2023-2024学年湘教版（2019）必修二 第四章 立体几何初步 单元测试卷(含答案)

2023-2024学年湘教版（2019）必修二 第四章 立体几何初步 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、如图所示的正方形的边长为2 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为(   )

A. B. C. D.

2、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为(   )

A. B. C. D.

3、一个圆柱形粮仓，高1丈3尺寸，可容纳米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，则该圆柱形粮仓底面的周长是(   )

A.440寸 B.540寸 C.560寸 D.640寸

4、如图，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是(   )

A.AB B.AD C.AC D.BC

5、若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是(   )

A. B. C. D.

6、在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为(   )

A.1 B. C.2 D.3

7、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，，若球O的体积为，则AP的长度为(   )

A. B. C.1 D.

8、设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则(   )

A. B. C. D.

10、如图，M是正方体中棱的中点，下列说法正确的是(   )

A.过点M有且只有一条直线与直线AB，都相交

B.过点M有且只有一条直线与直线AB，都垂直

C.过点M有且只有一个平面与直线AB，都相交

D.过点M有且只有一个平面与直线AB，都平行

三、填空题

11、已知，，分别是平面，，的一个法向量，则，，三个平面中互相垂直的有___________对.

12、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，若，则对角线AC与平面DEF的位置关系是__________.

13、已知P、A、B、C是球面上的四点，且，，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.

14、已知三棱锥的底面ABC是边长为 3 的等边三角形. 若三棱锥的外接球的体积为, 则三棱锥的体积的取值范围为___________.

四、解答题

15、如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,,O为AC与BD的交点.

（1）证明：平面PAC.

（2）若M为PD的中点,求三棱锥的体积.

16、如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，

（1）求证：平面平面BCF.

（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.

参考答案

1、答案：C

解析：由于原几何图形的面积:直观图的面积，

又正方形的边长为，

正方形的面积为，

原图形的面积.

故选C.

2、答案：A

解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，

而，，平面，因此平面，

在等腰中，，，则，，

令的外接圆圆心为，则平面，，

有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，

从而，四边形为平行四边形，，又，

因此球O的半径，

所以球O的表面积.

故选：A.

3、答案：B

解析：依题意得，圆柱形粮仓底面半径为r尺，粮仓高尺，

于是粮仓的体积，解得尺，

所以该圆柱形粮仓底面的周长为尺寸.

故选：B.

4、答案：C

解析：是水平放置的的直观图，则在中，，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：C

5、答案：A

解析：

6、答案：A

解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为是边长为2的等边三角形，，所以，，所以，又，所以，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，所以，故选A.

7、答案：C

解析：第一步：求AC

在中，由余弦定理，得，故.

第二步：求的外接圆半径

设外接圆的半径为r，由正弦定理知，解得.

第三步：利用球的体积公式求球O的半径

由题可知球O的体积为，设球O的半径为R，则，解得.

第四步：利用勾股定理求AP

因为平面ABC，所以，即，得，故选C.

8、答案：B

解析：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大，

此时，，

，

，

点M为三角形ABC的中心，

，

中，有，

，

.

故选B.

9、答案：CD

解析：设，则，，，于是，.如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，OF，则，且有，.于是，即.因为平面，平面ABCD，所以，又，且，，平面BDEF，所以平面BDEF.因为平面BDEF，所以.又，，平面ACE，所以平面ACE，所以，所以，，，，所以选项A，B不正确，选项C，D正确，故选CD.

10、答案：ABD

解析：直线AB与是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两条异面直线中的任何一条上，如图所示，取的中点N，连接MN，则，且，连接BN并延长交的延长线于点H，连接HM，则点A，B，M，N，H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O，所以过点M有且只有一条直线HO与直线AB，都相交，故A正确.过点M有且只有一条直线与直线AB，都垂直，此垂线就是棱，故B正确.过点M有无数个平面与直线AB，都相交，故C不正确.过点M有且只有一个平面与直线AB，都平行，此平面就是过点M且与正方体的上下底都平行的平面，故D正确.故选ABD.

11、答案：0

解析：因为，，，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即，，中任意两个都不垂直.

12、答案：平面DEF

解析：因为，所以.

又因为平面，平面DEF，所以平面DEF.

13、答案：

解析：设外接球的球心为O，要使三棱锥的体积取得最大值，则过点O作面ABC的垂线必过点P，因为，所以C点在以AB为直径的半圆上，

如图，过C作，交AB于点D，则

所以

设P在面ABC的射影为，，则，所以，

所以，设，在中，，所以，解得

所以

故答案为：

14、答案：

解析：设球 O的半径为R, 所以三棱锥的外接球的体积为, 解得,

如图, 设三棱锥的外接球的球心为O,

作 平 面ABC 于点H, 则 H为等边三角形ABC 的外接圆的圆心.

在 中, 由正弦定理得 (或 )

所以, 所以当且仅当S,O,H 三点共线, 且点S 与点H 在球心O的两侧时, 三棱锥的体积取得最大值, 又三棱锥的体积大于 0 , 所以三棱锥的体积的取值范围为.

15、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）证明：底面ABCD,

.

底面ABCD是正方形,

.

PA,平面PAC.,

平面PAC.

（2）O为AC与BD的交点,

O为AC与BD的中点,

.

M为PD的中点,点M到平面OCD的距离为.

16、

（1）答案：见解析

解析：如图，矩形ABCD中，，

平面平面

平面平面ABEF，

所以平面ABEF

又平面ABEF

，又AB为圆O的直径，

则

，BC，平面BCF，

所以平面BCF，且平面ADF

所以平面平面BCF.

（2）答案：6

解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H

平面平面ABEF，平面ABCD

则，，

所以.