专题1.4一元一次方程及解法九大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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专题1.4一元一次方程及解法九大必考考点精讲精练
（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】

【知识梳理】
1方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式----方程．
2方程的解
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
3等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
4一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
7同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2022•亭湖区校级开学）若（m﹣2）x|3m﹣5|＝6是关于x的一元一次方程，则m的值是 ．
【变式1.1】（2022秋•建湖县期中）方程：①2x+y＝0； ②22x−2=2；③5+2x＝4；④x＝3，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.2】（2021秋•苏州期末）已知xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．2
【变式1.3】（2021秋•江阴市校级月考）已知方程（m+1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．0或1
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2021秋•泰州期中）若x＝﹣1是关于x的方程2x+m＝1的解，则m+1的值是（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣1
【变式2.1】（2022秋•天宁区校级期中）若关于x的方程2x﹣k+4＝0的解是x＝3，则k的值是（ ）
A．﹣10B．10C．﹣2D．2
【变式2.2】（2022秋•宿城区期中）下面是一个被墨水污染过的方程：2x−12=3x+★，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．1B．﹣1C．−12D．12
【变式2.3】（2022秋•高邮市期中）若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+b的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2(y+1)+b的解为（ ）
A．y＝1B．y＝﹣2C．y＝﹣3D．y＝﹣4
【考点3】等式的性质
【例3】（2019秋•江苏省路南区期末）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体．已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡．如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式3.1】（2022秋•宿迁期中）下列等式的变形正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+3c＝b+3cB．若x＝y，则x+z＝y﹣z
C．若m＝n，则mx=nxD．若ax＝bx，则a＝b
【变式3.2】（2022秋•亭湖区期中）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果ac＝bc，那么a＝b
C．如果a＝b，那么ac＝bcD．如果a2＝3a，那么a＝3
【变式3.3】（2022•宜兴市校级二模）若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（ ）
A．15B．﹣5C．5D．3
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】解下列方程：
（1）2x﹣3＝x+1；
（2）4﹣m＝7；
（3）2x﹣19＝7x+6；
（4）x﹣2＝x+．
【变式4.1】（2022春•漳州期末）解方程：x−1=x2+2．
【变式4.2】（2020秋•兰州期末）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【变式4.3】（2017秋•虎林市校级期中）已知y2+m＝my﹣m．
（1）当m＝4时，求y的值．
（2）当y＝4时，求m的值．
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】已知代数式3a+12与2(a+14)．
（1）当a为何值时，这两个代数式的值互为相反数？
（2）试比较这两个代数式的大小．
【变式5.1】（2021秋•大石桥市期中）解方程：
（1）2x+3＝11﹣6x；
（2）16（3x﹣6）=25x﹣3．
【变式5.2】（2020秋•丹徒区月考）设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：abcd=ad﹣bc，那么当35−x27=7时，x的值是多少？
【变式5.3】（2016秋•厦门期末）在梯形面积公式S=12（a+b）h中，已知S＝27，a=34b，b＝3，求h的值．
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】（2019秋•江苏省姜堰区期末）解方程：
（1）5x﹣2（3﹣2x）＝﹣3
x−12=1+x+15
【变式6.1】（2020秋•罗湖区校级期末）解方程：
（1）3x+7＝32﹣2x；
（2）4x﹣3（20﹣x）+4＝0；
（3）3x+52=2x−13；
（4）5y+43+y−14=2−5y−312．
【变式6.2】（2019秋•龙湖区期末）老师在黑板上出了一道解方程的题2x−13=1−x+24，小明马上举起手，要求到黑板上去做，他是这样做的：
4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2）①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6②
8x+3x＝1﹣6+4③
11x＝﹣1④
x=−111⑤
老师说；小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第 步（填编号）；请您认真地做出正确答案．
【变式6.3】（2020秋•姜堰区期末）在解关于x的方程2x−13=2x+m6−1时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“﹣1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=−32．
（1）求m的值；
（2）写出正确的求解过程．
【考点7】含绝对值的一元一次方程
【例7】（2019秋•邗江区校级月考）阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）、（3）小题的解答．
解方程：|x﹣1|＝2
当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）＝2，解得x＝﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1＝2，解得x＝3；
综上所述，方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3．
（1）解方程：|2x+3|＝8．
（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝1．
（3）解方程：|x﹣3|﹣3|x+2|＝x﹣9．
【变式7.1】（2022秋•东台市期中）当k取何值时，方程3（2x﹣1）＝1﹣2x与关于x的方程8﹣k＝2（x+1）的解相等？
【变式7.2】（2021秋•赣榆区校级月考）如果关于x的方程x＝2x﹣3和4x﹣2m＝3x+2的解相同，求m的值．
【变式7.3】（2021秋•崇川区校级月考）已知关于x的方程2（2x﹣a）﹣3（x﹣a）＝x﹣6与方程3（x﹣2）＝4x﹣5的解相同，求a的值．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2021秋•泰兴市期中）已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+2m+4＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a的值．
（2）已知方程和上述方程同解，求m的值．
【变式8.1】（2022秋•如东县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x﹣3|＝2．
解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；
当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．
所以原方程的解是x＝5或x＝1．
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b．
【变式8.2】（2021秋•如东县期中）有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程x+2|x|＝3．
解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝33x＝3x＝1，符合题意．
当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3﹣x＝3x＝﹣3，符合题意．
所以原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．
仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．
【变式8.3】（2022秋•秦淮区校级月考）某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．
例如解绝对值方程：|2x|＝1．
解：分类讨论：当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是x=12．
当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的标是x=−12．
∴原方程的解为x=12或x=−12．
（1）依例题的解法，方程|12x|＝3的解是 ．
（2）在尝试解绝对值方程|x﹣2|＝3时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；
（3）在尝试解绝对值方程|x﹣3|＝5时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，|a﹣b|表示数a，b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则|x﹣3|＝5表示数x与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ；
（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程|x﹣2|+|x﹣1|＝m（m＞0）；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．
【考点9】有关方程的新定义问题
【例9】（2020秋•江苏省张家港市期中）规定“△”是一种新的运算法则，满足：a△b＝ab﹣3b．例如：2△（﹣3）＝2×（﹣3）﹣3×（﹣3）＝﹣6+9＝3．
（1）求﹣5△2的值；
（2）若﹣3△（x+1）＝x△（﹣2），求x的值．
【变式9.1】（2021秋•吴兴区期末）若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”．
（1）试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”；
（2）若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m2+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小．
【变式9.2】（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
【变式9.3】（2021秋•锡山区期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝a2b+2ab+b，例如：1⊗3＝12×3+2×1×3+3＝12．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若3⊗（x﹣1）＝16，求x的值；
（3）已知x为有理数，设m＝x⊗2，n＝3⊗x4，试比较m、n的大小．