湖南省长沙市重点学校2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷

这是一份湖南省长沙市重点学校2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．4B．12C．3−8D．π
2．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．2x=3y+1B．2x−13x=−1C．x+3y=0D．3xy−2=y
3．如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内，经测量，要使木条a//b，∠2=110°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．160°
4．下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．对一批浏阳烟花的质量的调查
B．对湘江流域中的生物多样性情况的调查
C．对全国中学生的睡眠情况的调查
D．对宇宙空间站的零部件的检查
5．若m<0，则点P(−3，m)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，AC与BD相交于点O，AB=DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（ ）
A．OB=OCB．∠A=∠DC．OA=ODD．∠AOB=∠DOC
7．不等式9−x>x+23的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（ ）
A．x+y=36y=2xB．x+y=3625x=2×40y
C．x+y=3625x=40y2D．x+y=362x25=y40
9．如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10B．12C．14D．16
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．若|b−1|+a+2=0，则(a+b)2023= ．
12．若点P(m−2，5)在y轴上，则点P的坐标为 ．
13．若方程组5x−4y=m5y−4x=8的解满足x+y=0，则m的值是 ．
14．若一个n边形的每个内角都为120°，那么边数n为 ．
15．4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取300名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 ．
16．如图，在△ABC中，BH⊥AC交AC于点H，CD平分∠ACB交BH于点D，△DCH的面积为4，△BCD的面积为8，CH=3，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）计算：(3)2+3−8+|3−2|；
（2）解不等式组：x−3(x−1)≥11+3x>x−1．
18．已知代数式ax2+bx+c，当x=1和x=−3时，它的值都为5，当x=−1时，它的值为1，
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=−2时，求代数式ax2+bx+c的值．
19．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC//DF，AB//DE，BE=CF．
（1）求证：AC=DF；
（2）若∠EOC=80°，∠F=36°，求∠B的度数．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，2)，B(1，0)，C(5，−3)，三角形ABC中任意一点P(x0，y0)，经平移后对应点为P'(x0−6，y0+2)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）A'点的坐标为 ，点B'的坐标为 ，点C'的坐标为 ；
（2）画出平移后的三角形AB'C'；
（3）计算求解△ABC的面积．
21．某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取100份答卷进行分析统计，绘制了频数分布表和频数分布直方图(不完整)，请结合图表信息回答下列问题：
（1）a= ，频数分布直方图的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校学生参加网上测试，成绩x在81≤x<101范围内的学生约有多少人？
22．为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
23．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，
求证：
①△ABC≌△BAD；
②CE=DF．
24．若一个不等式(组)A有解且解集为a（1）已知关于x的不等式组A：2x−3>56−x>0，以及不等式B：−1（2）已知关于x的不等式组C：2x+7>2m+13x−16<9m−1和不等式组D：x>m−43x−13<5m，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组E：x>2nx<2m(n3n，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
25．已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE=9cm，∠BDA=∠AEC=∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系为 ；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s).是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、∵4=2是有理数，∴A不符合题意；
B、∵12是有理数，∴B不符合题意；
C、∵3−8=−2是有理数，∴C不符合题意；
D、∵π是无理数，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用无理数的定义逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵只含有2个未知数，且未知数的最高次是1次的整式方程是二元一次方程，
∴符合条件的是选项A，
故答案为：A.
【分析】利用二元一次方程的定义逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠3与∠2是对顶角，∠2=110°，
∴∠3=∠2=110°，
∵a//b，
∴∠1=180°-∠3=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=180°-∠3=180°-110°=70°.
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、∵“ 对一批浏阳烟花的质量的调查 ”适用抽样调查，∴A不符合题意；
B、∵“ 对湘江流域中的生物多样性情况的调查 ”适用抽样调查，∴B不符合题意；
C、∵“ 对全国中学生的睡眠情况的调查 ”适用抽样调查，∴C不符合题意；
D、∵“对宇宙空间站的零部件的检查 ”适用全面调查，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全面调查的定义及优缺点逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵m<0，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据第三象限点坐标的特征求解即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加OB=OC，无法利用“SSA”证出△ABO≌△DCO，∴A不符合题意；
B、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加∠A=∠D，利用“AAS”证出△ABO≌△DCO，∴B符合题意；
C、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加OA=OD，无法利用“SSA”证出△ABO≌△DCO，∴C不符合题意；
D、∵AB=DC，∠AOB=∠DOC，再添加∠AOB=∠DOC，无法证出△ABO≌△DCO，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：9−x>x+23，
27−3x>3x+2，
−3x−3x>2−27，
−6x>−25，
x<256，
∴9−x>x+23的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故答案为：D．
【分析】按照步骤解不等式求出解集，再求出正整数解。
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，根据题意得
x+y=3625x=40y2 .
故答案为：C
【分析】做娃娃用布的数量+做沙包用布的数量=36；做娃娃用布的数量×25=12×做沙包用布的数量×40；
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为2和5，
∴5-2<第三边<5+2，
∴3<第三边<7，
∴2+3+5<三角形的周长<2+5+7，
∴10<三角形的周长<14，
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边的关系求出第三边长的取值范围，再求解并判断即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= 12 ∠ACD，∠DBE= 12 ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= 12 （∠ACD﹣∠ABC）
= 12 ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= 12 ABC，∠OCB= 12 ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ 12 （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ 12 （180°﹣∠1）
=90°+ 12 ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= 12 ∠ACB，∠ACE= 12 ACD，
∴∠OCE= 12 （∠ACB+∠ACD）= 12 ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= 12 ∠ACD，∠DBE=12 ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=12∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ 12∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= 12∠ACB，∠ACE= 12∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= 12（∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
11．【答案】-1
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|b−1|+a+2=0，
∴b-1=0，a+2=0，
∴b=1，a=-2，
∴(a+b)2023=−2+12023=−1，
故答案为：-1.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a、b，再将a、b的值代入(a+b)2023计算即可.
12．【答案】（0，5）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P(m−2，5)在y轴上，
∴m-2=0，
∴点P的坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）.
【分析】利用y轴上的点坐标的特征求解即可.
13．【答案】-8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：5x−4y=m①5y−4x=8②，
由①+②，可得：y+x=m+8，
∵x+y=0，
∴m+8=0，
∴m=-8，
故答案为：-8.
【分析】利用加减消元法可得y+x=m+8，再结合x+y=0，可得m+8=0，再求出m的值即可.
14．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个n边形的每个内角都为120°，
∴一个n边形的每个内角都为180°-120°=60°，
∴多边形的边数=360°÷60°=6，
故答案为：6.
【分析】先求出每个外角的度数，再利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角”计算即可.
15．【答案】300
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取300名学生进行调查，
∴该调查中的样本容量是300，
故答案为：300.
【分析】利用样本容量的定义求解即可.
16．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图所示：
∵BH⊥AC，
∴∠CHD=90°，
∵△DCH的面积为4，CH=3，
∴DH=83，
∵CD平分∠ACB交BH于点D，
∴DE=DH=83，
∵△BCD的面积为8，
∴12×DE×BC=12×83×BC=8，
解得：BC =6，
故答案为：6.
【分析】先利用三角形的面积求出DH的长，再结合△BCD的面积为8，可得12×DE×BC=12×83×BC=8，再求出BC的长即可.
17．【答案】（1）解：原式=3−2+2−3=3−3
（2）解：x−3(x−1)≥1①1+3x>x−1②，
由①得到，x≤1，
由②得到，x>−1，
∴−1【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
18．【答案】（1）解：∵代数式ax2+bx+c，当x=1和x=−3时，它的值都为5，当x=−1时，它的值为1，
∴a+b+c=59a−3b+c=5a−b+c=1，
解得a=1b=2c=2
所以a，b，c的值分别是1、2、2
（2）解：由(1)，得
ax2+bx+c=x2+2x+2①
把x=−2代入上式，得
上式=(−2)2−2×2+2=2，
所以当x=−2时，代数式ax2+bx+c的值是2．
【知识点】代数式求值；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组a+b+c=59a−3b+c=5a−b+c=1，再计算即可；
（2）根据（1）可得ax2+bx+c=x2+2x+2，再将x=−2代入计算即可.
19．【答案】（1）证明：∵AC//DF，AB//DE，
∴∠F=∠ACB，∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AC=DF；
（2）解：∵AC//DF，
∴∠F=∠ACB，
∵∠F=36°，
∴∠ACB=36°．
∵∠EOC=80°，
∴∠DEF=180°−36°−80°=64°，
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF=64°．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证出△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得AC=DF；
（2）先利用角的运算求出∠DEF=180°−36°−80°=64°，再利用平行线的性质可得∠B=∠DEF=64°.
20．【答案】（1）（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）
（2）解：如图所示，三角形A'B'C'即为所求；
（3）解：三角形A'B'C'的面积=4×5−12×4×3−12×2×3−12×1×5=172
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵三角形ABC中任意一点P(x0，y0)，经平移后对应点为P'(x0−6，y0+2)，
∴△A'B'C'是由△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
∵A(4，2)，B(1，0)，C(5，−3)，
∴A'点的坐标为：（-2，4）；点B'的坐标为：（-5，2）； 点C'的坐标为（-1，-1），
故答案为：（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）.
【分析】（1）先证出△A'B'C'是由△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，再结合点A、B、C的坐标，求出点A'、B'、C'的坐标即可；
（2）根据点A'、B'、C'的坐标作出△A'B'C'即可；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可.
21．【答案】（1）25；10
（2）解：如图，即为补充完整的频数分布直方图；
（3）解：∵(35+12)÷100=47%，
2500×47%=1175(人)，
∴成绩x在81≤x<101范围内的学生约有1175人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）a=100-10-18-35-12=25；频数分布直方图的组距是61-51=10，
故答案为：25；10.
【分析】（1）根据总人数求出a的值，再根据表格可得组距；
（2）根据频数分布表中的数据作出频数分布直方图即可；
（3）先求出“81≤x<101”的频率，再乘以2500可得答案.
22．【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：3x+2y=5403y−2x=160，
解得：x=100y=120．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，
依题意，得：100(20−m)+120m<2150m≥6，
解得：6≤m＜152．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据题意列出不等式组3x+2y=5403y−2x=160求解即可；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，根据题意列出不等式组100(20−m)+120m<2150m≥6求解即可。
23．【答案】解：证明：①∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=∠BDA=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BABC=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
②∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴S△ABC=S△BAD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，
∴12AB⋅CE=12AB⋅DF，
∴CE=DF．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】①利用“HL”证出△ABC≌△BAD即可；
②根据全等三角形的性质可得S△ABC=S△BAD，再利用三角形的面积公式及等量代换可得CE=DF.
24．【答案】（1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：
解不等式组A：2x−3>56−x>0，得4∴A的中点值为x=5，
∵x=5在−1∴不等式B对于不等式组A中点包含
（2）解：∵D对于不等式组C中点包含，
∴不等式组C和不等式组D有解，
解不等式组C：2x+7>2m+13x−16<9m−1，得x>m−3x<3m+5，
不等式组D：x>m−43x−13<5m，得x>m−4x<5m+133，
∴m−3<3m+5m−4<5m+133，
解得：m>−4，
∴当m>−4时，不等式组C的解集为m−3∴C的中点值为m−3+3m+52=2m+1，
∵D对于不等式组C中点包含，
∴m−4<2m+1<5m+133，
解得：−5又∵m>−4，
∴−4（3）解：解不等式组E得，2n∴E的中点值为n+m，
∵不等式组F对于不等式组E中点包含，
∴3n+m2解得：n∵所有符合要求的整数m之和为9，
∴整数m可取2、3、4，或整数m可取−1、0、1、2、3、4，
∴1≤n<2或−2≤n<−1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再判断即可；
（2）先分别求出不等式组C和D的解集，再根据“D对于不等式组C中点包含”，可得m−4<2m+1<5m+133，再求出m的取值范围即可；
（3）先分别求出不等式组E和F的解集，再根据“ 不等式组F对于不等式组E中点包含”，可得3n+m225．【答案】（1）BD=AE；CE=AD
（2）解：DE=BD+CE，
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BDA=∠AEC，BA=CA，
在△ABD和△CAE中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECBA=AC
△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=BD+CE
（3）解：存在，当△DAB≌△ECA时，
∴AD=CE=2cm，BD=AE=7cm，
∴t=1，此时x=2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD=AE=4.5cm，DB=EC=7cm，
∴t=AD2=94，x=7÷94=289，
综上：t=1，x=2或t=94，x=289．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出△ABD≌△CAE，再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）先利用“AAS”证出 △ABD≌△CAE，可得BD=AE，CE=AD，再利用线段的和差及等量代换求出DE=BD+CE即可；
（3）分类讨论：①当△DAB≌△ECA时，②当△DAB≌△EAC时，再分别利用全等三角形的性质求解即可.分数段(分)
频数(人)
51≤x<61
10
61≤x<71
18
71≤x<81
a
81≤x<91
35
91≤x<101
12
合计
100