湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.4 复数的三角表示同步测试题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.4 复数的三角表示同步测试题，共6页。

1．下列复数是三角形式的是( )
A．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)－isin \f(π,3)))
B．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,6)))
C．－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))
D．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,5)＋isin \f(7π,5)))
2．复数 eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i化成三角形式，正确的是( )
A．cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)
B．cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)
C．cs eq \f(2π,3)＋isin eq \f(2π,3)
D．cs eq \f(11π,6)＋isin eq \f(11π,6)
3．将复数4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))化成代数形式，正确的是( )
A．4 B．－4
C．4i D．－4i
4．2÷2(cs 60°＋isin 60°)＝( )
A． eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i B． eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i
C． eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i D． eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i
5．若复数z的模为2，其辐角为 eq \f(2π,3)，则 eq \f(z,i)＝( )
A． eq \r(3)＋i B． eq \r(3)－i
C．1－ eq \r(3)i D．1＋ eq \r(3)i
6．棣莫弗公式(cs x＋i·sin x)n＝cs (nx)＋i·sin (nx)(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667～1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋i·sin \f(π,3))) eq \s\up12(4)在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．复数－i的三角形式为________．
8．复数sin 1－ics 1的辐角主值是________．
9．如图，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为－1＋i，把 eq \(OZ,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转150°，得到OZ1，求向量OZ1对应的复数(用代数形式表示).
10．设复数z＝(1－ eq \r(3) i)5，求z的模和辐角的主值．
[提能力]
11. eq \f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)×2(cs 60°＋isin 60°)×3(cs 45°＋isin 45°)＝( )
A． eq \f(3\r(2),2)＋ eq \f(3\r(2),2)i B． eq \f(3\r(2),2)－ eq \f(3\r(2),2)i
C．－ eq \f(3\r(2),2)＋ eq \f(3\r(2),2)i D．－ eq \f(3\r(2),2)－ eq \f(3\r(2),2)i
12．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是( )
A． eq \f(\r(3),2)± eq \f(1,2)i B．－ eq \f(\r(3),2)± eq \f(1,2)i
C．± eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i D．± eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i
13．复数z＝cs eq \f(π,15)＋isin eq \f(π,15)是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________．
14．已知复数z＝sin eq \f(π,6)－ics eq \f(π,6)，若zn＝z(n∈N*，且n≠1)，则n的最小值为________．
15．设复数z1＝ eq \r(3)＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．
[培优生]
16．欧拉公式eix＝cs x＋isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：
(1)判断复数e2i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；
(2)若eix<0，求cs x的值．
课时作业(二十六) *复数的三角表示
1．解析：复数的三角形式是r(csθ＋isinθ)，其中r>0，A，B，C均不是这种形式，其中A选项，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－isin\f(π,3)))中－isineq \f(π,3)不满足；
B选项，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,6)))中eq \f(π,3)≠eq \f(π,6)不满足；
C选项，－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))中－2<0，不满足．
答案：D
2．解析：因为cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6).
答案：B
3．解析：4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
＝4[0＋i(－1)]
＝－4i.
答案：D
4．解析：2÷2(cs60°＋isin60°)＝2(cs0°＋isin0°)÷2(cs60°＋isin60°)
＝cs (0°－60°)＋isin (0°－60°)
＝cs (－60°)＋isin (－60°)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i.
答案：B
5．解析：由已知可得z＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))＝－1＋eq \r(3)i，
所以eq \f(z,i)＝eq \f(－1＋\r(3)i,i)＝eq \f(（－1＋\r(3)i）i,i2)＝eq \r(3)＋i.
答案：A
6．解析：由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋i·sin\f(π,3)))eq \s\up12(4)＝cseq \f(4π,3)＋i·sineq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，
∴复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋i·sin\f(π,3)))eq \s\up12(4)在复平面内所对应的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，位于第三象限．
答案：C
7．解析：因为z＝－i，所以z的三角形式可以写作z＝cseq \f(3π,2)＋isineq \f(3π,2).
答案：cseq \f(3π,2)＋isineq \f(3π,2)
8．解析：由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋1))＝sin1，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋1))＝－cs1，
得sin1－ics1＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋1))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋1))，
因此复数sin1－ics1的辐角主值为1＋eq \f(3π,2).
答案：1＋eq \f(3π,2)
9．解析：向量OZ1对应的复数为
(－1＋i)(cs150°＋isin150°)＝(－1＋i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝eq \f(\r(3)－1,2)－eq \f(\r(3)＋1,2)i.
10．解析：∵(1－eq \r(3)i)5＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))eq \s\up12(5)＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5π,3)))eq \s\up12(5)＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(25π,3)＋isin\f(25π,3)))＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))，
∴复数z的模为32，辐角的主值为eq \f(π,3).
11．解析：eq \f(1,2)(cs30°＋isin30°)×2(cs60°＋isin60°)×3(cs45°＋isin45°)
＝eq \f(1,2)×2×3[cs (30°＋60°＋45°)＋isin (30°＋60°＋45°)]
＝3(cs135°＋isin135°)
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))
＝－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(2),2)i.
答案：C
12．解析：－i＝cseq \f(3π,2)＋isineq \f(3π,2)
－i的立方根为cseq \f(\f(3π,2)＋2kπ,3)＋isineq \f(\f(3π,2)＋2kπ,3)(其中k＝0，1，2)
当k＝0时，得cseq \f(π,2)＋isineq \f(π,2)＝i；
当k＝1时，得cseq \f(7π,6)＋isineq \f(7π,6)＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i；
当k＝2时，得cseq \f(11π,6)＋isineq \f(11π,6)＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i.
答案：D
13．解析：因为复数z＝cseq \f(π,15)＋isineq \f(π,15)是方程x5－α＝0的一个根，
所以α＝z5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,15)＋isin\f(π,15)))eq \s\up12(5)＝cseq \f(π,3)＋isineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
答案：eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i
14．解析：复数z＝sineq \f(π,6)－icseq \f(π,6)＝cseq \f(π,3)－isineq \f(π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，若zn＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(nπ,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(nπ,3)))＝z＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，
则eq \f(nπ,3)＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
则n＝6k＋1，k∈Z，n∈N*，且n≠1，
故n的最小值为7.
答案：7
15．解析：因为z1＝eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
设z2＝2(csα＋isinα)，α∈(0，π)，
z1·z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))×4(cs2α＋isin2α)
＝8eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))))
由题设知2α＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
所以α＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z).
又因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(2π,3)，
所以z2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))＝－1＋eq \r(3)i.
16．解析：(1)复数e2i在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下：
e2i＝cs2＋isin2在复平面内对应的点的坐标为(cs2，sin2)，
由于eq \f(π,2)<2<π，因此cs2<0，sin2>0，
∴点(cs2，sin2)在第二象限，
故复数e2i在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)∵eix＝csx＋isinx<0，
∴eix为负实数(虚数无法比较大小)
csx<0
sinx＝0
cs2x＋sin2x＝1，解得csx＝－1.