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2023-2024学年吉林省长春市第八中学高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年吉林省长春市第八中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合并集运算法则计算即可.
【详解】因为
所以
故选：B
2．以下函数在其定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合一次函数，反比例函数，二次函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，由于反比例函数为减函数，故为减函数，A选项错误；
对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，B选项正确；
对于C选项，由于上是减函数，故由复合函数的单调性得为定义域上的减函数，C选项错误；
对于D选项，为减函数，故D选项错误.
故选：B.
3．“”是“”的条件
A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】试题分析：当成立时有成立，反之不正确，所以“”是“”的必要而不充分条件
【解析】充分条件与必要条件
4．函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】结合题意得到关于m,n的方程组，求出m,n的值，求出答案即可.
【详解】函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，即恒成立，则有，解得，所以.
故选：B.
5．若，，，则、、的大小关系是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、指数函数的单调性比较大小即得.
【详解】函数在上单调递增，，因此，
函数在R上单调递减，，因此，
所以、、的大小关系是.
故选：D
6．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数进行化简，然后使用基本不等式计算即可.
【详解】由
即
由，所以，所以
当且仅当，即时，取等号
所以函数的值域是
故选：D
7．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域可排除A选项；再由可排除B选项；再由函数的单调性可选出D选项.
【详解】根据，根据分母不为0，则，
，
根据得，
则，则，排除A、B项；
而，其图像关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.
故选：D
8．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【解析】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
二、多选题
9．下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
【答案】CD
【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；
对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；
对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；
对于D选项，当，、时，，D选项正确.
故选：CD.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.
【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，
又，即为偶函数，
令，则，
所以，即在区间上单调递减，
综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
11．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以xy的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为2，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
12．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ACD
【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.
【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；
对于B，由题可知，，故B错误；
对于C，，故，为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
，
是上的减函数，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】解不等式即得出函数的定义域.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
14．若关于的不等式的解集为，则 ．
【答案】48
【分析】根据题意可得为方程的两根，再根据韦达定理求解即可.
【详解】根据题意可得为方程的两根，
则
解得
所以．
故答案为：48.
15．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围.
【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，
所以在上递减，在上递增，
又在上单调递减，故，则.
故答案为：
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别求出原函数在、上的值域，根据两段值域的并集为可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，；
当时，.
因为原函数的值域为，即，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）计算：
（2）求下列式中的的值：；
【答案】（1）5；（2）.
【分析】（1）利用指数运算、对数运算计算得解.
（2）利用对数的意义，列式求解即得.
【详解】（1）原式.
（2）由，得，解得，
所以.
18．已知集合，集合．
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先解指数不等式得到集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得；
（2）依题意可得真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】（1）解：因为，所以，即，即，当时，．
所以，
所以或，
所以；
（2）解：若“”是“”的必要不充分条件，
则真包含于，
∵， ，
∴，解得.
∴实数的取值范围是．
19．已知函数的图象过点．
(1)求函数的解析式，并判断奇偶性；
(2)判断函数的在的单调性，并用定义证明你的结论．
【答案】(1)且，为奇函数，证明见解析；
(2)在上递增，证明见解析.
【分析】（1）将已知点代入解析式求得，再根据奇偶性定义判断奇偶性；
（2）利用单调性定义判断的单调性.
【详解】（1）由题设，则，故且定义域为，
又，即为奇函数.
（2）在上递增，证明如下：
令，则，
又，则，故.
所以在上递增.
20．函数是奇函数.
(1)求；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求即可；
（2）将时，恒成立转化为，然后用换元法求最小值即可.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，所以.
（2）整理得，
因为时，恒成立，所以，
令，，则，，当，即时等号成立，
所以.
21．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过C点.已知米，米，设的长为米.
(1)用来表示矩形花坛的面积；
(2)求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.
【答案】(1)
(2)米，米，最小面积为96平方米
【分析】（1）根据比例关系，可得，从而得到矩形花坛的面积；
（2）利用换元法，结合基本不等式得到最值.
【详解】（1）设的长为x米（），
∵是矩形，∴，
∴，∴；
（2）令，，则，
∴
当且仅当，即时，等号成立，
此时米，米，最小面积为96平方米
22．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…．
（1）求函数和的解析式；
（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【分析】（1）将替换为，得，与已知条件联立方程，求函数的解析式；（2）利用函数的奇偶性不等式转化为在上恒成立，利用单调性转化为在上恒成立，参变分离后在上恒成立，即转化为求函数的最值；（3）首先设函数，根据条件转化为，转化为求两个函数的最小值，即得结论.
【详解】（1）由题意知，令替换x得，
即．
于是，解得；
，解得．
（2）由已知在上恒成立．
因为为上的奇函数，
所以在上恒成立．
又因为为上的增函数
所以在上恒成立
即在上恒成立
所以
因为，当且仅当，即时取等号．
所以．
（3）设，
，，使成立，所以函数的值域包含于的值域，，函数单调递增，所以函数的值域是，
在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需，
因为为上的增函数，所以．
当时，因为在单调递增，在单调递减，所以当时，．
于是
由得，即，
解得．
考虑到，故，即，
解得．
因为，所以．
当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合并集运算法则计算即可.
【详解】因为
所以
故选：B
2．以下函数在其定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合一次函数，反比例函数，二次函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，由于反比例函数为减函数，故为减函数，A选项错误；
对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，B选项正确；
对于C选项，由于上是减函数，故由复合函数的单调性得为定义域上的减函数，C选项错误；
对于D选项，为减函数，故D选项错误.
故选：B.
3．“”是“”的条件
A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】试题分析：当成立时有成立，反之不正确，所以“”是“”的必要而不充分条件
【解析】充分条件与必要条件
4．函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】结合题意得到关于m,n的方程组，求出m,n的值，求出答案即可.
【详解】函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，即恒成立，则有，解得，所以.
故选：B.
5．若，，，则、、的大小关系是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、指数函数的单调性比较大小即得.
【详解】函数在上单调递增，，因此，
函数在R上单调递减，，因此，
所以、、的大小关系是.
故选：D
6．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数进行化简，然后使用基本不等式计算即可.
【详解】由
即
由，所以，所以
当且仅当，即时，取等号
所以函数的值域是
故选：D
7．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域可排除A选项；再由可排除B选项；再由函数的单调性可选出D选项.
【详解】根据，根据分母不为0，则，
，
根据得，
则，则，排除A、B项；
而，其图像关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.
故选：D
8．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【解析】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
二、多选题
9．下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
【答案】CD
【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；
对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；
对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；
对于D选项，当，、时，，D选项正确.
故选：CD.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.
【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，
又，即为偶函数，
令，则，
所以，即在区间上单调递减，
综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
11．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以xy的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为2，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
12．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ACD
【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.
【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；
对于B，由题可知，，故B错误；
对于C，，故，为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
，
是上的减函数，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】解不等式即得出函数的定义域.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
14．若关于的不等式的解集为，则 ．
【答案】48
【分析】根据题意可得为方程的两根，再根据韦达定理求解即可.
【详解】根据题意可得为方程的两根，
则
解得
所以．
故答案为：48.
15．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围.
【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，
所以在上递减，在上递增，
又在上单调递减，故，则.
故答案为：
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别求出原函数在、上的值域，根据两段值域的并集为可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，；
当时，.
因为原函数的值域为，即，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）计算：
（2）求下列式中的的值：；
【答案】（1）5；（2）.
【分析】（1）利用指数运算、对数运算计算得解.
（2）利用对数的意义，列式求解即得.
【详解】（1）原式.
（2）由，得，解得，
所以.
18．已知集合，集合．
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先解指数不等式得到集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得；
（2）依题意可得真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】（1）解：因为，所以，即，即，当时，．
所以，
所以或，
所以；
（2）解：若“”是“”的必要不充分条件，
则真包含于，
∵， ，
∴，解得.
∴实数的取值范围是．
19．已知函数的图象过点．
(1)求函数的解析式，并判断奇偶性；
(2)判断函数的在的单调性，并用定义证明你的结论．
【答案】(1)且，为奇函数，证明见解析；
(2)在上递增，证明见解析.
【分析】（1）将已知点代入解析式求得，再根据奇偶性定义判断奇偶性；
（2）利用单调性定义判断的单调性.
【详解】（1）由题设，则，故且定义域为，
又，即为奇函数.
（2）在上递增，证明如下：
令，则，
又，则，故.
所以在上递增.
20．函数是奇函数.
(1)求；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求即可；
（2）将时，恒成立转化为，然后用换元法求最小值即可.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，所以.
（2）整理得，
因为时，恒成立，所以，
令，，则，，当，即时等号成立，
所以.
21．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过C点.已知米，米，设的长为米.
(1)用来表示矩形花坛的面积；
(2)求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.
【答案】(1)
(2)米，米，最小面积为96平方米
【分析】（1）根据比例关系，可得，从而得到矩形花坛的面积；
（2）利用换元法，结合基本不等式得到最值.
【详解】（1）设的长为x米（），
∵是矩形，∴，
∴，∴；
（2）令，，则，
∴
当且仅当，即时，等号成立，
此时米，米，最小面积为96平方米
22．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…．
（1）求函数和的解析式；
（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【分析】（1）将替换为，得，与已知条件联立方程，求函数的解析式；（2）利用函数的奇偶性不等式转化为在上恒成立，利用单调性转化为在上恒成立，参变分离后在上恒成立，即转化为求函数的最值；（3）首先设函数，根据条件转化为，转化为求两个函数的最小值，即得结论.
【详解】（1）由题意知，令替换x得，
即．
于是，解得；
，解得．
（2）由已知在上恒成立．
因为为上的奇函数，
所以在上恒成立．
又因为为上的增函数
所以在上恒成立
即在上恒成立
所以
因为，当且仅当，即时取等号．
所以．
（3）设，
，，使成立，所以函数的值域包含于的值域，，函数单调递增，所以函数的值域是，
在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需，
因为为上的增函数，所以．
当时，因为在单调递增，在单调递减，所以当时，．
于是
由得，即，
解得．
考虑到，故，即，
解得．
因为，所以．
当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
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