2024版新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角导学案新人教A版必修第一册

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5.1.1　任意角【学习目标】　(1)理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．(2)能在指定范围内，找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角．(3)能写出与任一已知角终边相同的角的集合．(4)熟练掌握象限角与轴线角的集合表示．(5)会写出某个区间上角的集合．题型 1任意角的概念【问题探究1】　(1)回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？(2)在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角度表示吗？例1　将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　)A．10°　 B．15°C．30°　 D．－30°学霸笔记：处理任意角问题的两个关键点(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小．跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°题型 2象限角【问题探究2】　为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？例2　下列命题中正确的是(　　)A．第一象限角一定不是负角B．钝角一定是第二象限角C．小于90°的角一定是锐角D．第一象限角一定是锐角学霸笔记：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要一个反例即可．跟踪训练2　给出四个命题：①－60°是第四象限角；②235°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的有(　　)个．A．1 B．2C．3 D．4题型 3终边相同的角【问题探究3】　在同一平面直角坐标系中画出以下几个角：30°，－30°，390°，－330°.我们发现30°，390°，－330°这三个角的终边都是同一条射线，它们的终边相同．你还能找出哪些以这一条射线为终边的角？与30°终边相同的角与30°有什么关系？与30°终边相同的角的集合如何表示？例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．题后师说在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤跟踪训练3　(1)下列各角中，与26°角终边相同的角为(　　)A．206° B．－334°C．116° D．－154°(2)终边落在x轴上的角的集合为________．题型 4区域角的表示例4　写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．题后师说表示区域角的一般步骤跟踪训练4　表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界)．随堂练习1.现有如下三个集合，A＝{钝角}，B＝{第二象限角}，C＝{小于180°的角}，则下列说法正确的是(　　)A．A＝B B．B＝CC．A⊆B D．B⊆C2．与－20°角终边相同的角是(　　)A．－300° B．－280°C．320° D．340°3．已知角α＝563°，那么α的终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．小于360°且终边与角－45°重合的正角是________．课堂小结1.任意角、终边相同的角的概念．2．与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α， k∈Z}，这一结果表示角周而复始的变化规律，同时，它也是研究角之间关系的最为基础的知识．5．1.1　任意角问题探究1　提示：(1)角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.(2)“转体两周”指顺时针旋转720°或逆时针旋转720°.“向前翻转两周半”指顺时针或逆时针旋转900°，转的角度不能用0°到360°的角表示．例1　解析：分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.故选B.答案：B跟踪训练1　解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.故选B.答案：B问题探究2　提示：第一、第二、第三、第四象限或坐标轴上．例2　解析：对于A，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，同时也是负角，故A错误；对于B，不妨设θ是钝角，则90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正确；对于C，令β＝－60°，显然β是小于90°的角，但不是锐角，故C错误；对于D，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，但不是锐角，故D错误．故选B.答案：B跟踪训练2　解析：对①：－60°是第四象限角，故①正确；对②：180°<235°<270°，故其为第三象限角，故②正确；对③：475°＝360°＋115°，115°是第二象限角，故475°是第二象限角，③正确；对④：－315°＝－360°＋45°，45°是第一象限角，故－315°是第一象限角，④正确．故正确的有4个．故选D.答案：D问题探究3　提示：与30°、390°、－330°终边相同的角还有750°，－690°等，这样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，所有与30°角终边相同的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．例3　解析：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.跟踪训练3　解析：(1)与26°角终边相同的角为θ＝360°·k＋26°，k∈Z，对选项A：取θ＝360°·k＋26°＝206°，k不是整数解，排除；对选项B：取θ＝360°·k＋26°＝－334°，k＝－1，正确；对选项C：取θ＝360°·k＋26°＝116°，k不是整数解，排除；对选项D：取θ＝360°·k＋26°＝－154°，k不是整数解，排除．故选B.(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．答案：(1)B　(2){β|β＝k·180°，k∈Z}例4　解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．跟踪训练4　解析：图(1)中，330°＝360°－30°，∴对应为k·360°－30°<θ