新高考数学二轮复习函数培优专题02 函数的值域（含解析）

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专题02 函数的值域
专项突破一 常见函数值域
1．函数f(x)=1-的值域为（       ）
A． B． C． D．
【解析】函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，
所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A
2．函数值域是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，故选：D
3．函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意，，，
所以函数的值域为.故选：A
4．(多选)下列函数， 值域为的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，，故A满足；
当时，，故B不满足；
，故C满足；
，故D不满足；
故选：AC
5．(多选)下列函数中，值域是的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项，，A不满足条件；
对于B选项，当时，则，所以，B不满足条件；
对于C选项，对于函数，，则，C满足条件；
对于D选项，对于函数，，则，D满足条件.
故选：CD.
6．已知函数是定义在区间上的偶函数，求函数的值域．
【解析】∵为偶函数，∴，即,
∴．又的定义域为，∴，∴，
∴，，∴函数的值域为．
7．求下列函数的值域：
(1)，①；②；(2)；(3).
【解析】(1)，
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，∴值域为[3，12]．
(2)令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
(3)，因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
8．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝；(4)y＝x＋．
【解析】(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示：

所以所求函数的值域为[2，11)．
(3)借助反比例函数的特征求．
，
显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(4)设(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，，
由u≥0，可知≥，所以y≥0．所以函数y＝x＋的值域为[0,＋∞)．
专项突破二 复杂函数值域
1．函数的值域是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】令，，
可得，，
，故.故选：B.
2．函数的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】当，，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，
所以，所以，所以，即，
综合得，， 故最小值为：.故选：B.
3．函数的最大值为（       ）
A． B．2 C． D．1
【解析】∵，∴，即函数的定义域为
.令，则，∴，
∴，当且仅当时有最大值为1，
当时，或1满足.故选：D
4．函数的值域为___________．
【解析】因为，令，则，则，所以，，所以在上单调递增，所以，即的值域为
5．函数的值域为_______________．
【解析】因为，，所以此函数的定义域为，
又因为是减函数，当
当所以值域为
6．函数的值域为__________．
【解析】，由，得，因为在上单调递增，
所以，即的值域为.
7．设，，则取得最大值时的x值为______．
【解析】，
此函数是由反比例函数向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的，
所以在和上单调递减，因为，，
所以取得最大值时的x值为45．
8．函数的最小值为___________.
【解析】令，则，
它表示半圆上的与连线的斜率（如图所示），

由图象得当与半圆相切时，函数取最小值，
此时,,，，
即的最小值为.
9．函数的值域是___________.
【解析】函数的定义域为，
，
由于，所以，且，所以且，
所以函数的值域为.
10．函数的值域是___________.
【解析】，因为，
所以函数的定义域为，令，整理得方程：，
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：，解得：
所以函数的值域为.
11．求函数的值域．
【解析】由，得．
∵，∴，
∴．
∵，∴，
∴，即．
又∵，∴，∴，∴函数的值域为．
12．（1）求的值域        
（2）求 的最大值
【解析】（1）令，则，
所以，
所以当时，即时，取最大值，，且无最小值，
所以函数的值域为.
（2），
所以当 时，，当 时，，
所以在上的最大值为．
13．求函数的值域.
【解析】由，且，解得，故该函数的定义域为，
又该函数在定义域内单调递减，所以当时，函数取得最小值，，
故该函数的值域是.
14．求下列函数的值域：
(1)；(2)；(3)．(4)．
【解析】(1)方法一   因为，且，所以，
所以原函数的值域为．
方法二 令，则，
所以原函数的值域为．
(2)因为，
所以，所以原函数的值域为．
(3)设，则且，
得．
因为，所以，即，所以原函数的值域为．
(4)方法一 令，因为，
所以关于x的方程有解，则当，即时，；
当时，，
整理得，解得或．
综上，原函数的值域为．
方法二 令，则，
当时，；
当时，，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，所以，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，所以．
综上，原函数的值域为．
专项突破三 抽象函数值域
1．若函数的值域为，则函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为的值域是［1，2］，
而与函数定义不同，值域相同，
所以的值域是［1，2］，所以的值域为.故选：B
2．已知函数的定义域为，值域为R，则（       ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【解析】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
3．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在
，上的值域为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【解析】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．故选：D．
4．定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（       ）
A．R B． C． D．
【解析】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，
令，可得，
再令，可得，
又在上的值域为，因此在上的值域为
则在R上的值域是.故选：C
5．若函数的值域是，则函数的值域为 __．
【解析】因为函数的值域是，所以函数的值域为，
则的值域为，所以函数的值域为．
6．已知定义在R上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.
【解析】因为，故对任意的整数，
当时，，
而且，故，
故在区间上的值域为：
，即为.
7．是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．
【解析】由是上的奇函数，是上的偶函数，
得到，，因为函数的值域为，
即，所以，又，，
得，所以的值域为：.
8．若函数的值域是，则函数的值域是________.
【解析】因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
9．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为_____．
【解析】∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，
故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，
10．函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）求在，上的值域.
【解析】（1）可令时，=-；
令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；
（2）函数在上为增函数.
证明：当时，有，可令，即有，则，
可得，则在上递增；
（3）由在上为增函数，可得在递增，
可得为最小值，为最大值，
由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，则的值域为.
专项突破四 复合函数值域
1．已知函数，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于函数，，当且仅当时等号成立，所以.
令，则，
由于时，递减，所以，
也即的值域为.故选：D
2．函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【解析】令，则，∵，
∴，∴函数的值域为，故选：D
3．若函数的值域是，则函数的值域是（        ）
A． B． C． D．
【解析】令，，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，故选：B．
4．已知函数的值域为，则函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】设．则．∵，∴．
则．
∵图象的对称轴为直线．当时，取得最大值1；
当时，取得最小值，函数的值域是，故选：B．
5．函数的定义域为，则函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【解析】的定义域为，
中，，解得，
即的定义域为，令，则
则，
当时，；当时，，
的值域为.故选：B.
6．函数的值域为___________.
【解析】∵函数，∴函数的定义域为R，又，
∴∴，即，∴函数的值域为.
7．函数的最大值为______.
【解析】由题意，令
故
由反比例函数性质，，故函数的最大值为
8．函数的值域是________________．
【解析】，且，
，，，
，故函数的值域是．
9．已知函数（），则函数的值域为_______
【解析】由题意，，
，
因为，故，，
所以的值域为.
10．若，，求函数的值域________.
【解析】要使函数成立，则，即，将函数代入得：
，令，则，所以，又或，故函数的值域为.
11．已知，则函数的最小值为__________.
【解析】设，则

当时，即时，有最小值
12．已知函数对任意x∈R满足＋＝0，＝，若当x∈[0，1)时，(a＞0且a≠1)，且．
(1)求的值；
(2)求实数的值；
(3)求函数的值域．
【解析】(1)∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(1)+f(-1)=0……①
∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(－1)=f(1)……②，
由①②可得f(1)＝0
(2)∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(﹣x)=﹣f(x)，即f(x)是奇函数．
所以,所以,即 ，
∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
又f()=f()=f()=1=，解得a=,
所以.
(3)当x∈[0，1)时，f(x)=ax+b=()x﹣1∈(﹣，0]，
由f(x)为奇函数知，当x∈(﹣1，0)时，f(x)∈(0，)，
∴当x∈R时，f(x)∈(﹣，)，设t=f(x)∈(﹣，)，
∴g(x)=f2(x)+f(x)=t2+t=(t+)2﹣，即y=(t+)2﹣∈[﹣，)．
故函数g(x)=f2(x)+f(x)的值域为[﹣，)．
13．若函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域．
【解析】（1）记，∵是奇函数，
∴，∴；
（2），，∴定义域为；
（3）由（1），
∵，∴或，
∴或，∴或．
∴值域为．
14．已知函数.当时，求该函数的值域；
【解析】，
令，由，则，
所以有，，
所以当时，，当时，
所以函数的值域为.
专项突破五 根据函数值域求参
1．若函数的值域为，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.故选：C.
2．已知函数的定义域与值域均为，则（       ）
A． B． C． D．1
【解析】∵的解集为，∴方程的解为或4，
则，，，∴，
又因函数的值域为，∴，∴.故选：A.
3．已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则             （       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：，∴5．故选：B
4．已知函数的值域是，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，
所以.设，
则，
故是偶函数.因为的值域是，所以的值域是，
则，解得.故选：B
5．若函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】，
当时，在上单调递增，
所以，此时，
当时，由，
当且仅当，即 时取等号，
因为在上单调递增，
若的值域为，则有，即，则，
综上，，所以实数的取值范围为，故选：A
6．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】根据函数的单调性可知，，即可得到，
即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．
故选：B．
7．(多选)已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】画出的图象如图所示：

由图可知：，，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.故选：ABC.
8．(多选)若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因为，开口向上，对称轴为
所以，当和时，函数值为，当时函数值为，
因为函数的定义域为，值域为，
所以，所以的值可能的选项是：ABC
9．(多选)是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，当时，值域为，则可能的取值为（       ）
A．13 B．5 C．1 D．-13
【解析】根据题意，函数满足且，
所以，所以，
所以的周期为，由当，
由为奇函数，当，又关于对称，可得如下图像，

如若要值域取得，根据答案当时符合题意，
此时，故C正确；
当，值域也是，故B正确；
由图可知不符题意，结合奇函数性质，故AD错误；
故选：BC
10．若函数的值域为，则实数a的取值可能是（       ）
A．0 B． C． D．1
【解析】当时，，故不符合题意；
当时，函数的值域为，
，解得.
故选：CD
11．方程有正数解，则的取值范围是_________.
【解析】方程转化为 ，化简为，
求的取值范围转化为求（）的值域，
设 ，，则在区间上单调递减，
则，所以的取值范围是.
12．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_______.
【解析】令，
因为的值域为，
所以取遍 所有的实数
所以，解得
13．函数的值域为，则实数a的取值范围是______．
【解析】当时，，即，
当时，
若，即，则单调递增，，即，
要使，则，即；
若，即，此时，不满足题意；
当，即时，单调递减，，即，
显然.
综上，
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.
【解析】∵函数的值域为，又当时，，
∴，解得.
15．已知，函数有最大值，则实数的取值范围是___________.
【解析】由在上递减，当时值域为，当时值域为，
由在上递增，当时值域为，当时值域为，
∴要使函数存在最大值，则且，即，∴.
16．若函数的值域为，则的值为__________.
【解析】设，可得，
由题意可知，关于的方程在上有解，
若，可得，则；
若，则，即，
由题意可知，关于的二次方程的两根为、，
由韦达定理可得，解得.
综上所述，.
17．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)当时，若函数的值域为，，求，的值．
【解析】(1)根据题意，函数为偶函数，
则有对恒成立，
即对恒成立。
解得；
(2)∵，
当时，为增函数，则有：，
即、是方程的两个根，
又由，则，则，．
18．函数为R上的奇函数，
（1）求m的值
（2）若在上有解，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由函数为R上的奇函数，得，
即，∴，
此时，则，所以函数为奇函数；
故；
（2）由（1）可得，．
若，则，∴，∴，
又在上有解，∴只需．