广西专版2023_2024学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数过关检测新人教A版必修第一册

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第四章过关检测(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　)A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案C解析由题意,可知x2-x>0,得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).2.函数y=lox,x∈(0,8]的值域是(　　)A.[-3,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,-3) D.(-∞,3]答案A解析∵函数y=lox在定义域内单调递减,又x∈(0,8],∴lox≥lo8,∴lox≥-3,∴y≥-3.3.函数f(x)=的零点是(　　)A.1 B.-1 C.±1 D.0答案B解析令f(x)=0,得=0,即x+1=0,所以x=-1.4.若20,∴f(-1)f(0)<0,∴有零点的区间是[-1,0].6.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　)A.{x|-10),则a=log4k,b=log6k,c=log9k.对于A,ab+bc=2ac,即=2.因为=log69+log64=log636=2,故A中等式成立,B中等式不成立;对于C,=2logk4+logk6=logk96≠=2logk9=logk81,故C中等式不成立;对于D,=2logk6-logk4=logk=logk9=,故D中等式成立.10.有一组实验数据如下表所示:则下列所给函数模型不适合的有(　　)A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)答案ABD解析由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变,故选ABD.11.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(3-x),则下列说法正确的是(　　)A.f(x)在区间(-1,3)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称D.f(x)的值域为R答案ACD解析f(x)的定义域是(-1,3),f(x)=ln,令t(x)=-1(x∈(-1,3)),则t(x)∈(0,+∞),且t(x)在区间(-1,3)内单调递增,所以f(x)=lnt(x)在区间(-1,3)内单调递增,且值域为R,故A,D正确;又f(1+x)=ln,f(1-x)=ln,所以对定义域内的任意x,有f(1+x)=-f(1-x),而f(1+x)≠f(1-x)(只有当x=0时,才有f(1+x)=f(1-x)),故B不正确,C正确.故选ACD.12.已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是(　　)A.当k>0时,有3个零点 B.当k<0时,有2个零点C.当k>0时,有4个零点 D.当k<0时,有1个零点答案CD解析由y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,设f(x)=t,则方程f(f(x))=-1等价于f(t)=-1.①若k>0,作出函数f(x)的图象如图①.则此时方程f(t)=-1有两个根,其中t2<0,0.综上所述,实数a的取值范围为[1,+∞).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算:+(lg 5)0+;(2)解方程:log3(6x-9)=3.解(1)原式=+(lg5)0++1+=4.(2)由方程log3(6x-9)=3,得6x-9=33=27,则6x=36=62,得x=2.经检验,x=2是原方程的解.故原方程的解为x=2.18.(12分)已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足00,解得-10,且a≠1,m,b∈R)和②y=c+d(c,n,d∈R)求y关于x的函数解析式.(2)已知该主播的粉丝量为9万人时,商品销售利润为3.3万元,你认为(1)中哪个函数模型更合理?说明理由.(参考数据:≈7.55)解(1)对于模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R),由题意得解得所以y=log2(x-1)+(x≥2).对于模型②y=c+d(c,n,d∈R),由题意得解得所以y=(x≥2).(2)对于函数y=log2(x-1)+(x≥2),当x=9时,y==3.25.对于函数y=(x≥2),当x=9时,y=.因为-3.3≈0.225>|3.25-3.3|=0.05,所以选择模型①更合理.21.(12分)已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明.(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.证明如下:设x1,x2∈[0,+∞),且x10,所以函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点x0.因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2<0,所以x0∈(1.5,2).又因为g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2>0,所以x0∈(1.5,1.75).又1.75-1.5=0.25<0.3,所以g(x)的精确度为0.3的零点的近似值可取1.5.(注:函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]上的任意一个数都可以)22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)在R上为减函数;(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.(1)解因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1,又f(-1)=-f(1),即=-,得a=1.经检验a=1,b=1符合题意.(2)证明由(1)可知,f(x)=.任取x1,x2∈R,且x10.又(+1)(+1)>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)为R上的减函数.(3)解因为t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3(t-)2-≥-,所以k<-,即k的取值范围为(-∞,-).x12345y1.55.913.424.137x/万人235y/万元