2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期第三次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．（，）可以表示为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据排列数和组合数计算公式计算4个选项，得到正确答案.

【详解】，

，

，

，D正确.

故选：D

2．某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：

若y与x线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t的值为（    ）A．5.8 B．5.6 C．5.4 D．5.2

【答案】B

【分析】由样本中心必在回归直线上即可求解.

【详解】解：由表格中的数据可得，，

将点代入回归直线方程得，解得．

故选：B．

3．函数的极值点的个数为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】因为，所以,由得,当变化时，的变化情况如下表

由表可知，函数只有一个极值点，故选B.

4．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，

设男生甲被选中为事件，其概率为，

设女生乙被选中为事件，

则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，

所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.

故选：B.

5．4个男生，3个女生站成一排，且甲乙二人之间恰好有三个人，则不同的排法种数为（   ）

A．360个 B．480个 C．720个 D．960个

【答案】C

【分析】选三人排在甲乙之间，然后捆绑在一起与其他2人排列，由此可得．

【详解】从5人选3人排在甲乙之间，这5人捆绑一起与其他2人全排列，方法数为：

．

故选：C．

6．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示：根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（   ）

A．销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的

B．销售量的多少有4%是由广告支出费用引起的

C．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般

D．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好

【答案】A

【分析】根据已知条件结合残差和相关系数的定义可得答案.

【详解】因为表示解释变量对于预报变量的贡献率，，所以销售量的多少有96%由广告支出费用引起的，故A正确，B错误；

当时，第三个样本点对应的残差为，又，

故拟合效果较好，故CD错误.

故选：A.

7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，B＝“任意调查一人，利用全概率公式计算即可.

【详解】令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，B＝“任意调查一人，此人近视”，

则，且，互斥，，，，，

依题意，，

解得，所以所求近视的概率为．

故选：A

8．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为(　　)

A．6∶1 B．7∶1

C．3∶1 D．4∶1

【答案】B

【分析】由题意，可知奖金分配比即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况，分别求解其概率，利用互斥事件的概率求和公式，即可求解.

【详解】由题意，可知奖金分配比，即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况:①甲第三局胜为A1，P(A1)=；②甲第三局负、第四局胜为A2，P(A2)=；③第三局、第四局甲负,第五局甲胜为A3，P(A3)=，所以甲胜的概率P=P(A1)+P(A2)+P(A3)=，乙胜的概率则为，故选B.

【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率计算问题，其中解答中认真审题，得出甲胜有3中情况，分别求解其概率，再利用互斥事件的概率求和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、多选题

9．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（    ）

A． B．

C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1

【答案】AD

【分析】求得的值判断选项AB；求得常数项的值判断选项C；求得展开式中所有项的系数和判断选项D.

【详解】由，可得，则选项A判断正确；选项B判断错误；

的展开式的通项公式为

令，则，则展开式的常数项是.选项C判断错误；

展开式中所有项的系数和是.判断正确.

故选：AD

10．已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】因为，可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质，可判断B、C、D.

【详解】因为随机变量，满足，且，所以

对于A，，所以A不正确；

对于B，，，

，所以B正确；

对于C，，，

，所以C不正确；

对于D，，所以D正确.

故选：BD.

11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（    ）

参考数据：若，则，

A．

B．

C．

D．对于任意的正数，有

【答案】ABD

【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．

【详解】对于A，，故A选项正确；

对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B选项正确；

对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C选项错误；

对于D，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确，

故选：ABD．

12．已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．当时，

【答案】AD

【分析】设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，

即，由此可判断D.得选项.

【详解】解： 对于A选项，因为令，在上是增函数，所以当时，，所以，即．故A选项正确；

对于B选项，因为令，所以，所以时，单调递增，时，单调递减．所以与无法比较大小．故B选项错误；

对于C选项，令，所以时，在单调递减，时，在单调递增，所以当时，，故成立，当时，，．故C选项错误；

对于D选项，由C选项知，当时，单调递增，又因为A正确，成立，

所以

,故D选项正确.

故选：AD．

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

三、填空题

13．在一组样本数据不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为_________

【答案】1

【分析】根据样本相关系数的定义及直线的斜率为正，得到相关系数为1.

【详解】因为所有样本点都在直线上，且直线的斜率为，

故相关系数为1.

故答案为：1

14．在的展开式中，的系数为__________．

【答案】60

【详解】, 而在中 ， ，，则 ，的系数为60.

15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.

【答案】

【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.

【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，

、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，

所以共有种涂色方案.

故答案为：

【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：

(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；

(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；

(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.

16．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．

【答案】

【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.

【详解】当时，，，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

且，当时，恒为正，

当时，，，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

且，

画出的图象如下：

要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，

显然当时，符合要求.

故答案为：

四、解答题

17．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.

（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

【答案】（1）119种（2）31种

【分析】(1)利用间接法可得满足题意的方法数.

(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意的方法数.

【详解】（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：种.

（2）分为三类：

第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；

第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有种；

第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.

根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.

【点睛】本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.

(1)求甲恰好在第四局获胜的概率是多少？

(2)记表示比赛决出胜负时的总局数，求的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）根据题意，分析甲在每局的胜负情况即可求解.

（2）根据题意先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.

【详解】（1）由题意可知，比赛四局，甲获胜，则第一局甲胜，第二局甲负，第三局甲胜，第四局甲胜，故甲恰好在第四局获胜的概率是.

（2）由题可知，的可能取值为2，3，4，5，

,

,

,

;

所以的分布列为：

数学期望.

19．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）

附：，其中.

(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？

(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率.

【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；

(2)

【分析】（1）完善列联表，计算卡方，与7.879比较后得到结论；

（2）先根据分层抽样的定义求出抽取的5人中，2名为“天文爱好者”，3名为“非天文爱好者”，从而利用列举法求出相应的概率.

【详解】（1）

故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；

（2）因为抽取的女性人群中，“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型人数比为，

故按分层抽样抽取的5人中：2名为“天文爱好者”，编号为a、b；

3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3，

则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：

ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，123，共10种情况，

其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，

概率为.

20．已知.

(1)若，求

(2)当，时，求除以7所得的余数.

【答案】(1)7

(2)6

【分析】（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出的值；

（2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.

【详解】（1）令，，

又，，所以，

故，所以，

（2）当，时，

，

而

化简得：，

因此除以7所得的余数6.

所以当，时，除以7所得的余数为6

21．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：

(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）

(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，请分别利用（1）与（2）中两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；

参考数据：设，其中．

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，

【答案】(1)

(2)312万辆，380万辆

【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，，，的值，运用最小二乘法求回归直线方程即可；

（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值.

【详解】（1）由表中数据得，

，，，

，

，，

y关于x的线性回归方程为：；

（2）由（1）知，y关于x的线性回归方程为：，

当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：

（万辆）；

对于回归方程，

当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：

（万辆）．

22．已知函数，求：

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，总有，求整数的最小值.

【答案】(1)

(2)-3

【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.

【详解】（1）当时，

在点处的切线方程为即

（2）由题意，，即，即，

又，恒成立.

令，

令，则恒成立.

在上递减，

，

使，即，则，

当时，，当时，

因为，且，，即整数k的最小值为-3

【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。