高中数学湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.1 复数的概念课时作业

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1．下列复数中，是实数的是( )
A．1＋i B．i2
C．－i D．mi
2．复数z＝－2i2－i＋1，则z的虚部是( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
3．设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
4．若a∈R，且复数a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是纯虚数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
5．已知x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则x，y的值分别为( )
A．1， eq \f(2,3) B．3，1
C． eq \f(2,3)，1 D．1，3
6．(多选)在给出的下列几个命题中错误的是( )
A．若x是实数，则x可能不是复数
B．若z是虚数，则z不是实数
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．－1没有平方根
7．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
8．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________，________．
9．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
10．已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(a，m∈R)成立，求实数a的值．
[提能力]
11．已知a，b∈R，若a2＋b＋(a－b)i>2 (i为虚数单位)，则实数a的取值范围是( )
A．a>2或a<－1 B．a>1或a<－2
C．－112．(多选)已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若x，y∈R，且x＋yi＝1＋i，则x＝y＝1
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数z1，z2满足z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝0，则z1＝z2＝0
D．－i的平方等于1
13．已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x＋y＝________．
14．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)，满足z<0，则m＝________．
15．(1)设i为虚数单位，若复数z＝(k2＋2k－3)＋(k－1)i是纯虚数，求实数k的取值范围；
(2)已知2i－1(i是虚数单位)是关于x的方程mx＋n－1＝0的根，m、n∈R，求m＋n的值．
[培优生]
16．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．
课时作业(二十二) 复数的概念
1．解析：1＋i是虚数，不是实数；i2＝－1是实数；－i是纯虚数；当m＝0时，mi是实数，当m≠0时，mi是纯虚数．
答案：B
2．解析：∵z＝－2i2－i＋1＝3－i，
∴z＝－2i2－i＋1的虚部是－1.
答案：C
3．解析：由题意知，a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
答案：A
4．解析：若a∈R，且复数a－1＋(a－2)i是纯虚数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＝0，,a－2≠0.))解得a＝1.
答案：A
5．解析：由题意知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＝2,1＝y))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3),y＝1)).
答案：C
6．解析：因为实数是复数，故A错，根据虚数的定义可知B正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因为－1的平方根为±i，故D错．
答案：ACD
7．解析：依题意复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，故a－2＝0，解得a＝2.
答案：2
8．解析：令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq \r(2)，b＝5.
答案：±eq \r(2) 5
9．解析：z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2－3k－4＝0,k2－5k－6≠0))时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2－3k－4＝0,k2－5k－6＝0))时，z＝0，解得k＝－1.
10．解析：因为a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0
所以a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，
又因为a，m∈R，根据复数相等
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋am＋2＝0,2a＋m＝0))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,m＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\r(2),m＝2\r(2)))，
所以a＝±eq \r(2).
11．解析：因为a，b∈R，a2＋b＋(a－b)i>2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b>2,a－b＝0))，即a2＋a>2，解得a>1或a<－2.
答案：B
12．解析：对于选项A，∵x，y∈R，且x＋yi＝1＋i，根据复数相等的性质，则x＝y＝1，故正确；
对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；
对于选项C，∵若复数z1＝i，z2＝1满足z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝0，但z1≠z2≠0，故不正确；
对于选项D，∵复数(－i)2＝－1，故不正确．
答案：AB
13．解析：由条件可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＝y,3－y＝－1))，解得：x＝eq \f(5,2)，y＝4，
所以x＋y＝eq \f(13,2).
答案：eq \f(13,2)
14．解析：∵z<0，∴m2－1＝0，且m<0，
∴m＝－1.
答案：－1
15．解析：(1)由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＋2k－3＝0,k－1≠0))，
解得k＝－3；
(2)由已知得m(2i－1)＋n－1＝0，
∴(n－m－1)＋2mi＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n－m－1＝0,2m＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝1,m＝0))，
∴m＋n＝1.
16．解析：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，
即a＝－3，b＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}，符合题意，所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，
得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，
N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋3＝a2－1，,b2－1＝b＋2，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－4＝0，,b2－b－3＝0，))此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.