2022-2023学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若平面的一个法向量分别为，，则（    ）

A．  B．与相交但不垂直

C．或与重合 D．

【答案】C

【分析】根据题意得到，得出，进而得到或与重合.

【详解】由题意，向量平面的一个法向量分别为，，

可得，所以，所以或与重合.

故选：C.

2．已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】联立两条直线求解点坐标，利用点到直线距离公式可得解

【详解】由题意，

联立可得，故

则P到直线l：的距离：

故选：A

3．已知直线与平行，则的值是（    ）

A．1 B．2或5 C．5 D．1或2

【答案】B

【分析】讨论，结合两直线的位置关系求值，注意验证所求的值保证两线平行而不能出现重合的情况.

【详解】由平行条件可知，

当时，，解得；

当时，解得，此时，两条直线也平行；

所以或.

故选：B.

4．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．外离 B．相交 C．内切 D．外切

【答案】B

【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．

【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，

所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．

因为圆的圆心为，半径为，所以，

故，所以圆与圆的位置关系是相交．

故选：B．

5．在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据向量数乘的坐标公式，求得点的坐标，写出直线的方向向量，结合向量夹角公式，可得答案.

【详解】取的中点O，的中点，易知，，两两垂直，

以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，

所以，，，，，

则的中点，

由点F是上靠近点B的三等分点，则，设，

故，所以

解得,，

故，，

因为，

所以异面直线与所成角的余弦值是.

故选：B.

6．过点且与直线相切，圆心在x轴上的圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出圆心，利用半径相等列出方程，求出，从而求出圆的半径，写出圆的方程.

【详解】设圆心为，由题意得：，

解得：，

故圆的半径，

所以圆的方程为：.

故选：D

7．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，,,,

所以，，，

设平面BDE的法向量为，

则，令，则，即，

则点到平面BDE的距离.

故选：D

8．在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆C上存在点，使得，其中点、，则的最大值为

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【详解】由题意，是 上一点，折叠该圆两次使点 分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，

∴圆上不相同的两点为B 的中点为圆心半径为1，

的方程为 过的圆的方程为，

∴两圆外切时， 的最大值为

故选B．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．过，两点的直线方程为

C．直线的倾斜角为

D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

【答案】AD

【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断；

对于B，利用两点式方程判断；

对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；

对于D，求出三角形的面积即可判断．

【详解】对于A，因为直线可以化为：，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确；

对于B，当时，过，两点的直线方程为，故B不正确；

对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；

对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确．

故选：AD．

10．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（    ）

A．长轴长为 B．焦距为

C．焦点坐标为： D．离心率为

【答案】CD

【解析】先化简椭圆方程为标准方程，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解.

【详解】由椭圆方程化为标准方程可得，

所以 ，

所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，

短轴长为，离心率.

故选：CD

11．以下四个命题错误的是（    ）

A．直线恒过定点

B．曲线与恰有四条公切线，则实数m的取值范围为

C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于

D．已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为

【答案】ABD

【分析】将直线等价变形求出定点，可确定选项的正误，由两圆相交求得的范围可确定B的正误，求得圆心到直线的距离可确定满足C选项的点的个数，由直线与圆的性质可讨论D中线段的最小值，进而可得正确选项.

【详解】对于A. 可变形为：，

由，得，

直线恒过定点，故A选项错误；

对于B. ：由：可得，

圆心，半径，

由：可得，

所以，圆心，半径，

若两圆恰有四条公切线，则可得：，

所以，故选项B不正确；

对于C：圆心到直线的距离，

故圆上存在三点到直线的距离是，故选项C正确；

对于D：由题意可得，所以即，

当最小时，最小，最小值为到直线的距离，

即，故的最小值为，故选项D错误；

故选：ABD.

12．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．离心率

B．△面积的最大值为1

C．以线段为直径的圆与直线相切

D．为定值

【答案】BD

【分析】由，直接求椭圆离心率即可，将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值，写出以线段为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，直接用斜率公式求解即可.

【详解】对于选项,由已知得，，则，即，故错；

对于选项,由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为，则△的面积最大值为，故正确；

对于选项,以线段为直径的圆的方程为，则该圆的圆心到直线的距离为,即以线段为直径的圆与直线相交，故不正确；

对于选项,设点，则,

故正确.

故选：BD.

三、填空题

13．经过椭圆C：的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为_________．

【答案】12

【分析】通过椭圆中的，，并通过的周长为从而求出周长的值.

【详解】因为椭圆C：的左焦点为，且作不垂直于x轴的直线AB交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点

所以，

而的周长为

故答案为：12.

14．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是___________.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点轨迹的长度.

【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

∴，，，，∴，

设，则，

∵，∴，

当时，，当时，，

取，，，，

连结，，，，

则，，

∴四边形为矩形，则，，

即，，又和为平面中的两条相交直线，

∴平面，

又，，

∴为的中点，则平面，

为使，必有点平面，

又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，

又，，∴，则点的轨迹不是正方形，

则矩形的周长为.

故答案为：

【点睛】对于立体几何中的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，将其代数化处理，可以很方便的求出边的长度及角度.

15．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为___________.

【答案】35

【分析】设，.先判断出AB两点在圆上且.设点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.利用几何法判断出当点A，B在第三象限，且直线AB与直线平行时最大，进而求出最大值.

【详解】设，.则，.

因为实数，，，满足：，，，

所以AB两点在圆上，且.

又，所以，所以，所以为等边三角形，.

点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.

要使最大，只需点A，B在第三象限，

设直线为直线l，过A作AD⊥l于D, 过B作BE⊥l于E,取AB中点F，过F作FG⊥l于G.由梯形的中位线性质可知：,即.

只需F到直线l距离最大，所以直线AB与直线平行.

此时，设，

由圆心到直线AB的距离为，可得：，即，解得：.

所以两平行线间的距离为，

所以，

所以.

故答案为：35.

【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类：

（1）几何法：利用几何图形求最值；

（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

16．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【分析】设，求出M，N的坐标，得出关于的式子，根据P在椭圆上得到的关系，进而求出离心率.

【详解】设，则直线PM的方程为，直线PN的方程为，联立方程组，解得，

联立方程组，解得，则

又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则，，.

【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.

四、解答题

17．已知的顶点，，，求

（1）边上的中线所在直线的方程；

（2）求点关于直线对称点坐标．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出的中点的坐标，从而可求的直线方程.

（2）求出直线的方程，设所求对称点的坐标为，根据中点和垂直两个关系得到关于的方程组，求解后可得所求的对称点的坐标.

【详解】（1）由题设有，故，

故直线的方程为：即.

（2），故直线的方程为：，

设点关于直线对称点坐标为，

则，解得，

故点关于直线对称点坐标为.

【点睛】本题考查直线方程以及点关于直线的对称点的求法，后者注意利用中点和垂直来构建关于对称点的坐标的方程组，本题属于基础题.

18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在轴上，焦距为，且经过点；

(2)经过点，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设椭圆方程为，由焦距和椭圆关系可得，将代入椭圆方程即可求得，由此可得结果；

（2）设椭圆方程为，将坐标代入椭圆方程即可求得，由此可得结果.

【详解】（1）设椭圆方程为：，

椭圆焦距为，，，又椭圆过点，

，解得：，，

椭圆方程为：.

（2）设椭圆方程为，

椭圆过点，，，解得：，

椭圆方程为：.

19．在如图所示的直三棱柱中，为正三角形，且，点P，Q分别为的中点．．

(1)求直线与平面所所成角的正弦值；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别取的中点，连接，以为原点，分别以和所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦值；

（2）由空间向量法求二面角．

【详解】（1）在直三棱柱中，因为为正三角形，分别取的中点，连接，，于是平面，平面，则.

如图，以为原点，分别以和所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系.

因为为的中点，所以，.

因为点分别为的中点，所以.

所以.

设为平面的法向量，

由得

不妨取，可得.则.

设直线与平面所成的角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）因为，

所以.

设为平面的法向量，

由得

不妨取，可得，则.

由（1）知为平面的一个法向量，

所以.

由图知二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.

20．已知圆M经过点，，．

(1)求圆M的方程；

(2)过点的直线l与圆M交于PQ两点，若，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设出圆M的一般方程，利用待定系数法求解作答.

（2）求出圆M的圆心、半径，根据给定条件求出点M到直线l的距离，再分情况讨论求解作答.

【详解】（1）设圆M的方程为：，

依题意，，解得，满足，

所以圆M的方程为.

（2）圆M：的圆心，半径，显然点在圆M内，

依题意，点M到直线l的距离，

当直线l垂直于x轴时，方程为，点M到直线l的距离为3，则直线l的方程为，

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为：，于是得，解得，

此时直线l的方程为，即，

所以直线l的方程为或.

21．已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的端点，的面积为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

【答案】(1) ,(2)直线与圆相切.

【详解】试题分析：（1）椭圆的离心率为，；的面积为2，；（2）写出直线的方程为，圆心到直线的距离．

解析：（1）由题意，，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）直线与圆相切.证明如下：

设点的坐标分别为，其中.

因为，

所以，即，解得.

当时，，代入椭圆的方程，得，

故直线的方程为.

圆心到直线的距离.

此时直线与圆相切.

当时，直线的方程为.

即.

又，故

.

此时直线与圆相切.

点睛：利用向量垂直关系得两点的坐标关系，再求圆心到直先得距离恰为半径．

22．如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据题意，得到，，从而可得，进而得到椭圆的方程；

（2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，根据题意，利用圆和椭圆的对称性，得到，再由，得到或，分类讨论，即可求得圆的半径.

【详解】（1）设，其中，

由，可得，

从而，故，

从而，由，得，

因此，所以，故，

因此，所求椭圆的标准方程为.

（2）如图所示，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，

由是两个交点，是圆的切线，且，

由圆和椭圆的对称性，易知，，

由（1）知，所以，

再由，得，

由椭圆方程得，即，解得或，

当时，重合，此时题设要求的圆不存在，

当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心，

由是圆的切线，且，知，

又，故圆的半径.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．