专题01 有理数（考点清单，知识导图+5个考点清单+8种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点练习（人教版2024）.zip

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【清单01】有理数的分类
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：
【清单02】数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【清单03】相反数
只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
【清单04】绝对值
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
【清单05】有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
【考点题型一】正数和负数
【例1】（23-24七年级上·广西南宁·期中）如果表示向东走，那么表示（ ）
A．向东走B．向西走C．向东走D．向西走
【答案】B
【分析】本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数表示意义相反的数．利用正数、负数分别表示意义相反的数解题．
【详解】解：表示向东走，
表示向西走，
故选：B
【变式1-1】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖马和牛得到的钱算作正，把买猪付出的钱算作负”，如果收入元记作，那么支出元记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数、负数的意义，用正数和负数表示具有相反意义的量，其中一个量用正数表示，则与之相反的量用负数表示，理解正数和负数的意义是解题的关键．
【详解】解：如果收入元记作，那么支出元记作，
故选：．
【变式1-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如果高于正常水位5米记作米，那么低于正常水位5米记作米．
【答案】
【分析】本题考查正负数的实际应用，熟练掌握正负数是表示相反意义的量，分清规定哪一个为正是解答的关键．根据正数和负数表示相反意义的量，即可解答．
【详解】解：如果高于正常水位5米记作米，那么低于正常水位5米记作米．
故答案为：．
【变式1-3】（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如果向东走30米记作米，那么米表示．
【答案】向西走50米
【分析】本条考查了正数和负数，理解到正数和负数表示一对相反意义的量，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据正数和负数的意义解题即可．
【详解】解：因为向东走30米记作米，所以表示向西走50米．
故答案为：向西走50米
【变式1-4】（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示：
(1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？
(2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？
【答案】(1)这批样品的总质量比标准总质量少，少克；
(2)这批样品的总质量是克．
【分析】本题考查了正负数的实际应用，
（）把记录结果相加求和即可得；
（）用标准质量减去克即是这批样品的总质量；
解题的关键是掌握正负数表示相反意义的量，正确计算．
【详解】（1）；
（克），
答：这批样品的总质量比标准总质量少，少克；
（2）
，
（克），
答：这批样品的总质量是克．
【考点题型二】有理数
【例2】（22-23七年级上·云南保山·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．没有最小的有理数B．既是正数也是负数
C．整数只包括正整数和负整数D．是最小的负整数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键．
【详解】解：、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意；
、既不是正数也不是负数，该选项错误，不合题意；
、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意；
、是最大的负整数，该选项错误，不合题意；
故选：
【变式2-1】（23-24七年级上·云南昭通·期中）下列各数，0，π，，中，有几个有理数（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了有理数，掌握有理数的定义是解题的关键．
有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在实数，0，π，，中，有理数有，0，，，共4个．
故选：C．
【变式2-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）给出下列各数：，0，，，，，，．其中是负分数有个．
【答案】2
【分析】本题考查了有理数的分类以及负数的定义，根据小于0的分数是负分数进行分析作答即可．
【详解】解：依题意，
，是负分数，
所以负分数有2个，
故答案为：2
【变式2-3】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应的括号内．
，，，，，，．
(1)正分数：{ ___________}；
(2)整数：{___________}；
(3)负有理数：{___________}；
(4)非负数：{___________}．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)，，
(4)，，，
【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握正分数，整数，负有理数，非负数的定义，进行接待室，即可．
【详解】（1）正分数：有理数中大于零的分数，
∴正分数为：，，
故答案为：，．
（2）整数：包括正整数，零，负整数，
∴整数为：，，，
故答案为：，，．
（3）负有理数：小于零的有理数，包括负整数和负分数，
∴负有理数为：，，，
故答案为：，，．
（4）非负数：正数和零，
∴非负数为：，，，，
故答案为：，，，．
【变式2-4】（22-23七年级上·四川眉山·期中）将，，，，，分类：
(1)整数集合：{______…}；
(2)分数集合：{______…}；
(3)非正数集合：{______…}；
(4)非负数集合：{______…}；
【答案】(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，，．
【分析】本题考查了整数、分数、非正数、非负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、分数、非正数、非负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】（1）整数集合：{，，，…}
故答案为：，，；
（2）分数集合：{，，，…}
故答案为：，，；
（3）非正数集合：{，，，…}
故答案为：，，；
（4）非负数集合：{，，，，…}
故答案为：，，，
【考点题型三】数轴
【例3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下列四个选项中，所画数轴正确的是（ ）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查数轴定义，熟记数轴三要素：原点、单位长度和正方向，逐项验证即可得到答案，熟记构成数轴的三要素是解决问题的关键．
【详解】解：A、没有原点，所画数轴错误，不符合题意；
B、单位长度不统一，所画数轴错误，不符合题意；
C、数轴上的点表示的数必须是左边小、右边大，所画数轴错误，不符合题意；
D、所画数轴正确，符合题意；
故选：D．
【变式3-1】（21-22七年级上·福建南平·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（ ）
A．B．6C．或6D．或2
【答案】C
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题．
【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，
所以点A表示的数是4或，
又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，
所以点B表示的数是：或．
故选：C．
【变式3-2】（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是．
【答案】3
【分析】本题主要考查了数轴，数轴上原点左边的点均为负数，原点右边的数为正数，当数a在数轴上表示的点向正方向移动n个单位时，可以得到
【详解】解：根据题意得：，
故表示的数是3．
故答案为：3
【变式3-3】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在数轴把下列各数表示出来，并用“＜”把这些数连接起来．
7，，，0
【答案】在数轴上表示见解析，
【分析】本题考查数轴表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，熟记数轴性质及利用数轴性质比较有理数大小是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
【变式3-4】（23-24七年级上·河南商丘·期中）（1）把数轴补充完整；
（2）在数轴上表示下列各数：0，，，，；
（3）用“>”将这些数连接起来，

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点、单位长度；在数轴上表示有理数，根据数轴上左边的数总是小于右边的数进行判断，将题目所给的数字准确的表示在数轴上是解本题的关键．
【详解】解：（1）如图所示：
；
（2），，
在数轴上表示为：
；
（3）．
【考点题型四】相反数
【例4】（23-24七年级上·重庆北碚·期中）5的相反数是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义的解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：5的相反数是，
故选：A.
【变式4-1】（22-23七年级上·河南商丘·期中）下列各对数中，互为相反数的（ ）
A．和2B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】本题主要考查相反数，掌握多重符号的化简是解题的关键．
根据相反数的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、不互为相反数，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】（22-23七年级上·四川雅安·期中）的相反数是
【答案】4
【分析】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．利用相反数的定义计算．
【详解】解：∵的相反数是4，
故答案为：4
【变式4-3】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数与8互为相反数，则．
【答案】
【分析】此题考查了相反数的概念；根据相反数的定义“只有符号不同的两个数”可得解．
【详解】解：∵有理数与8互为相反数，
∴，
故答案为：．
【变式4-4】（23-24七年级上·陕西榆林·期中）已知的相反数是的相反数是相反数是，求的值.
【答案】
【分析】本题考查了相反数的意义和有理数的运算，解题关键是掌握相反数的意义求出字母的值；
根据题意求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：因为的相反数是的相反数是相反数是，
所以，
则
【考点题型五】绝对值
【例5】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）绝对值大于2而小于5的所有整数的和是（ ）
A．B．0C．7D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加法计算，先根据绝对值的意义得到绝对值大于2而小于5的所有整数为，再根据有理数的加法计算法则求解即可．
【详解】解：绝对值大于2而小于5的所有整数为，
∵，
∴绝对值大于2而小于5的所有整数的和是0，
故选：B．
【变式5-1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）某生产足球厂家，欲检测足球的质量．如图，检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数；，不足标准质量的克数记为负数；从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的意义以及化简绝对值，先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【详解】解：∵
∴
即
∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项C．
故选：C
【变式5-2】（23-24七年级上·河南南阳·期中）数轴上表示和1的两点之间的距离为，则的最小值是，当取得最小值时，的取值范围是．
【答案】 4
【分析】本题考查了绝对值的意义，分三种情况：当时，当时，当时，分别化简绝对值求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当时，，，
，
当时，，，
，
当时，，，
，
的最小值是4，此时的取值范围是，
故答案为：4，．
【变式5-3】（23-24七年级上·云南昆明·期中）一辆货车为一家仓库运货，仓库在记录进出货时把运进记作正数，运出记作负数，某天下午记录如下（单位：吨）：．
(1)若仓库上午存货60吨，下午运货结束后存货多少吨？
(2)如果货车的运费为每吨10元，那么下午货车共得运费多少元？
【答案】(1)吨
(2)320元
【分析】本题考查了有理数加减法与乘法的应用、绝对值的应用等知识，正确列出运算式子是解题关键．
（1）利用60加上下午记录的所有数字即可得；
（2）利用10乘以下午记录的所有数字的绝对值之和即可得．
【详解】（1）解：
（吨），
答：下午运货结束后存货吨．
（2）解：
（元），
答：下午货车共得运费320元
【变式5-4】（23-24七年级上·四川成都·期中）粮库6天发生粮食进出库的吨数如下（“”表示速库．“”表示出库）：
．
(1)经过这6天，库里的粮食是增多还是减少了；
(2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存390吨粮，那么6天前库里存粮多少吨？
(3)如果进出的装卸费都是每吨8元，那么这6天要付多少装卸费？
【答案】(1)经过这6天，库里的粮食是减少了
(2)6天前库里存粮425吨
(3)这6天要付1368元装卸费
【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）结合（1）中所求列式计算即可；
（3）根据绝对值的实际意义列式计算即可．
结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【详解】（1）解：（吨，
即经过这6天，库里的粮食是减少了；
（2）（吨，
即6天前库里存粮425吨；
（3）
（元，
即这6天要付1368元装卸费
【考点题型六】有理数的大小比较
【例6】（22-23七年级上·广西贺州·期中）比较这三个数的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数是解题的关键．直接根据有理数比较大小的法则进行解答即可．
【详解】，，
．
故选：D．
【变式6-1】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）大于且小于3的整数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的大小比较，写出大于且小于3的所有整数，即可进行解答.
【详解】解：大于且小于3的整数有：，，，，，共5个，
故选：C
【变式6-2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）比较大小：，．（填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查有理数大小比较的知识，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法，掌握正数大于零大于负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小，即可．
【详解】解：；
∵，
∴；
故答案为：；
【变式6-3】（23-24七年级上·山东临沂·期中）比较大小（用“”或“”）．．
【答案】
【分析】题主要考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键．根据正数都大于负数，负数小于零，正数大于零，两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小，逐一进行判断即可．
【详解】解：，，，，，
∴
【变式6-4】（23-24七年级上·广东韶关·期中）请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上）

【答案】；；0；；
【分析】根据比较有理数大小的方法，先比较5个数的大小，然后再填在横线上即可．
【详解】解：∵，
∴数写在○内的横线上，如图所示：

【点睛】本题主要考查了比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法
【考点题型七】分类讨论思想
【例7】（22-23七年级上·四川眉山·期中）点A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动4个单位长度得到点B，点B表示的数为（ ）
A．2B．C．2或D．
【答案】C
【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是左减右加．没有说明移动方向，因此有两种情况向左减，向右加即可．
【详解】解：向左移动4个单位长度对应的点表示，向右移动4个单位长度对应的点表示，
所以点B表示的数为2或，
故选：C
【变式7-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）一个点在数轴上表示，该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：在数轴上向左移动3个单位长度后所表示的数是；
在数轴上向右移动3个单位长度后所表示的数是；
即该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是或，
故选：C．
【变式7-2】（23-24七年级上·河南信阳·期中）点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为x，若点到点的距离是点到点的距离倍，则=．
【答案】或
【分析】本题考查了数轴，本题考查了数轴，由题意得，，再根据，列出式子，然后根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解：由题意得，，，
，
，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上，的值为2或5，
故答案为：或．
【变式7-3】（2023七年级上·浙江·专题练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：

(1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： B： ；
(2)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是 ；
(3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得A点与表示的点重合，则B点与数 表示的点重合．
【答案】(1)1，
(2)4或；
(3)2
【分析】（1）根据数轴可直接读出其表示的有理数即可；
（2）分点在点A的右侧和左侧两种情况列式计算即可；
（3）根据题意可先求出折叠点的位置，然后根据中点公式进行计算．
【详解】（1）解：由数轴上两点的位置可知，A点表示1，B点表示．
故答案为：1；．
（2）解：∵A点表示1，
∴当该点在点A的右侧时，点A的距离为3的点表示的数是；
当该点在点A的左侧时，点A的距离为3的点表示的数是．
故答案为：4或-2．
（3）解：∵A点与表示的点重合，
∴其中点表示的数为，
∵点B表示，
∴与B点重合的数为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了数轴的运用以及有理数的加减运算，灵活利用数轴和数形结合思想是解答本题的关键．
【变式7-4】（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知数轴上有A、B、C，它们所表示的有理数分别是6，，x.（提示：先画图）
(1)求A、B两点间的距离；
(2)求线段的中点D表示的数；
(3)已知，求x．
【答案】(1)14
(2)D表示的数为
(3)或
【分析】本题主要考查数轴上点的表示的数以及实数在数轴上对应的点；
（1）先在数轴找到6与在数轴上对应的点A与B，即可求解；
（2）由，得，推断出D表示的数是；
（3）由，C可能在A的左侧，也可能在A的右侧，故需分类讨论求解．
【详解】（1）
如图：
由图可知：
（2）由（1）知：
∵线段的中点为D
∴D到点A的距离为7
∴D表示的数为；
（3）∵
∴当C在A的左侧，
当C在A的右侧，
或
【考点题型八】数形结合思想
【例8】（23-24七年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上点M、N分别表示数m、n，且与原点的距离相等．下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：∵数轴上点M、N分别表示数m、n，且与原点的距离相等，
∴m、n互为相反数，
∴，
∴，，，
由，不能推算出，
故选：D．
【变式8-1】（23-24七年级上·河南郑州·期中）在数轴上对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据有理数大小比较方法，越远离原点其绝对值越大，进而分析得出答案．
此题主要考查了绝对值的意义，以及有理数大小的比较，正确掌握绝对值的意义是解题关键．
【详解】解：观察有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，
这三个数中，a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．
故选：A
【变式8-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，如果点A、B表示的数互为相反数，那么点C表示的数．
【答案】
【分析】本题主要考查数轴及相反数的意义，由题意易得数轴的原点，然后问题可求解．
【详解】解：由点A、B表示的数互为相反数，可得数轴原点如图所示：

∴由数轴可知点C表示的数为；
故答案为
【变式8-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，数轴上的两点分别表示有理数，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．根据数轴确定出绝对值内式子的符号，然后去绝对值化简即可得．
【详解】解：根据数轴上点的位置可知：，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
【变式8-4】（22-23七年级上·河南安阳·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接
，，0，，，．

【答案】，画图见解析．
【分析】先把各个数字化简，然后根据有理数的大小比较得出结论．
【详解】解：，，，，
．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，先在数轴上表示出数，然后再比较大小
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
与标准质量的差/克
袋数/袋
4