人教版数学八年级下册第18章平行四边形（B卷）含解析答案

这是一份人教版数学八年级下册第18章平行四边形（B卷）含解析答案，共34页。

第18章���平行四边形（B卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，在中，平分∠ABC交于点F，平分交于点E，若则的长度为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）
  
A． B．
C． D．
3．如图，在菱形中，于点，菱形的面积为48，，则的长为（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
4．如图，在边长为的正方形中，，则的长为（    ）

A． B． C． D．
5．如图，点D，E，F分别是三边的中点，则下列判断：①四边形一定是平行四边形；②若AD平分，则四边形是正方形；③若，则四边形是菱形；④若，则四边形是矩形．正确的是（    ）

A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④
6．如图，在▱ABCD中，AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ABEF的周长为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
7．如图，在中，平分，D是的中点，，，则的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．
8．如图所示，以的直角边向外构造等边，E为的中点，连接、，，．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（    ）


A． B． C． D．3
10．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（　　）

A．22 B．24 C．25 D．26

评卷人
得分



二、填空题
11．如图，在中，过点C作，垂足为E，若，则的度数为 ．

12．如图，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 种．

13．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为 ．

14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ．

15．如图，以的三边为边在上方分别作等边、、．且点A在内部．给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．

16．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连接DE，取DE的中点F，连接EO并延长交CD于点G．若BE=3CG，OF=2，则线段AE的长是 ．

17．如图，E是边长为1的正方形的对角线上一点，且，P为上任一点，于点Q，于点R，则的值是 ．

18．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 ．


评卷人
得分



三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．

求证：四边形ADCE是矩形








20．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．









21．如图，在平行四边形中，点E，F分别是边，的中点．

(1)求证：；
(2)若四边形的周长为10，，，求平行四边形的周长．








22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．

(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分，，求AC的长．








23．如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若，，，求DF的长．








24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．









25．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．









26．将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．










参考答案：
1．A
【分析】先证明，，再根据即可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点F，平分交于点E，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
2．C
【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO=CO，AB=DC，∠AOB=∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB=∠OCD，
∴不能得到AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB=DC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
  
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，解题的关键是正确把握平行四边形的判定．
3．B
【分析】由菱形的性质得，再由菱形的面积求出，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
即，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，熟记菱形性质及面积公式是解决问题的关键．
4．D
【分析】由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．
【详解】解∶

∵四边形是正方形，
∴，
中，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得∶，即，
解得∶ （负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选∶D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
5．C
【分析】①由三角形的中位线定理可以判定，，即可得到结论；
②利用AD平分∠A可以判定四边形AEDF是菱形而非正方形，可得②的结论错误；
③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出DE=DF，从而得出四边形AEDF是菱形；
④∠A=90°，则根据①的结论可得四边形AEDF是矩形．
【详解】解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，

由①知：AE∥DF，
∴∠EAD=∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD=∠FAD．
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，

若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE=AB．
同理：DF=AC，
∴DE=DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A=90°，如图，

由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的判定与性质．利用三角形的中位线定理得出平行线是解题的关键．
6．A
【分析】利用基本作图得到AB=AF=3，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质得BC∥AD，则∠BEA=∠FAE，所以∠BAE=∠BEA，从而得到BE=BA=3，于是可判断四边形ABEF为菱形，于是得到四边形ABEF的周长．
【详解】由作法得AB＝AF＝3，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴BE∥AF
∴∠BEA＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝BA＝3，
∴BE＝AF
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF
∴四边形ABEF为菱形，
∴四边形ABEF的周长＝4×3＝12．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
7．A
【分析】延长交的延长线于点，易证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长．
【详解】延长交的延长线于点，如图，
，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，点E是的中点，
，是的中位线，
．
故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．
8．C
【分析】根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据线段中点的定义得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，故②正确；四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，故③正确；根据平行四边形的性质得到，根据垂直的定义得到，故①正确；再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，
∴四边形为平行四边形，故②正确；
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形为平行四边形，
，
又，
，故①正确；
∵四边形为平行四边形，
，故④错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形及等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
9．A
【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，，进而可求出．
【详解】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
过点F作，如图，

∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形．
10．D
【分析】连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，

在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
则，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，则，
∴，
∴的最小值为26，
即的最小值为26，
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
11．/30度
【分析】由平行四边形的性质得出，可得的度数，由直角三角形的两个锐角互余得出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．4
【详解】因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；
故选法有四种．
故答案为4.
13．
【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE， ∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=
故答案为75°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．
14．（﹣2，3）
【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标．
【详解】解：如图，

作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断和性质、图形与坐标等，正确做出辅助线是解题的关键．
15．①②③④
【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得，，则；同理，由，得，由，即可得出四边形是平行四边形；对于结论②，当时，
，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当时，，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，故结论④正确．
【详解】解析：①、是等边三角形，
，，，
，
，
，
同理由，得，
由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确；
②当时，
，
由①知四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故结论②正确；
③由①知，，四边形是平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，
四边形是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图形的判定方法是解题的关键．
16．.
【分析】已知点O是对角线AC的中点，DE的中点为F，可得OF为△EDG的中位线，根据三角形的中位线定理可得DG=2OF=4；由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，即可得∠EAO=∠GCO，再判定△AOE≌△COG，根据全等三角形的性质可得AE=CG，即可得BE=DG=4,再由BE=3CG即可求得AE=CG=.
【详解】∵点O是对角线AC的中点，DE的中点为F，
∴OF为△EDG的中位线，
∴DG=2OF=4；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAO=∠GCO，
在△AOE和△COG中，
,
∴△AOE≌△COG，
∴AE=CG，
∵AB=CD，
∴BE=DG=4,
∵BE=3CG，
∴AE=CG=.
故答案为.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，利用三角形的中位线定理求得DG=4；是解决问题的关键.
17．/
【分析】连接，，交于O，根据，从而，进一步得出结论．
【详解】解：连接，，交于O，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积的计算，根据，得出是解题的关键．
18．或．
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】解：
如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P

∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=7-x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+（7-x）2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，
∴a2=22+（4-a）2，
解得a=，即DE=，
②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，
∴a2=12+（3-a）2，
解得a=，即DE=．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
19．见解析
【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
∴CD∥AE    CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴AC＝DE．
∴平行四边形ADCE是矩形．
20．证明见解析.
【详解】分析：连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．
详证明：如图，连接BD，AE，

∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
21．(1)证明见解析
(2)12

【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；
（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，．
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，即．
由（1）可知，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∵四边形AFCE的周长为10，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD的周长．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握平行四边形和三角形全等的判定方法是解题的关键．
22．(1)证明见解析．
(2)．

【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明一组邻边相等即可；
（2）连接AC，根据平行线的性质及等角对等边证明AB=1，AD=2，可知，再根据菱形的性质即可得出是含的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC的长．
【详解】（1），E为AD的中点，
，
，
∴四边形BCDE是平行四边形，
，，
，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．

，AC平分，
，
，
，
，
，
四边形BCDE是菱形
，

在中，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接AC构造．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；
（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．
【详解】（1）∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为矩形．
（2）∵四边形AEFD为矩形，
∴AF＝DE＝4，DF=AE，
∵，，，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AE=，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，EB＝DF，然后根据平行四边形的判定方法可直接求证；
（2）由（1）及直角三角形斜边中线定理可得DE=EB，进而问题得证．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴EB＝DF，EB∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，
∴DE＝AB＝EB，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF为菱形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握平行四边形及菱形的性质与判定是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
26．（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为或．
【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；
（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．
理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，

∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（AAS），
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE；
（2）结论：EF=DF-BE．
理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，

∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，
∴∠DAH+∠BAF=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵DF=DH+HF，
∴EF=DF-BE；
（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：

设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．
在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，
∴x=，
∴EF=x+2=．
②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，

设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，
∵K为BC边的中点，
∴CK=BC=2，
同理可证△ABK≌FCK（SAS），
∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，
∴x=，
∴EF=8-=．
综上，线段EF的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．