专题04 求函数的定义域、值域（解析版）

专题04  求函数的定义域、值域

【热点聚焦与扩展】

函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.

（一）函数的定义域

1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域；

②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．

3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.

4.与定义域有关的几类问题

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；

第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．

第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．

（二）函数的值域

1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.

2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.

3.利用三角函数的有界性,如.

4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，

① ：换元→分离常数→反比例函数模型

② ：换元→分离常数→模型

③ ：同时除以分子：→②的模型

④ ：分离常数→③的模型

共同点：让分式的分子变为常数

5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种：

① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.

② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.

③形如型,可用此法求其值域.

6.利用基本不等式法:

7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域

8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域.

      9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部

      分剔除.

10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.

（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.

（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.

（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.

（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.

（2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.

（3）反比例函数：

（1）图像关于原点中心对称

（2）当 ，当.

（4）对勾函数：

① 解析式特点：的系数为1；

注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值

例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得

② 极值点：

③ 极值点坐标：

④ 定义域：

⑤ 自然定义域下的值域：

（5）函数： 注意与对勾函数进行对比

① 解析式特点：的系数为1；

② 函数的零点：

③ 值域：

（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为

（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为

【经典例题】

例1.【2020年高考北京卷11】函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．

【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．

例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数的定义域是（    ）

A．（0，1）∪（1，4]        B．（0，4]

C．（0，1）                D．（0，1）∪[4，+∞）

【答案】A

【解析】

故选：A

【专家解读】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 解得

故答案为C

例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数，∴，

解得x＞0且x≠1，

∴f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B．

例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．

例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数的定义域为实数集，所以开口向上的二次函数的图象，与 轴没有交点，即，即实数的取值范围为，故选D.

【专家解读】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型， ，只需 ；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需.

例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令即，解得.

若有意义，则即.

故选：D.

【专家解读】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.

【精选精练】

1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.

故选B.

【专家解读】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.

2．【2020届北京市东城区高三三模】下列函数中，与函数的定义域和值域都相同的是（    ）

A．， B．

C． D．

【答案】C

【解析】由指数函数性质知：的定义域为，值域为.

对于，定义域为，与不同，错误；

对于，值域为，与不同，错误；

对于，定义域为，值域为，与相同，正确；

对于，定义域为，与不同，错误.

故选：.

【专家解读】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.

3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数的图像如下：

因为方程有四个不同的解，，，，且，

所以有，，故，

再由可得或，

即，

令，()，

则，

因为，所以，

即函数在上单调递减，

又，，

所以.

即的取值范围是

故选A

【专家解读】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.

4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵，∴，

即函数的值域为，值域跨度为2；

∵，

∴的值域为，值域跨度为；

∵，

∴函数的值域为，值域跨度为2；

∵，值域跨度为2；故选：B.

【专家解读】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.

5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数的值域为（    ）.

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】因为

由，解得．

可得函数的定义域为：．

又．

令，则，即在上单调递增，

令，解得，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以为极小值点，

又，，．

函数的值域为．

故选：A．

【专家解读】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数是偶函数，则函数的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】C

【解析】因为函数是偶函数，

所以，即，化简可得：，

解得：，即.

又因为，，

所以（当且仅当时两个“”同时成立）.

故选：C.

【专家解读】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.

7．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵函数的值域为，

∴

∴

∴实数的取值范围为

【专家解读】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.

8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，

因为为减函数，所以，即值域为.

故选:A.

【专家解读】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.

9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数在上的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的对称轴为，

由于二次函数的开口向上，

故函数在处取到最小值，

最大值为，

故所求值域为.

故选：D.

【专家解读】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.

10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y＝ (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]，

所以a>1，

y＝在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，

所以f(0)＝＝1，f(1)＝0，

所以a＝2，

所loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3.

故选C

【专家解读】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

11．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数的定义域是______.

【答案】

【解析】因为，

所以，所以，

所以，

解得或或.

故答案为：

【专家解读】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数的定义域是____________

【答案】

【解析】

解得且即

即函数的定义域为，

故答案为：

【专家解读】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________.

【答案】-4

【解析】函数，其中

若，由于，即，

∴对于正数b，的定义域为:，

但的值域，故，不合要求.

若，对于正数b，的定义域为.

由于此时，故函数的值域.

由题意，有，由于，所以.

故答案为：﹣4

【专家解读】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.

14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.

【答案】，（答案不唯一）

【解析】由得：    的定义域为

又为定义域内的增函数    值域为

的一个“同域函数”为，

故答案为：，（答案不唯一）

【专家解读】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.

15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数的值域为，则实数t的取值范围是__________．

【答案】

【解析】令，

当时，，因为在上单调递增，因此值域为为的子集，所以；

当时，， 为的子集，所以；

当时，，当且仅当时取等号，因为为的子集，所以；

综上，

故答案为：

【专家解读】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.

16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】因为函数在上单调递减，

所以，即，

所以函数的值域为，

因为对任意的，总存在使得成立，

故的值域是值域的子集，

对，，

当时，，符合题意；

当时，函数在单调递增，所以，

所以解得，又，所以，

综上，实数a的取值范围是．

故答案为：

【专家解读】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的，都存在，使得成立”此类问题“等价转化”策略是利用的值域是值域的子集来求解参数的范围．