专题2函数的值域-解析版

这是一份专题2函数的值域-解析版，共15页。试卷主要包含了函数定义域约束影响值域，挖掘复杂函数的代数式结构，含参分段函数抓形又抓分析，绝对值函数既抓形又抓分类，学会多角度思考函数的值域，抽象函数值域赋值寻找突破等内容，欢迎下载使用。

一、函数定义域约束影响值域
问题求的值域.
【解析】卡壳点:不会思考有约束条件的函数值域问题.
应对策略:判别式与韦达定理联用,处理方法有:(1)利用一元二次方程实根分布理论处理;(2)利用不等式处理;(3)利用数形结合处理;(4)换元分析函数性质.
问题解答:解法1(换元加二次函数)令,则.
(1)当时,单调递增,所以.
(2)当时,在上单调递增,在上单调递减,所以.
综上,函数的值域为.
解法2(三角换元加三角函数)函数的定义域为且.
设且,则.
所以.
由且,得,或.
由的图象知,或.
于是,或.
所以,或.
函数的值域为.
解法3 (不等式放缩)函数的定义域为且.
(1)当时,.
又当时,,当时,,所以当时,.
(2)当时,.
①当时,
②当时,
综合①②知.
综合知函数的值域为.
【反思】函数的值域是一个整体性概念,用函数的图象和性质求解(有时借助导数)函数的值域,这是常用的也是最基本的方法,用判别式法或不等式法求解则不具有一般性,不是通性通法.观察解析式结构,联想到斜率公式求解是一个充满智慧的解法.
二、挖掘复杂函数的代数式结构
问题2:求函数的值域.
【解析】卡壳点:不会分析函数复杂的代数式结构.
应对策略:对代数式结构判断、分离,寻找本质结构,联系三角万能变换公式.
问题解答:.
令,则,
故.
当时,;当时,.
此时,的值存在,故函数的值域为.
【反思】面对复杂的代数式结构,冷静地分解代数式,尝试寻找代数式的主体结构.
三、含参分段函数抓形又抓分析
问题3:已知函数若函数的值域为,则实数的取值范围是
【解析】卡壳点:不会根据函数图象移动分段点.
应对策略:对于分段且含有参数的函数,先画函数图象,再移动判断.
问题解答:解法1已知函数
当时,函数的值域为.
当时,函数,图象开口向上,对称轴为直线.
(1)若,则二次函数的最小值为,要使函数的值域为,需要满足,解得.
(2)若,则二次函数的最小值为,要使函数的值域为,需要满足,解得.
综上所述,实数的取值范围是.
解法2作出函数与的图象,如图1,观察图象可知,只有当分段函数的分段点在上时,才能保证函数的值域为.
所以实数的取值范围是.
【反思】参数决定移动的位置,因此先定图象,再动直线,最后确定参数的取值范围.
四、绝对值函数既抓形又抓分类
研究绝对值函数时需要去掉绝对值,进行分类思考,一旦加上参数,问题就更加复杂,需要多层次思考.
问题4:已知,函数,若函数在上的值域为,则需要满足的条件是
【解析】卡壳点:不会逆向思考函数值域.
应对策略:既含参数又含绝对值的函数问题,既要㧓住函数图象的形态,又要进行分类思考.
问题解答:因为在上的值域为,所以,即
(1)当时,,如图2,所以.
所以
(2)当时,,如图3,所以.
①当时,,所以.解得.
②当时,,所以
所以,所以或,不成立.
由(1)(2)可知或
【反思】函数的值域信息中,代数式是基本的,因此判断代数式的结构特征成为解决问题的关键,然而,学生在判断代数式结构方面意识不强,导致求解受阻甚至失败.
五、学会多角度思考函数的值域
问题5:已知且,求的值域.
【解析】卡壳点:面对多元函数,不会减元分析.
应对策略:因为变量具有轮换式结构,故可以考虑取等,或消元化为一元函数,或变化结构运用基本不等式,或借助韦达定理逆向构造方程.
问题解答:解法1最小值显然是0,只需计算其最大值,如表1所示:
故的值域为.
解法2利用函数,不妨设最小,则.
此时,则.
故在区间上先单调递减,再单调递增,其最大值为,当及轮换时取得,因此的最大值为.
故的值域为.
解法3不妨设最大,则,于是等号当及轮换时取得,因此的最大值为.故的值域为.
【反思】面对多元函数,若其结构为轮换式,可先固定一个变元,将其余变元转化.
六、抽象函数值域赋值寻找突破
求抽象函数的值域,需要在赋值法的引导下,肯定或否定一些情形,逐步寻找解决问题的突破口.
问题6:已知定义域为的函数,对于任意,有恒成立,且存在,使得,求函数的值域.
【解析】卡壳点:对抽象函数的值域不会赋值分析判断.
应对策略:对于抽象函数,赋值分析是关铤,在赋值中不断探究与尝试,寻找解决问题的突破口.
问题解答:事实上,在中,令,得,故或.
若,则对任意均成立,这与存在,使得成立矛盾.
故,必有.
由于恒成立,因此对于任意,有.
下面证明:对任意.
假设存在,使得,则.
这与上面已证的矛盾,因此对于任意,有,所以.
【反思】从抽象函数运算性质上判断,指数函数满足此运算性质,然后进行证明.
强化练习
1.对于函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解析】由信息 “ f-x0=-fx0 ”可列 4-x0-m • 2-x0+1=-4x0-m⋅2x0+1
所以 m=4x0+4-x022x0+2-x0=2x0+2-x02-222x0+2-x0=2x0+2-x02 -12x0+2-x0
令 t=2x0+2-x0⩾2, 则 m=t2-1t 在 [2,+∞) 上单调递增, 所以该函数值域为 12,+∞, 选择 B.
【反思】视参数为变量, 建立目标函数, 将求参数范围转化 为求函数值域, 学会对不同类型的函数用不同的方法处理, 从而找到问题求解的基本思路.
2.已知函数,函数,若存在,,使得成立,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解析】首先注意函数 f(x) 的单调性, 当 x∈0,12 时, f(x) 由 16 单调递减到 0 ; 当 x∈12,1 时, f(x) 由 0 单调递增到 1 , 如答图所示.
函数 g(x) 的值域是 2-2a,2-32a, 所以满足 “存 在 x1,x2∈[0,1],使得
fx1=gx2 成立”. 原式转化为 2-32a⩾0,2-2a⩽1, 即 12⩽a⩽43, 故选 D.
解读: 观察此题结构, 给定的两个函数, 一个是分段函数, 且不易直接画出图象; 另一个是正弦函数, 且含有参数, 说明其可以乎移和放缩.
3.已知对任意,都有,且在上的值域为,则在上的值域为
【解析】 h(x+1)=f(x+1)g(x+1)=-h(x), 即 h(x)=-h(x-1).
当 1⩽x⩽2 时, 0⩽x-1⩽1,h(x)=-h(x-1)∈ [-2,1]
当 0⩽x⩽2 时, h(x) 的值域为 [-2,1]∪[-1,2]= [-2,2]
【反思】抓住函数的周期变化特征.
4.(1)函数的值域是
【解析】(1) 令 u=x2-x⩾0, 则 y=u+3u+1=1+2u+1,
因为 u+1⩾1, 所以 1【反思】 如果只关注函数值域的求解方法,忽视函数定义 域的限制, 容易出错, 如:易知 y≠1,yx2-x+1=x2-x+3,
整理得 (y-1)x2-(y-1)x+y-3=0.
根据题 意 知 Δ=(y-1)2-4(y-1)(y-3)⩾0, 即 (y-1)(-3y+11)⩾0, 所以 1用判别式法, 结果为 1,113, 显然是不正确的, 值得注 意的是, 并不是所有可转化为二次方程的问题都可以用判别 式法求值域.
另外, 可以看到函数定义域对函数值域的影响及方法选 择的限制.
（2）函数的值域是
解法 1 (换元解决)
令 x-1=2tan⁡θ,θ∈-π2,π2, 则 y=2tan⁡θ+ 1+2cs⁡θ=2⋅1+sin⁡θcs⁡θ+1=tan⁡θ2+π4+1, 进而可 得所求值域为 (1,+∞).
解法 2 根据题意,有 (y-x)2=x2-2x+3,y⩾x, 于 是 x=y2-32y-2.
进而 y⩾y2-32y-2, 解得 y>1, 于是所求值域为 (1,+∞).
【反思】解法 1 的智慧点在于对结构的识别; 解法 2 的智慧点在于从函数结构中找到 y⩾x, 将给定函数转化为含因变量的不等式.
5.已知(为正的常数),且为偶函数,记集合,若,求在上的值域.
【解析】 y=fx+14a=ax2+b+12x+116a+ b4a-34 为偶函数,所以 b=-12.
在区间 14a-1,14a+1 上, M=f14a+1=a- 34+116a,N=f14a
=-34+116a,
f(x) 在 A 上的值域是 -34+116a,a-34+116a.
【反思】在繁杂的字母中看清代数式结构, 认清常数与变量.
6.设函数.
(I)证明:;
(II)若不等式的解集是非空集,求实数的取值范围.
【解析】 (I) (x)+f-1x=|x-a|+1x+a⩾ x-a+1x+a=x+1x⩾2.
(II) g(x)=f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|
=-3x+3a,xa2,
要使等式 f(x)+f(2x)<12 的解集是非空集, 则 -a2 <12, 所以 -1【反思】 解决的基本思想方法是消元意识+消元技巧+变形能力+运算能力, 这也是问题突破的基本途径.
7.求函数的值域.
【解析 】解法 1 (欲擒故纵)
由题意得 yex+1=ex-1, 即 ex=1-y1+y>0, 所以 (y-1)(y+1)<0,
故 -1解法 2 (定比分点)
记 P1(0,-1),P2(0,1),P(0,y), 且 y=-1+1×ex1+ex, λ=ex>0, 所以点 P 内分线段 P1P2, 故 -1解法 3 (变更坐标)
令 u=ex,v=ex, 则 y=v-1u+1 表示在平面直角坐标 uOv 中, 动点 (u,v) 与点 (-1,1) 连线的斜率, 且满足 u=v> 0 , 所以 -1 解法 4(三角换元)
令 ex=tan⁡θ,θ∈0,π2, 则 y=tan⁡θ-1tan⁡θ+1= tan⁡θ-tan⁡π41+tan⁡θtan⁡π4=tan⁡θ-π4.
又 -π4<θ-π4<π4, 所以 -1【反思】(1) 一题多解是多角度看问题的基本方向, 通过题多思, 将知识连接成网络.
(2)学会从不同角度看待同一个问题, 本身就是创新思维的体验.
8.已知函数是定义在上的偶函数,当时,求的值域.
【解析】画出 f(x) 的部分图象, 如答图所示.
由图象不难判断 f(x) 的值域为 [0,1].
【反思】(1) 分段函数中含有形如 f(x)=12f(x-2) 的形 式, 其性质神似函数的周期性, 但外面有一个倍数关系, 依然可以考虑利用周期性的思想. 在作图时, 以一个“周期”图象为基础, 其余各部分按照倍数调整图象即可. 进一步推广还 有一种形如
f(x)=12f12x 的形式, 也可类比周期性, 仍以一个“周期” 图象为基础, 只是下一个区间长度发生变化 而已.
(2) 在作周期性函数或类周期性函数图象时, 若图象不连续, 则要注意每个“周期”的边界值是属于哪一段, 在图象中要准确标出, 这是利用数形结合解题的一个易错点.
(3) 画出函数 f(x) 的图象后, 就可以直观判断出函数的值域了.