2023-2024学年江苏省苏州市高二上学期11月期中摸底数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市高二上学期11月期中摸底数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.
【详解】因为一条直线经过两点和，
所以该直线的斜率为：
所以该直线的倾斜角为.
故选：C.
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断.
【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件.
故选：A
3．为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据可得，表示出和，解不等式即可.
【详解】由，可得，
而，所以，
，，
可转化为，
即，
即，解得，
而，所以的最大值为11.
故选：C
4．直线与圆的位置关系是( )
A．相交但直线不过圆心B．相切
C．相离D．相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系．
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，
∴到直线的距离，
∴圆与直线的位置关系为相交，
又圆心不在直线上，
故选：A．
5．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
6．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由中点坐标求出直线交轴和于两点坐标，从而得到直线方程
【详解】直线分别交轴和于两点，设点、，
因为是线段的中点，
由中点坐标公式得解得，
所以点、，则直线的方程为，化简得
故选
【点睛】这是一道考查直线性质的题目，解题的关键是求出直线的截距，然后求出直线方程．
7．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点
【答案】B
【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 为直线上一点，求出切线的方程即可判断．
【详解】解：选项A：圆的圆心为 ，半径 ，
所以圆心到直线的距离，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，
故选项A正确；
选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆，
方程可化为，
因为圆 与曲线 有四条公切线，
所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径 ，
同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ，
解得，故B错误；
选项C：圆的圆心 ，半径 ，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确；
选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，
所以直线过定点，D正确．
故选：B．
8．已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入即可.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
，.
故选：A.
二、多选题
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【解析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由可得：，
由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；
对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，
平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；
对于选项C：由可得，圆心，，
由 可得，
圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，
即，解得：，故选项C正确；
对于选项D：设点坐标为，所以，即，
因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，
整理可得：，与已知圆相减可得，
消去可得：即，由可得，
所以直线经过定点，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：
（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.
（2）已知，，以线段为直径的圆的方程为：
.
10．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差
B．若数列为等比数列，则
C．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13
D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列
【答案】AD
【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可.
【详解】解：对于A，若数列为等比数列，成等差，则，
若公比，则，故，
所以可得，，
整理得，由于，所以，
所以，即，
故也成等差，故A正确；
对于B，若数列为等比数列，若公比时，；
若公比时，则，所以，故B不正确；
对于C，若数列为等差数列，公差为，由，
得，即，则，
所以，得，又，则，故C不正确；
对于D，若数列为等差数列，且，则公差，
所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，
所以，
所以，
因为，则，其中，
则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.
故选：AD.
11．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
12．数列满足，，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意求得，得到的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，即可求出的通项公式，即可判断A；求得为奇数和为偶数时，数列的通项公式，可判定B正确；根据为奇数和偶数，求得，可判定C正确；结合时，可判定D错误.
【详解】由题意，数列满足，
所以，
可得，
因为，可得，所以，
所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，，
即是以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确；
当时，，，所以，
当时，，，所以，
所以，故B正确；
对于C中，当时，
，
当时，，
所以恒成立，即C正确；
对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知数列中，，则此数列的前8项和为 ．
【答案】/
【分析】由裂项相消法求解，
【详解】，
的前8项和为．
故答案为：
14．点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为 .
【答案】
【分析】计算，设直线方程为，计算，利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】如图所示：，故，设直线方程为.
，，故，根据相似计算得到，
利用点到直线的距离公式得到：，解得或
当时，直线和圆不相交，舍去，故.
故答案为：.

【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15．圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ．
【答案】
【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.
【详解】圆与圆联立可得：
公共弦的方程为，
变形为，
故的圆心为，半径为，
而满足，故弦AB的长为圆的直径，
故弦AB的长为．
故答案为：.
16．如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为

【答案】
【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.
【详解】连接，如图所示

设则，
由椭圆的定义得
所以
在中，,
所以,即，整理得，
所以，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
四、解答题
17．设等差数列的前项和为，已知，．
(1)求；
(2)若为与的等比中项，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式；
（2）首先由题意得，，代入通项公式后，求.
【详解】（1）设等差数列公差为，，解得，
，所以，，
.
（2）由题意：，，即，
化简得：，
解之得或（舍），故.
18．已知直线
(1)当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程；
(2)求点到直线的距离d的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算两直线的交点，根据垂直得到直线斜率，得到直线方程.
（2）确定直线过定点，点到定点的距离即最大距离，计算即可.
【详解】（1）当时，直线：，：，则，
解得交点
又由直线l垂直于直线，而直线的斜率，
两直线垂直得斜率乘积为，得到
又因为直线l过与的交点，直线l的方程为，即
（2）直线：过定点，又，
点M到直线的距离d的最大值为
19．已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）计算等差数列和等比数列的基本量即可写出通项公式.
（2）根据题意利用分组转化即可进行求和.
【详解】（1）由已知，
设数列首项为，公差为
，
解得：，
所以
因为，，
数列是单调递增的等比数列，
设数列首项为，公比为，所以
解得：， ，所以
所以
（2）由已知
所以

20．已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的斜率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解；
（2）设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以代替求出Q点坐标，由两点坐标求直线斜率即可得解.
【详解】（1）由题意知，故可设椭圆方程为，
由在上可得，，
解得或（舍去），
故所求椭圆的方程为.
（2）设直线，，
把代入椭圆方程整理可得：
，
设，则，
，
从而得点，
在上式中以代替，得，
即直线的斜率为.
21．已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆．
(1)求圆的方程；
(2)设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设出直线，根据已知求出弦心距，从而求出直线的方程.再根据两圆相交时，圆心连线与交线垂直得出Q点坐标，从而求得结果；
（2）根据圆的性质，可从（1）中结果中任选一种解答，根据已知可得，三边所在的直线就是圆的切线，设出切线方程，可以表示出斜率和t的关系，A，B两点都在y轴上，则以AB做底，高就是C点横坐标的绝对值.
【详解】（1）设直线的方程为，因为圆半径为，，所以圆心到直线的距离，即，解得，
当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为
当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为
即所求圆方程为或
（2）由圆的性质可知，只研究圆方程为时即可
设与圆相切，则有，
即有，从而有
设与圆相切，则有，
即有，从而有
联立直线，由得，
所以
当时，.
22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标
【答案】（1）；（2）证明见解析，恒过定点．
【分析】（1）利用椭圆过点，以及离心率为．求出，，即可得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，，，利用韦达定理以及，得到与的关系，然后求解直线，恒过定点．
【详解】解：（1）椭圆过点，
可得，且离心率为．，解得，
所求椭圆方程为：
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，
，则，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，
得，
设，，，，有
则
将式代入化简可得：，即，
直线，恒过定点.
【点睛】方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.