专题1.5一元一次方程的应用15种类型精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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专题1.5一元一次方程的应用15种类型精讲精练
（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】
【知识梳理】
一.一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=利润进价×100%；
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
二.利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的应用——分配问题
【例1】（2020秋•淮阴区期中）某班学生39人到公园划船，共租用9只船，每只大船可坐5人，每只小船可坐3人．每只船都坐满，问大、小船各租了多少只？
【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
【变式1.2】（2020·江苏·射阳外国语学校七年级阶段练习）某中学有住宿生若干人，若每个房间住8人，则有3人无处住；若每个房间住9人则有两张空床位，问该中学有宿舍多少间，住宿生有多少人？
【变式1.3】（2019·江苏·常州市兰陵中学七年级阶段练习）已知甲队有45人，乙队有30人，如果要使乙队人数只有甲队人数的一半，那么需要从乙队抽调多少人去甲队？
【考点2】一元一次方程的应用——配套问题
【例2】（2019秋•涟水县月考）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）七年级2班有男生、女生各多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【变式2.1】（2020·江苏·南通田家炳中学七年级期中）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【变式2.2】（2022·江苏·七年级专题练习）劳作课上，王老师组织七年级5班的学生用硬纸制作圆柱形笔筒．七年级5班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，每名学生每小时能剪筒身30个或剪筒底90个．
（1）七年级5班有男生，女生各多少人；
（2）原计划女生负责剪筒身，男生负责剪筒底，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，男生应向女生支援多少人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【变式2.3】（2021·江苏省南京市浦口区第三中学七年级阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）
A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法．
（1）用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【考点3】一元一次方程的应用——行程问题
【例3】（2020春•金湖县模拟）5月的第二个周日是母亲节，小东准备精心设计一份手工礼物送给妈妈，为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料．小东离家15分钟时自行车出现故障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着自行车继续走向商店．父亲贺明接到电话后（接电话时间忽略不计），立即骑车出发追赶小东，15分钟时追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米．
（1）求父亲贺明和小东骑车的速度；
（2）求小东家到商店的路程．
【变式3.1】（2022·江苏无锡·七年级期末）列方程解应用题：
已知两地相距300千米，甲车的速度为每小时75千米，乙车的速度为每小时45千米．
(1)若两车分别从A、B两地同时同向而行（甲车在乙车后面），问经过多长时间甲车追上乙车？
(2)若两车同时从A、B两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？
【变式3.2】（2023·江苏·七年级专题练习）某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h．在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时．求A、B两市之间的路程．
【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
(1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？
【考点4】一元一次方程的应用——顺水逆水问题
【例4】（2020秋•黄陵县期末）某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地距离是2千米，则AB两地距离多少千米？（C在A、B之间）
【变式4.1】（2022·江苏·七年级专题练习）小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A、B两地之间的路程．
【变式4.2】（2022·江苏·七年级单元测试）轮船在静水中的航行速度25km/h，水流速度为5km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用6h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．
【变式4.3】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题：
在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．
【考点5】一元一次方程的应用——工程问题
【例5】（2019秋•兴化市校级期末）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务分配给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求：
（1）甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？
（2）甲、乙两工程队各整治河道的天数．
【变式5.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．
(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务．
【变式5.2】（2022·江苏扬州·二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．
(1)甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？
(2)现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作，______________小时可完成．（直接写答案）
【变式5.3】（2022·江苏·七年级专题练习）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．
(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
【考点6】一元一次方程的应用——积分问题
【例6】（2019秋•丰台区期末）为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛．如表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
（1）本次比赛中，胜一场积 3 分；
（2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出F代表队胜出的场数．
【变式6.1】（2017·江苏·兴化市海河学校七年级期中）某篮球联赛规则规定：胜一场得2分,负一场得1分.某篮球队赛了12场,共得20分. 该篮球队负了多少场？请按照下列步骤解决这个问题：
（1）设该篮球队胜了x场，则负了_________场，根据题意列出一个一元一次方程：_________；
（2）解（1）中所得的方程，并回答：该篮球队负了多少场？
【变式6.2】（2021·江苏·七年级专题练习）盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：
盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：
（1）从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积______分
（2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．
【变式6.3】（2021·江苏南京·七年级期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”．2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3−0或者3−1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3−2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示．
（1）中国队11场胜场中只有一场以3−2取胜，请将中国队的总积分填在表格中，
（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数．
【考点7】一元一次方程的应用——数字问题
【例7】（2019秋•道里区校级月考）一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？
【变式7.1】（2021·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”．如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：
(1)请直接写出2019的“颠倒数”为____．
(2)能否找到一个数字填入口，使下列由“颠倒数”构成的等式13×6口＝口6×31成立？若能，求出这个数字；不能，请说明理由．（要求列方程解）
【变式7.2】（2022·江苏苏州·七年级期末）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”． 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15．
(1)在图2的“等和格”方格图中，可得a＝ ．（用含b的代数式表示）；
(2)在图3的“等和格”方格图中，可得a＝ ，b＝ ；
(3)在图4的“等和格”方格图中，可得b＝ ．
【变式7.3】（2022·江苏扬州·七年级期末）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为Qx．例如，当x=12，对调个位数字与十位数字得到的新两位数21，新两位数与原两位数的和为12+21=33，和33除以11的商为33÷11=3，所以Q12=3．
(1)计算：Q24=______；
(2)若一个“互异数”x的十位数字是4，个位数字是3m−1，且Qx=13，求x；
(3)经思考，小聪同学发现：“若Qx=n（n为常数），则“互异数”x的个位数字与十位数字之和一定为n”，请判断小聪同学的发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，请举例说明．
【考点8】一元一次方程的应用——年龄问题
【例8】（2019秋•北京期末）今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）
【变式8.1】（2022·陕西·陇县教学研究室七年级期中）已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的12还多1岁．
(1)求这三名同学的年龄的和；
(2)小红比小华大几岁？
【变式8.2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，而9年前弟弟的年龄只有哥哥的年龄的15，哥哥现在年龄是多少？
【变式8.3】（2022·全国·七年级专题练习）游戏规则
组员把自己的年龄加上10，结果乘以10，再减去10，再减去自己的年龄，结果除以9，将自己计算的结果告诉组长，组长就知道你的实际年龄．
请你指出这个游戏背后的数学原理．
【考点9】一元一次方程的应用——日历问题
【例9】（2019秋•武城县期中）某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历
（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为 3a ， 9a ．
（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形．
（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出来，不存在说明理由．
（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断．
【变式9.1】（2022·江苏·七年级专题练习）将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）
(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________；
(2)十字框内五个数的最小和是________；
(3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；
(4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由．
【变式9.2】（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）将奇数1至2021按照顺序排成表．
记P(m，n)表示第m行第n个数，如P(2，3)表示第2行第3个数是17．
（1）P(4，5) = ；
（2）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
（3）若P(m，n) =2021，推理m = ；n = ．
【变式9.3】（2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）生活与数学
（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是 ；
（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是 ；
（3）小军也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 号；
（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也学小军画了一个十字框，十字框内5个数的和为400，托马斯请小军计算十字框的中间一个数，小军则认为托马斯的问题有误．你同意小军的观点吗？如果同意，请说明理由；不同意，请计算出十字框中间的数．
【考点10】一元一次方程的应用——二元关联问题
【例10】（2019秋•大东区期末）列一元一次方程解应用题：某校为了开展“阳光体育运动，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
【变式10.1】（2022·江苏·七年级专题练习）为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
【变式10.2】（2022·江苏·七年级专题练习）七年级某班准备购买一些羽毛球和羽毛球拍，现从甲、乙两店了解到：同一款式的羽毛球和羽毛球拍价格相同，一套（一盒羽毛球和一副羽毛球拍）总价60元，一副羽毛球拍的单价是一盒羽毛球单价的4倍．甲店的优惠政策是：每买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，每多买的一盒羽毛球按原价付款；乙店的优惠政策是：一盒羽毛球和一副羽毛球拍都按定价实行9折优惠．
(1)求一盒羽毛球和一副羽毛球拍的单价分别是多少？
(2)若购买5副羽毛球拍和m（m不少于5）盒羽毛球，当m为多少时，到甲、乙两店购买付款一样多？
【变式10.3】（2022·江苏盐城·七年级期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？
【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程_____________
（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程_____________
请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题．
【考点11】一元一次方程的应用——盈亏问题
【例11】（2021秋•香坊区校级月考）两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件盈利40%，则两件商品卖出后总共盈利还是亏损？为什么？
【变式11.1】（2023·江苏·七年级专题练习）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：
(1)降价前每件衬衫的利润率为多少？
(2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
【变式11.2】（2023·江苏·七年级专题练习）某校新学期准备添置一批课桌椅，原计划订购50套，每套120元，店方提示：如果多购，可以优惠，结果该校实际订购了60套，每套减价5元，但商店获得了同样多的利润，求每套课桌椅的成本价．
【变式11.3】（2022·江苏·七年级单元测试）2022年春节来临之际，各大商场都进行了促销活动．某商场将某品牌的电视机按进价提高60%作为标价，然后以“九折酬宾，再返现金200元”的优惠进行促销，结果该品牌电视机每台仍可获利460元．求该品牌电视机每台的进价．
【考点12】一元一次方程的应用——销售问题
【例12】（2019秋•吴兴区期末）每年“双十一”购物活动，商家都会利用这个契机进行打折满减的促销活动．某商家平时的优惠措施是按所有商品标价打七折；“双十一”活动期间的优惠措施是：购买的所有商品先按标价总和打七五折，再享受折后每满200元减30元的优惠．
如标价为300元的商品，折后为225元，再减30元，即实付：300×0.75﹣30＝195（元）．
（1）该商店标价总和为1000元的商品，在“双十一”购买，最后实付只需多少元？
（2）小明妈妈在这次活动中打算购买某件商品，打折满减后，应付金额是507元，求该商品的标价．
（3）在（2）的条件下，若该商家出售的商品标价均为整数，小明通过计算后告诉妈妈：通过凑单的办法，只须再多支付 元，就可以得到最大的优惠．
【变式12.1】（2022·江苏南京·七年级期末）某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元/台，优惠活动如下：
(1)①若该单位购买了16台这种手写板，花了 元；
②若该单位购买了x（x＞20）这种手写板，花了 元；（用含x的代数式表示）
(2)若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量．
【变式12.2】（2022·江苏无锡·七年级期末）元旦期间，某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
(1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
(3)该超市第二次又购进同样数量的甲，乙两种商品，其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元，甲种商品按原售价提价m%销售，乙种商品按原售价降价m%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，求m的值．
【变式12.3】（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动：
甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；
乙店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．
某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．
(1)当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款多少元？在乙店购买需付款多少元？（用含x的代数式表示）
(2)当购买乒乓球盒数为多少盒时，两家费用相同？请计算说明．
【考点13】一元一次方程的应用——方案设计问题
【例13】（2019秋•石城县期末）海洋服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带定价打9折付款．现有某客户要到该服装厂购买西装50套，领带x条（x＞50）．
（1）若该客户分别按两种优惠方案购买，需付款各多少元（用含x的式子表示）．
（2）若该客户购买西装50套，领带60条，请通过计算说明按哪种方案购买较为合算．
（3）请通过计算说明什么情况下客户分别选择方案①和②购买较为合算．
【变式13.1】（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；
B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元． 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付
1000×2−80×2−50×4−100=1540元)．
(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；
(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；
(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?
【变式13.2】（2022·江苏·七年级专题练习）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）.若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制成葡萄饮料销售，每加工1吨原汁可获利润2000元.该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）
方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；
方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成.
(1)方案一获利情况.
(2)方案二如何安排原汁的使用.
(3)请你帮葡萄加工厂选一种方案，使这10吨葡萄既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润.
【变式13.3】（2021·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）；
(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？
【考点14】一元一次方程的应用——分段计费问题
【例14】（2020秋•天宁区校级期中）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体体收费标准见下表：
例：某用户1月份用水25吨，应缴水费1.6×20+2.4×（25﹣20）＝44（元）．
（1）若张红家5月份用水量为10吨，则该月需缴交水费 16 元；
（2）若张红家6月份缴交水费62.6元，则该月用水量为 32 吨；
（3）若张红家7月份用水量为a吨（a＞30），请计算该月需缴交水费多少元？（用含a的代数式表示）
【变式14.1】（2022·江苏·苏州工业园区星湾学校七年级期中）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t2分钟．
(1)请用含t1t1>150、t2t2>350的代数式表示甲和乙的通话费用；
(2)若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；
(3)若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为______．
【变式14.2】（2022·江苏·七年级专题练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．
(1)表中a的值为 ；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．
【变式14.3】（2022·江苏·七年级专题练习）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表：
例如，某户家庭年用水128立方米，应缴纳水费：120×5+128−120×6.75=654（元）．
(1)小明家2019年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？
(2)小敏家2019年共用水a立方米（a>180），请用含a的代数式表示应缴纳的水费．
(3)小慧家2019年，2020年两年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，两年共缴纳水费2220元，求小慧家这两年的年用水量分别是多少？（列一元一次方程求解）
【考点15】一元一次方程的应用——与数轴问题
【例15】（2020秋•滨湖区期中）如图，一把长度为5个单位的直尺AB放置在如图所示的数轴上（点A在点B左侧），点A、B、C表示的数分别是a、b、c，若b、c同时满足：
①c﹣b＝3；②（b﹣6）x|b﹣5|+3＝0是关于x的一元一次方程．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）设直尺以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当t＝1时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
【变式15.1】（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为−1、0、2、11． 线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
(1)用含有t的代数式表示AM的长为 ．
(2)当AM+BN=12时，求t的值；
(3)若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗?若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由．
【变式15.2】（2022·江苏·无锡市江南中学七年级期中）如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知OA＝5，OB＝3，CD＝2，P、Q两点同时从原点O出发，沿着数轴正方向分别以每秒钟a和b个单位长度的速度运动，且a＜b．点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，速度不变，在点C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动,且P点的速度变为2a，Q点的速度不变.
(1)P、Q两点相遇时，点P前进的路程为 ；Q、P两点相遇前的速度比ba= ；（用含有x的式子表示）
(2)若点B为线段AD的中点，①此时，点D表示的数x= ；
②相遇后，当点P到达点A处时，点Q在原点O的 (填“左”或“右”)侧，并求出此时点Q在数轴上所表示的数字；
(3)在（2）的条件下，当点P到达点A处时，立即掉头朝数轴的正方向运动，速度变为3a，点Q的速度始终不变，这两点在点M处第二次相遇，则点M在数轴上所表示的数字为
【变式15.3】（2022·江苏无锡·七年级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+(b+3a)2=0．
(1)求A、B两点之间的距离是___________；
(2)若点D，E，F，G是线段AB上从左到右的四个点，并且AD=DE=EF=FG=GB．计算与点F所表示的数最接近的整数是___________；
(3)若一小球甲在数轴上从点A处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点B处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点P和点B处各放一块挡板，其中点P所表示的数为−1，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），问：t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4．代表队
场次（场）
胜（场）
平（场）
负（场）
积分（场）
A
6
5
1
0
16
B
6
6
0
0
18
C
6
3
2
1
11
D
6
3
1
2
10
院系篮球赛成绩公告
比赛场次
胜场
负场
积分
22
12
10
34
22
14
8
36
22
0
22
22
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0
________
2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
销售量
单价
不超过10台的部分
每台立减140元
超过10台但不超过20台的部分
每台立减220元
超过20台的部分
每台立减300元
每户每月用水量
水的价格（单位：元/吨）
不超过20吨的部分
1.6
超过20吨且不超过30吨的部分
2.4
超过30吨的部分
3.3
月租费（元/月）
不加收通话费时限（分）
超时加收通话费标准（元/分）
套餐A
58
150
0.3
套餐B
88
350
0.3
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
a+0.3
类别
水费价格（元/立方米）
污水处理费（元/立方米）
综合水价（元/立方米）
第一阶梯≤120（含）立方米
3.5
1.5
5
第二阶梯120~180（含）立方米
5.25
1.5
6.75
第三阶梯>180立方米
10.5
1.5
12