高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列课时练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13D．12或13
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－，则Sn取得最大值时n的值为( )
A．3B．4
C．5D．6
3．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9B．10
C．19D．29
4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为( )
A．一尺五寸B．二尺五寸
C．三尺五寸D．四尺五寸
5．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )
A．a10＝0B．S7＝S12
C．S10最小D．S20＝0
二、填空题
6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是________．
8．在等差数列{an}中，a3＋a10＝5，a7＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为________．
三、解答题
9．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
10．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝( )
A．35B．32
C．23D．38
11．(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
12．(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则( )
A．d＞0
B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值
D．S5＞S6
13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)该数列的前几项和最大？
15．在①an＋1－an＝－，②an＋1＝an＋n－8这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝9，________，求{an}的通项公式，并判断Sn是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
课时分层作业(六)
1．D [∵a1＝24>0，d＝－2<0，
且a13＝0，∴S12＝S13，∴n＝12或13时，Sn取最大值．故选D.]
2．A [∵a1＝10，d＝－，
∴Sn＝10n＋×＝－n2＋n.
∵n∈N*，抛物线y＝－x2＋x的对称轴为直线x＝，且开口向下，
∴当n＝3时，Sn取得最大值为.故选A.]
3．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]
4．B [由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{an}，Sn是其前n项和，则S9＝＝9a5＝85.5(尺)，所以a5＝9.5(尺)，由题知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5(尺)，所以a4＝10.5(尺)，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5(尺)．故选B.]
5．AB [因为{an}是等差数列，设公差为d，由a1＋5a3＝S8，可得a1＋9d＝0，即a10＝0，即选项A正确；又S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，即选项B正确；当d>0时，则S9或S10最小，当d<0时，则S9或S10最大，即选项C错误；又因为S19＝19a10＝0，a20≠0，所以S20≠0，即选项D错误．故选AB.]
6．8 [∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.
故前8项的和最大．]
7． [由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，
可知即
解得－18．70 [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
所以Sn＝na1＋d＝－n2＋n.
因为二次函数y＝－x2＋x图象的对称轴为直线x＝，n∈N*，
所以当n＝7时，(Sn)max＝70.]
9．解： 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…，
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由题知，20个月贷款还清．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
10．A [由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.
故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.]
11．ABD [显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．
又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．
而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．]
12．BC [因为Sn＝na1＋d，所以Sn＝n2＋n，
则Sn是关于n(n∈N*，n≠0)的一个二次函数，又a1＞0且S6＝S9，
对称轴n＝＝，开口向下，则d<0，故A错误；
又n为整数，所以Sn在[1，7]上单调递增，在[8，＋∞)上单调递减，所以S5＜S6，故D错误；
所以最靠近的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确；由题意知a7＋a8＋a9＝0，∴a8＝0，故B正确．故选BC.]
13．2000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米).]
14．解： (1)由a3＝12，S12＞0，S13＜0，得
整理得
解得－＜d＜－3.
故公差d的取值范围是.
(2)法一：由题意可得d＜0，∴{an}为递减数列．由S12＞0，S13＜0，可知在1≤n≤12中，必存在自然数n，使得an≥0，an＋1＜0，此时对应的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
∵∴a7＜0，a6＞0，∴前6项和最大．
法二：解关于n的不等式组
得
由－＜d＜－3，得n≤3－＜3＋＝7，n＞2－＞2＋＝5.5.
∴5.5＜n＜7.∵n∈N*，∴n＝6.故当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大．
法三：Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋d＝n2＋n＝－.
由－＜d＜－3，知6＜＜6.5，
∴当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大．
15．解： 若选①：因为an＋1－an＝－，a1＝9，所以{an}是首项为9，公差为－的等差数列．
所以an＝9＋(n－1)·＝－n＋.
由－n＋≥0，得n≤82，又a82＝0，
所以Sn存在最大值，且最大值为S81或S82，
因为S81＝81×9＋×＝369，所以Sn的最大值为369.
若选②：因为an＋1＝an＋n－8，所以an＋1－an＝n－8，
所以a2－a1＝－7，a3－a2＝－6，…，an－an－1＝n－9，
以上(n－1)个等式等号两边分别相加得
an－a1＝＝，
因为a1＝9，所以an＝(n≥2)，
又a1＝9也满足上式，
所以an＝．
当n≥15时，an>0，故Sn不存在最大值．