向，则.
故答案为：或
16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】首先根据圆和圆的标准方程，作差求出两圆的公共弦所在的直线方程，
结合点在该公共弦上得到，然后把变形为
，展开后利用基本不等式即可求解.
【详解】根据题意，圆和圆，两圆作差可得
其公共弦所在的直线方程为，
又由点在两圆的公共弦上，则，

当且仅当且，即时等号成立，
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的公共弦所在的直线方程、基本不等式求最值，属于基础题.
四、解答题
17．已知直线.
(1)求过点且与直线l垂直的直线的方程；
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据点斜式求得所求直线的方程.
（2）先求得直线的横截距和纵截距，再根据面积列方程，由此求得的值.
【详解】（1）直线的斜率为.
与直线垂直的直线斜率为，
所以所求直线方程为，
故所求的直线方程为；
（2）直线l与两坐标轴的交点分别为，
则所围成的三角形面积为，
由题意可知，
化简得，
解得或.
18．根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）已知点A（1，1），B（﹣1，3），且AB是圆的直径，求圆的标准方程；
（2）圆与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），圆心在直线2x﹣y﹣7＝0上，求圆的方程．
【答案】（1）x2+（y﹣2）2＝2；（2）（x﹣2）2+（y+3）2＝5．
【分析】（1）求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程.
（2）有两点坐标判断圆心在直线，解得圆心又在直线上列方程组，解方程组求得圆心坐标，由两点间距离公式求得圆的半径，进而求得圆的方程.
【详解】（1）∵点A（1，1），B（﹣1，3），且AB是圆的直径，
∴圆心坐标为（0，2），半径r，
∴圆的标准方程为：x2+（y﹣2）2＝2；
（2）∵圆与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），∴圆心在直线y＝﹣3上，
又∵圆心在直线2x﹣y﹣7＝0上，
∴联立方程，得，
∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r，
∴圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2＝5．
【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查两直线交点坐标的求法，属于基础题.
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角余弦的大小；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为轴，为轴为轴建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可；
（2）设的法向量为，设点到平面的距离为，结合向量公式可得，代值运算即可.
【详解】（1）（1）因为是矩形，平面，，，故三垂直，以为轴，为轴为轴建立坐标系，
则，，则，即异面直线与所成角余弦的大小为；
（2），，设的法向量为，设点到平面的距离为，则，即，令，则，故，，由点到直线的向量公式可得：，故点到平面的距离为.
20．已知圆，点A是圆C1上一动点，点，点C是线段AB的中点．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)直线l过点且与点C的轨迹交于 M，N两点，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用中点坐标公式得到，再由点在圆得到，代入即可得到点C的轨迹方程；
（2）分类讨论直线l的斜率存在与否，利用弦长公式检验或求得斜率，从而可得直线l的方程．
【详解】（1）设点，
因为点C是线段AB的中点，
所以，即，
因为点在圆C1上运动，所以，
所以，即，
故点C的轨迹方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为，
则，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
综上：直线l的方程为或．
21．如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.

(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)存在，点在的四分之一等分点处
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合，化简线面垂直判定定理证明平面；
(2) 设，，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由条件列方程求即可.
【详解】（1）由已知，平面，为等边三角形，
以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，
作轴，，，
则，
则，
而
∴
∴
由菱形性质知
∵平面，平面，
∴平面；
（2）由(1)，，
为平面的一个法向量，
设，，则
所以，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取可得，，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
解得：或（均符合题意）
所以存在一点，当或，即点位于四分之一等分点处时使平面与平面所成角的余弦值为.
22．已知圆经过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程．
(2)直线与圆交于两点，问：在直线上是否存在定点；使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）的垂直平分线与直线的交点就是圆心，求出圆心即可得到半径，圆的方程得解；
（2）联立直线与圆的方程，消去y整理得，根据建立等式，结合韦达定理求出定点即可.
【详解】（1）由，，可知线段的中点为，，
的垂直平分线的斜率为，的垂直平分线的方程为.
的垂直平分线与直线的交点即为圆心，由，解得，
即，又圆的半径，
圆的方程为；
（2）由，消去整理得.
设，，，，，.
设，则，.
由，即有，即，
即，将式代入得，
解得，故点的坐标为，.
所以在直线上存在定点，使得恒成立.