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    吉林省洮南市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

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    这是一份吉林省洮南市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷,共25页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题等内容,欢迎下载使用。

    本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,总分150,答题时间:120分钟
    第Ⅰ卷
    一、单选题(每个小题只有一个正确选项,每小题5分)
    1.直线与直线平行,则( )
    A.0 B.1 C. D.1或
    2.圆与圆外切,则的值为( )
    A.3 B.-5 C.2或-5 D.3或-5
    3.如图,在边长为的正方体中,( )
    A.2 B.1
    C. D.
    4.过点作圆的切线,则切线的方程为( )
    A. B.
    C.或 D.或
    5.平行六面体的底面是边长为2的正方形,且,,则线段的长为( )
    B.
    C.D.
    6.已知在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是和,则四边形的面积为( )
    A.6 B.8 C.10 D.12
    7.直线平分圆的周长,过点作圆C的一条切线,切点为Q,则( )
    A.5 B.4 C.3 D.2
    8.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是( )
    A.B.
    C. D.
    二、多选题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的选项,全部选对得5分,少选得2分,有错误选项的得0分)
    9.已知空间向量,,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C. D.在上的投影向量为
    10.如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点F为的中点,如图建系,则下列说法正确的有( )

    向量与所成角的余弦值为
    平面的一个法向量是
    点D到直线的距离为
    11.已知圆,点为圆上一动点,为坐标原点,则下列说法中正确的是( )
    A.的最大值为
    B.的最小值为
    C.直线的斜率范围为
    D.以线段为直径的圆与圆的公共弦方程
    12.以下四个命题表述正确的是( )
    A.直线恒过定点
    B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
    C.曲线与曲线恰有三条公切线,则
    D.已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线、,其中、为切点,则直线经过定点
    三、填空题(每小题5分)
    13.已知空间向量,,若,则实数 .
    14.若与平行,则的距离为 .
    15.若,向量与平行且,则 .
    16.已知点在圆和圆的公共弦上,则的最小值为 .
    第Ⅱ卷
    解答题(第17题10分,18-22题每题12分)
    17.已知直线.
    (1)求过点且与直线垂直的直线的方程;
    (2)若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数的值.
    18.根据下列条件,求圆的标准方程:
    (1)已知点A(1,1),B(﹣1,3),且AB是圆的直径,求圆的标准方程;
    (2)圆与轴交于A(0,﹣4),B(0,﹣2),圆心在直线上,求圆的方程.
    19.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,是的中点.
    (1)求异面直线与所成角余弦的大小;
    (2)求点到平面的距离.
    20.已知圆,点A是圆C1上一动点,点,点C是线段AB的中点.
    (1)求点C的轨迹方程;
    (2)直线过点且与点C的轨迹交于 M,N两点,若,求直线的方程.
    21.如图,正三棱柱中,,点为线段上一点(含端点).

    (1)当为的中点时,求证:平面;
    (2)线段上是否存在一点,使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在,求出的位置:若不存在,说明理由.
    22.已知圆经过点,且圆心在直线上.
    (1)求圆的方程.
    (2)直线与圆交于两点,问:在直线上是否存在定点;使得(分别为直线的斜率)恒成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    参考答案
    1.B
    解析:因为直线与直线平行,
    所以,
    所以或,
    当时,直线与直线重合,舍去,
    故.
    故选:B.
    2.C
    解析:圆,圆心为(-2,m),半径为3;
    圆,圆心为(m,-1),半径为2;
    已知两圆外切,则两个圆心的距离 ,
    解得
    故选C.
    3.A
    解析:在正方体中,平面,
    所以,
    所以.
    故选:.
    4.C
    解析:圆的圆心为原点,半径为1,
    当切线的斜率不存在时,即直线的方程为,不与圆相切,
    当切线的斜率存在时,设切线的方程为,即
    所以,解得或
    所以切线的方程为或
    故选:C
    5.C
    解析:因为
    所以

    所以.
    故选:C.
    6.D
    解析:圆
    由题意可得
    最长弦为直径等于6,
    最短的弦由垂径定理可得,
    则四边形的面积为.
    故选:D.
    7.B
    解析:圆的圆心为,半径为,
    因为直线平分圆的周长,
    所以直线经过,所以,故,
    由已知,,,圆的半径为3,
    所以,
    故选:B.
    8.D
    解析:将曲线的方程化简为
    即表示以 为圆心,以2为半径的一个半圆,如图所示:
    当直线经过时最大,即,
    当直线与下半圆相切时最小,
    由圆心到直线 的距离等于半径2,可得:
    解得 (舍去),或
    结合图象可得
    故选:D.
    9.ABD
    解析:因为
    所以,
    所以,A正确;
    因为,,所以B正确;
    ,因为,所以与不平行,故C错误;
    在上的投影,与同向的单位向量为,
    所以在上的投影向量为,D正确.
    故选:ABD
    10.BCD
    解析:,,,,所以,所以,故,A错误;
    ,B正确;
    设,则,,而,所以平面的一个法向量是,C正确;
    ,,则,所以,故点D到直线的距离为,故D正确.
    故选:BCD
    11.AC
    解析:圆的圆心,半径,
    又,所以,即点在圆外,
    所以,故A正确;
    ,当且仅当在线段与圆的交点时取等号,故B错误;
    设直线,根据题意可得点到直线的距离,解得,故C正确;
    设的中点为,则,又,
    所以以为直径圆的方程,显然圆与圆相交,
    所以公共弦方程为,故D错误.

    故选:AC.
    12.BCD
    解析:由,得,
    联立,解得,
    直线恒过定点,故A错误;
    圆心到直线的距离等于1,直线与圆相交,而圆的半径为2,
    故到直线距离为1的两条直线,一条与圆相切,一条与圆相交,
    因此圆上有三个点到直线的距离等于1,故B正确;
    两圆有三条公切线,则两圆外切,曲线化为标准式,
    曲线化为标准式,
    圆心距为,解得,故C正确;
    设点的坐标为,,以为直径的圆的方程为,
    两圆的方程作差得直线的方程为:,消去得,,
    令,,解得,,故直线经过定点,,故D正确.
    故选:BCD
    13.1
    解析:因为,
    所以,
    故答案为:1
    14.
    解析:由题意,直线,
    直线,故,即.
    故,,
    则的距离.
    故答案为:
    15.或/或
    解析:由题设,方向上的单位向量为,
    所以,当与同向,则,
    当与反向,则.
    故答案为:或
    16.16
    解析:根据题意,圆和圆,两圆作差可得
    其公共弦所在的直线方程为,
    又由点在两圆的公共弦上,则,

    当且仅当且,即时等号成立,
    的最小值为
    故答案为:
    17.(1)直线的斜率为.
    与直线垂直的直线斜率为,
    所以所求直线方程为,
    故所求的直线方程为;
    (2)直线l与两坐标轴的交点分别为,
    则所围成的三角形面积为,
    由题意可知,
    化简得,
    解得或.
    18.(1)∵点A(1,1),B(﹣1,3),且AB是圆的直径,
    ∴圆心坐标为(0,2),半径r,
    ∴圆的标准方程为:x2+(y﹣2)2=2;
    (2)∵圆与y轴交于A(0,﹣4),B(0,﹣2),∴圆心在直线y=﹣3上,
    又∵圆心在直线2x﹣y﹣7=0上,
    ∴联立方程,得,
    ∴圆心坐标为(2,﹣3),半径r,
    ∴圆的标准方程为:(x﹣2)2+(y+3)2=5.
    19.(1)因为是矩形,平面,,,故三垂直,以为轴,为轴为轴建立坐标系,
    则,,则,即异面直线与所成角余弦的大小为;
    (2),,设的法向量为,设点到平面的距离为,则,即,令,则,故,,由点到直线的向量公式可得:,故点到平面的距离为.
    20.(1)设点,
    因为点C是线段AB的中点,
    所以,即,
    因为点在圆C1上运动,所以,
    所以,即,
    故点C的轨迹方程为.
    (2)当直线l的斜率不存在时,其方程为,此时圆心到直线l的距离为,
    则,符合题意;
    当直线l的斜率存在时,设其方程为,即,
    则圆心到直线l的距离,
    所以,解得,
    所以直线l的方程为,
    综上:直线l的方程为或.
    21.(1)由已知,平面,为等边三角形,
    以点为原点,为轴正方向建立空间直角坐标系,
    则,,
    作轴,,,
    则,
    则,



    由菱形性质知
    ∵平面,平面,
    ∴平面;
    (2)由(1),,
    为平面的一个法向量,
    设,,则
    所以,
    所以,,
    设平面的法向量为,
    则,
    取可得,,
    所以为平面的一个法向量,
    设平面与平面所成角为,则,
    解得:或(均符合题意)
    所以存在一点,当或,即点位于四分之一等分点处时使平面与平面所成角的余弦值为.
    22.(1)由,,可知线段的中点为,,
    的垂直平分线的斜率为,的垂直平分线的方程为.
    的垂直平分线与直线的交点即为圆心,由,解得,
    即,又圆的半径,
    圆的方程为;
    (2)由,消去整理得.
    设,,,,,.
    设,则,.
    由,即有,即,
    即,将式代入得,
    解得,故点的坐标为,.
    所以在直线上存在定点,使得恒成立.
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