吉林省洮南市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份吉林省洮南市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，总分150，答题时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题5分）
1．直线与直线平行，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
2．圆与圆外切，则的值为（ ）
A．3 B．-5 C．2或-5 D．3或-5
3．如图，在边长为的正方体中，（ ）
A．2 B．1
C． D．
4．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ）
B．
C．D．
6．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的选项，全部选对得5分，少选得2分，有错误选项的得0分）
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C． D．在上的投影向量为
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（ ）

向量与所成角的余弦值为
平面的一个法向量是
点D到直线的距离为
11．已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点
三、填空题（每小题5分）
13．已知空间向量，，若，则实数 ．
14．若与平行，则的距离为 .
15．若，向量与平行且，则 ．
16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为 ．
第Ⅱ卷
解答题（第17题10分，18-22题每题12分）
17．已知直线.
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；
(2)若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数的值.
18．根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）已知点A（1，1），B（﹣1，3），且AB是圆的直径，求圆的标准方程；
（2）圆与轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），圆心在直线上，求圆的方程．
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角余弦的大小；
(2)求点到平面的距离.
20．已知圆，点A是圆C1上一动点，点，点C是线段AB的中点．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)直线过点且与点C的轨迹交于 M，N两点，若，求直线的方程．
21．如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.

(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由.
22．已知圆经过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程．
(2)直线与圆交于两点，问：在直线上是否存在定点；使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
解析：因为直线与直线平行，
所以，
所以或，
当时，直线与直线重合，舍去，
故．
故选：B．
2．C
解析：圆，圆心为（-2，m），半径为3；
圆，圆心为（m，-1），半径为2；
已知两圆外切，则两个圆心的距离 ，
解得
故选C.
3．A
解析：在正方体中，平面，
所以，
所以．
故选：．
4．C
解析：圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选：C
5．C
解析：因为
所以
即
所以．
故选：C．
6．D
解析：圆
由题意可得
最长弦为直径等于6，
最短的弦由垂径定理可得，
则四边形的面积为.
故选：D.
7．B
解析：圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
8．D
解析：将曲线的方程化简为
即表示以 为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：
当直线经过时最大，即，
当直线与下半圆相切时最小，
由圆心到直线 的距离等于半径2，可得：
解得 （舍去），或
结合图象可得
故选：D.
9．ABD
解析：因为
所以，
所以，A正确；
因为，，所以B正确；
，因为，所以与不平行，故C错误；
在上的投影，与同向的单位向量为，
所以在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．BCD
解析：，，，，所以，所以，故，A错误；
，B正确；
设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确；
，，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.
故选：BCD
11．AC
解析：圆的圆心，半径，
又，所以，即点在圆外，
所以，故A正确；
，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；
设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；
设的中点为，则，又，
所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，
所以公共弦方程为，故D错误．

故选：AC．
12．BCD
解析：由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A错误；
圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，
曲线化为标准式，
圆心距为，解得，故C正确；
设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．
故选：BCD
13．1
解析：因为，
所以，
故答案为：1
14．
解析：由题意，直线，
直线，故，即.
故，，
则的距离.
故答案为：
15．或/或
解析：由题设，方向上的单位向量为，
所以，当与同向，则，
当与反向，则.
故答案为：或
16．16
解析：根据题意，圆和圆，两圆作差可得
其公共弦所在的直线方程为，
又由点在两圆的公共弦上，则，

当且仅当且，即时等号成立，
的最小值为
故答案为：
17．(1)直线的斜率为.
与直线垂直的直线斜率为，
所以所求直线方程为，
故所求的直线方程为；
(2)直线l与两坐标轴的交点分别为，
则所围成的三角形面积为，
由题意可知，
化简得，
解得或.
18．（1）∵点A（1，1），B（﹣1，3），且AB是圆的直径，
∴圆心坐标为（0，2），半径r，
∴圆的标准方程为：x2+（y﹣2）2＝2；
（2）∵圆与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），∴圆心在直线y＝﹣3上，
又∵圆心在直线2x﹣y﹣7＝0上，
∴联立方程，得，
∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r，
∴圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2＝5．
19．（1）因为是矩形，平面，，，故三垂直，以为轴，为轴为轴建立坐标系，
则，，则，即异面直线与所成角余弦的大小为；
（2），，设的法向量为，设点到平面的距离为，则，即，令，则，故，，由点到直线的向量公式可得：，故点到平面的距离为.
20．（1）设点，
因为点C是线段AB的中点，
所以，即，
因为点在圆C1上运动，所以，
所以，即，
故点C的轨迹方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为，
则，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
综上：直线l的方程为或．
21．（1）由已知，平面，为等边三角形，
以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，
作轴，，，
则，
则，
而
∴
∴
由菱形性质知
∵平面，平面，
∴平面；
（2）由(1)，，
为平面的一个法向量，
设，，则
所以，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取可得，，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
解得：或（均符合题意）
所以存在一点，当或，即点位于四分之一等分点处时使平面与平面所成角的余弦值为.
22．（1）由，，可知线段的中点为，，
的垂直平分线的斜率为，的垂直平分线的方程为.
的垂直平分线与直线的交点即为圆心，由，解得，
即，又圆的半径，
圆的方程为；
（2）由，消去整理得.
设，，，，，.
设，则，.
由，即有，即，
即，将式代入得，
解得，故点的坐标为，.
所以在直线上存在定点，使得恒成立.