一轮复习专题2.2 函数的定义域与值域（解析版）教案

02函数的定义域和值域

一、必备知识：

1.知函数解析式求定义域的基本依据：

（1）分式的分母      ；

（2）偶次根式的被开方数       ；

（3）对数函数的真数必须         ；

（4）指数函数和对数函数的底                 ；

（5）正切函数的角的终边               ；

（6）零次幂的底数             。

2.求复合函数定义域方法：

（1）已知的定义域是，求的定义域的方法：解不等式           ，求出的范围，再将所得范围写成集合或区间形式，即得所求的定义域。

（2）已知的定义域是，求的定义域的方法：求出        时，的范围，再将所得范围写成集合或区间形式，即得所求的定义域。

3.反函数的定义域是原函数的       。

4.函数的值域：

（1）值域是函数值组成的集合，它是由          和         确定的，因此求值域时一定要看       。

（2）函数的最大值：

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（I）对任意的，都有             ；

（II）存在使得         ，那么，我们称是函数的最大值。

5.函数的最小值：

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对任意的，都有            ；

（2）存在使得              ，那么，我们称是函数的最小值。

6.常见基本初等函数的值域：

（1）一次函数的值域是。

（2）二次函数，

当时，值域是               ，   当时，值域是                。

（3）反比例函数的值域是                  。

（4）指数函数的值域是       。

（5）对数函数的值域是        。

7.求函数值域及最值的基本类型及方法：

（1）形如的函数，用         求值域，要特别注意定义域。

（2）形如的函数，用       、           或            求值域。

（3）形如的函数，用                             求值域。

（4）其他方法：均值不等式法，单调性法，有界性法，导数法，图象法等。

自查自纠：

1.（1）不能为零（2）不小于零 （3）大于零（4）大于零且不等于1 （5）不能在y轴上（6）不能为零。

2.（1） （2） 3.值域 4.（1）函数值  定义域  对应法则确  定义域。

（2）（I） （II）

5.（1）   （2）

6.（1） （2）  （3） （4） （5）

7.（1）配方法（2）直接法 分离常数法 反函数法 （3）换元法（代数换元、三角换元）

二、题型训练：

题组一

1．函数的定义域为           ．

【答案】

【解析】由题意可知，解得．

2．函数＝＋的定义域为（     ）．

A．       B．C．    D．

【答案】A

【解析】由题，故选

3．函数的定义域为                .

【答案】

【解析】【解析】要使有意义，只需，则且，函数的定义域为：；

4．函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】要使函数式有意义，需满足条件： ，解得：，故选C .

5．函数的定义域为．

【答案】

【解析】由已知得，即，解得，由正弦函数图像可知。

6．函数的定义域是          .

【答案】

【解析】由，即得，解得，故函数的定义域为.

7．函数的定义域是         ．

【答案】

【解析】要使函数有意义满足，得，因此函数的定义域是．

8．函数的定义域为（    ）

A．B． C．       D．

【答案】D．

【解析】∵，∴函数的定义域为．

9．函数的定义域是．

【答案】

【解析】由题意得：，定义域是

10．函数的定义域是        ．

【答案】{2} 

【解析】解得答案{2}.

题组二

11．函数的定义域为，则函数的定义域是

A．           B．          C．            D．

【答案】D.

【解析】令，解得，即函数的定义域是.

12．若函数的定义域为，则函数的定义域为   （    ）

（A）         （B）          （C）        （D）

【答案】A.

【解析】因为函数的定义域为，所以，即，即；所以函数的定义域为.

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域是．

【答案】

【解析】因为函数的定义域为，所以要使有意义，则有即，又，所以函数的定义域为．

14．已知函数的定义域为（－1,1），则函数＋的定义域是           ．

【答案】

【解析】因为函数的定义域为（－1,1），所以所以函数＋的定义域为．

15．已知函数的定义域为，的定义域为（   ）

A．         B．      C．        D．

【答案】A

【解析】由题意，解得

16．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】C．

【解析】因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为．故应选C．

17．已知函数定义域是，则的定义域是（  ）

（A）    （B）   （C）    （D）

【答案】A

【解析】由题意

18．若函数的定义域为，则函数的定义域为(   )

A.        B.         C.        D.

【答案】A

【解析】因为的定义域为，所以，所以，所以，所以函数的定义域为为A.

19．已知函数定义域是，则的定义域是            ．

【答案】

【解析】 ，故的定义域为，所以令，解得

，故的定义域是。

20．若的定义域为，则的定义域为（   ）

A．   B．    C．    D．无法确定

【答案】C

【解析】由的定义域为，∴∴∴∴∴的定义域为．

21．已知的定义域为[－1，1]，则的定义域是_________．

【答案】．

【解析】∵的定义域为[－1，1]，∴，令，∴，

即的定义域是．

22．已知，则的定义域为（    ）

A. B.    C. D.

【答案】D

【解析】函数有意义，则必须满足，即，从而，所以函数的定义域为，那么的应满足，由此，故的定义域选择D.

23． 设f（x）＝则的定义域为__________________．

【答案】

【解析】要使函数有意义，需满足解得，要使函数有意义，需满足解得或，所以．

题组三

24．的图像如图，则的值域为（   ）

【答案】

【解析】由函数的图象可得，当时，函数取得最小值，函数的最大值为3，

故函数的值域为.

25．下列函数中值域为（0，的是（  ）

A． B．     C．   D．

【答案】A

【解析】，因为，所以，，函数的值域是，，因为，所以函数的值域，．因为，所以值域是，故选A．

26．下列函数中值域为的是（   ）

A．  B．   C．D．

【答案】C

【解析】中的函数，由于，所以函数值域为，中函数值域为，中函数，由于，；故选择

27．设函数，则函数的值域是___________．

【答案】

【解析】当时，，当时，，所以函数的值域为．

28．函数的值域为（   ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【答案】B

【解析】当时,时,时,

时,值域为

题组四

29．函数的值域是(     )

A. B.C.D.

【答案】B

【解析】的对称轴为

从图像上分析，当时，函数有最小值当时，函数有最大值故函数的值域为.

30．函数的值域为（    ）

A.          B.          C.       D.

【答案】B

【解析】函数的对称轴为x＝1，在[0，1]上单调递减，值域为[－2，－1]；在[1，3]上单调递增，值域为[－2，2]，∴函数在x∈[0，3]的值域为[－2，2]，故答案为B.

31．函数y= 当时，函数的值域为___________．

【答案】

【解析】因为，所以函数的对称轴为：，所以函数在上是减函数，在上是增函数，所以时有最小值，当时有最大值，所以函数的值域为．

32．函数的值域是（   ）

A．         B．      C．       D．

【答案】C

【解析】由得函数的定义域为，先求的值域为，再求得函数的值域为，则可以求出原函数的值域为.

33．函数的值域为         ．

【答案】[0，2]

【解析】设则原函数可化为，，从而所以的值域为[0，2]．

34．函数的值域是（  ）

A.     B. C.     D.

【答案】C

【解析】，，则，即函数的值域为.

35．函数在定义域A上的值域为，则区间A不可能为（　 ）

A．        B.           C.        D.

【答案】D

【解析】.对 A， B，C三个选项，值域都为，而对D选项，值域为选D.

36．函数的值域为（   ）

A．[0,3]          B．[-1,0]        C．[-1,3]          D．[0,2]

【答案】C

【解析】作出函数图象，由图象得

题组五

37．函数的值域是（   ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】∵为减函数∴；

38．函数的值域为        ．

【答案】

【解析】因为且是定义域上的减函数，所以．

39．函数的值域为      .

【答案】

【解析】由的定义域为.

所以，，函数的值域为.

40．函数的值域为       ．

【答案】．

【解析】设，因为所以又函数为增函数，有函数的值域为．

41．函数的值域为           .

【答案】

【解析】由题意可知令，所以,所以值域为

42．当时，函数的值域是（   ）

A．         B．   C．    D．

【答案】A

【解析】根据指数函数的单调性可知，在[－1，1]上单调递增，∴当x＝－1时取得最小值，当x＝1时函数取得最大值3－2＝1，∴函数的值域为，故选A．

43．函数的值域为（   ）

A．         B．         C．         D．

【答案】C

【解析】，，则，即的值域为.

44．函数的值域是（  ）

A．   B．   C．   D．R

【答案】A

【解析】因为，综上，原函数的值域为.

45．函数，的值域是         .

【答案】

【解析】∵，∴，∴，∴，

令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，

∴函数值域为.

46．函数的值域为（   ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】当时，，当时，，故函数的值域为

，故答案为D.

47．函数的值域是（   ）

A．(0，＋∞)B．(0,1)     C．(0,1]    D．[1，＋∞)

【答案】C

【解析】因为，又函数在［０，＋）上是减函数，所以，故选Ｃ．

题组六

48．函数的定义域是（－∞，1）∪[2,5），则其值域是（   ）

A． B．（－∞，2] C． D．（0，＋∞）

【答案】A

【解析】由于函数在区间（-∞，1）和区间[2，5）上单调递减，当x∈（-∞，1）时y∈（-∞，0），当x∈[2，5）时故选A.

49．f(x)＝+1在（1，2）上的值域_______．

【答案】(，1)

【解析】f(x)＝+1＝3—（1，2）是增函数,f（x)max<f(2)＝，f(x)min>(1)＝1.

50．函数的值域为           .

【答案】.

【解析】因为在上为减函数，当，则；当时，；即函数的值域为.

51．函数的值域为          .

【答案】

【解析】，所以值域为

52．函数的值域为         ．

【答案】

【解析】∵∴∴∴∴函数的值域为．

53． 函数的值域是（    ）

A．（0,1）     B．C．D．

【答案】A

【解析】，，则，∴，故选A．

54．函数的值域为___________.

【答案】

【解析】因为函数，，，，所以函数的值域是

55．设函数f（x）＝－，表示不超过x的最大整数，则函数的值域是（  ）

A．{0,1}  B．{0，－1}  C．{－1,1}  D．{1,1}

【答案】B

【解析】

∵[x]表示不超过x的最大整数，∴y=[f（x）]的值域为{-1，0}．故答案为：{-1，0}．

题组七

56．若函数的值域是，则函数的值域是（    ）

A．     B．C． D．

【答案】B

【解析】设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知：，，故选B．

57．函数的值域为            .

【答案】.

【解析】由已知得==2分

（1）当x+1>0,即x>-1时，

当且仅当，即x=1时，，此时.6分

（2）当x+1<0时，即x<-1时，

=-7当且仅当-，即x=-3时，，此时

综上所述，所求函数的值域为.

58．函数的值域为         。

【答案】

【解析】令，则在为增函数，则，即函数的值域为．

题组八

59．若函数在上的值域为，则=        ．

【答案】

【解析】由题可知，根据分离常数法可将函数化简为，由于，则，根据图像有，当时，取得函数值2，故，解得，即；

60．若函数的定义域为[0 ，m],值域为，则 m的取值范围是（  ）

A.[0 ，4]       B.[ ，4]     C.        D.[ ，3]

【答案】D

【解析】二次函数对称轴为，且，，由图得

61．若函数的定义域和值域都为，则的取值范围是______．

【答案】．

【解析】由题意得：．

62．若函数的定义域为值域为则实数的取值范围为           .

【答案】

【解析】函数的图像的对称轴是直线，当时，取得最小值，因为函数的定义域为，值域为，且当是，根据对称性时，又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以.

63．  已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是（  ）

A．0<m≤4           B．0≤m≤1           C．m≥4          D．0≤m≤4

【答案】D

【解析】∵的定义域是一切实数∴恒成立.当时，成立.当时，，解得综上所述：0≤m≤4

64．已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为      ．

【答案】{1}

【解析】设，则在R上的值域为，所以，即，所以的取值集合为；

题组九

65．已知函数的值域为,则        .

【答案】

【解析】根据题意要使的值域为，须使的值域为：，所以且即,解得：或（舍去），所以.

66．已知的值域为R，那么a的取值范围是（    ）

A．    B．   C．   D．

【答案】C

【解析】要是函数的值域为R，需使，∴，∴，故选C.

67．已知函数的值域为,则实数的取值范围是（   ）

A． B．  C．  D．

【答案】B

【解析】当时,所以要使的的值域为,需满足在时的值域中包含所有负数,所以,解得,故选B.

68．设函数=若的值域为R,则常数a的取值范围是（  ）

A．（-∞,-1]∪[2,+∞）B．[-1,2]    C．（-∞,-2]∪[1,+∞）D．[-2,1]

【答案】A

【解析】当时，，当时，∵的值域为R，∴,解不等式可得，或.故选A.

69．，值域为R，则的取值范围是        .

【答案】a≥1

【解析】当x＞2时，y=2x+a＞4+a,当x≤2时，y=x+3a≤2+3a∵f（x）的值域为R，

∴3a+2≥a+4,解不等式可得，a≥1