2022-2023学年湘教版2019必修一第四章 立体几何初步 单元测试卷(word版含答案)

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第四章 立体几何初步 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)1、(4分)已知圆锥的顶点为S ，两条母线为SA,SB ，若 的面积为 与圆锥的底面所成的角为 ，则圆锥的体积为(   )
A.  B.  C.  D. 2、(4分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(   )A. B. C. D.3、(4分)在正三棱锥中，分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（    ）A． B． C． D．4、(4分)如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面ABC,，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为(   )

A. B. C. D.5、(4分)已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是(   )A.l与不平行B.l与不相交C.l不在平面上D.l在上，与平行，与相交都有可能6、(4分)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为(   )A. B.2 C. D.47、(4分)已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为(   )A. B. C. D.8、(4分)在正方体中，过A，C，D的平面与过的平面的位置关系是(   )A.相交但不垂直  B.相交成60°角C.互相垂直  D.互相平行9、(4分)已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是(   )A.B.C.D.10、(4分)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为(   )A. B.3 C.4 D.二、填空题(共25分)11、(5分)已知三棱锥的所有棱长都是2,四个顶点都在球的球面上,记球的表面积是,过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为,则的值为__________.12、(5分)三棱锥的底面是边长为3的正三角形，面PAB垂直底面ABC，且，则三棱锥体积的最大值是_______.13、(5分)如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________.14、(5分)如图，是的另一侧的点，，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若，则___________.15、(5分)如图所示，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为_____________.三、解答题(共35分)16、(8分)如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PA上一点，且.（Ⅰ）证明：平面平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥的体积.17、(9分)如图所示，和的对应顶点的连线交于同一点O，且.(1)求证.(2)求的值.18、(9分)如图,四棱柱 中, 平面 平面, 底面 为矩形 是 的中点,.
(1)求证: 平面 平面;
(2) 求三棱雉 的体积.19、(9分)如图，在四棱锥中，是EA的中点.（1）证明：平面MCD；（2）若，三棱锥的体积为，求棱AB的长.
参考答案1、答案：B解析：2、答案：C解析：如图，由已知得该棱台的高为（m），所以该棱台的体积.故选C.3、答案：A解析：4、答案：D解析：根据题意，可以将三棱锥补全为长方体，其中长方体的底面是边长为1的正方形，高为.设三棱锥外接球的半径为R，所以三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即，所以.由于三棱锥的体积，三棱锥外接球的体积，所以在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率.5、答案：D解析：6、答案：A解析：7、答案：C解析：8、答案：C解析：9、答案：D解析：10、答案：A解析：如图，将绕AB旋转到的位置，并且点P在CB的延长线上，连接PG，交AB于点F，此时最小.由已知可知轴截面ABCD是边长为2的正方形，所以.在中，由余弦定理得，.故选A.11、答案：6解析：由题意知,三棱锥是正三棱锥,取的中点,连接,如图所示：设点在底面内的投影是,球的半径为,由于是边长为2的等边三角形,则,,,所以,解得,所以球的表面积是.易知当棱是截面圆的直径时,过棱的平面被球截得的截面面积取最小值,所以.故答案为：6. 12、答案：解析：13、答案：解析：因为三棱柱的所有棱 长均为1，所以底面为正三角形，所以，又因为底面，所以三棱柱的体积为，因为三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高，所以，由此可得三棱锥的体积.14、答案：解析：因为平面ABD，所以，即.所以，即，所以.15、答案：.解析：.16、答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，在直角梯形ABCD中，，，，，，，，又.平面PAC，平面EBC，平面平面PAC；（Ⅱ），
由（Ⅰ）可知平面PCE，
所以三棱锥的高为，
，，，
.17、答案：(1)见解析.(2).解析：(1)因为，且，所以，所以，所以，同理.(2)因为且AB和，AC和方向相反，所以.同理，，所以且，所以.18、答案：(1)见解析(2)  解析：(1)证明: 因为平面 平面, 平面 平面,
所以 平面.
因为 平面, 所以.
又在矩形 中, 是 的中点,
所以, 所以.
又, 所以 平面.
因为 平面, 所以平面 平面.
(2)  由 (1) 知 平面, 所以 即为点 到平面 的距离,
所以.19、答案：(1)见解析(2)解析：(1)【证明】由已知得，则
因为，，所以平面ADE.
又平面ADE，所以
又，M是EA的中点，所以
因为，所以平面MCD.
(2)【解】方法一：由，得
设，则，
.
由(1)知，，平面ADE，
所以.
又，
则有，解得，故.
方法二：如图，连接AC.由，得.
由(1)知，，又，
所以平面ABCD.
设，由，得.
又M是EA的中点，

所以.
又，
所以，解得，故.