人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)

这是一份人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)，共55页。

1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式
3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根
4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差
【知识链接】
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。
【珍宝探寻】
珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，试推导x1+x2=-，x1·x2=；
解析：（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1=，x2=
∴x1+x2==-，
x1·x2=·=
即 ；
这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。
2.使用一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：
(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a≠0；
(2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b2-4ac≥0这个前提条件；
(3)写 时不要弄错符号.
【营养快餐】
快餐 一 经典基础题
例1：若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．－2 B．－3 C．2 D．3
分析：由有根与系数的关系＝－3。
解：因为，中a＝1，c＝－3，所以＝－3
故选B
点拨：本题利用两根之积与系数的关系.
例2．、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
分析：由根与系数的关系可建立关于和的方程组，再把所求式子用它们表示出来，代入化简即得
解：由一元二次方程根与系数的关系，得，进而
（1）＝＝
（2）＝＝
（3）原式＝＝＝
点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。
例3：（若x1＝－1是关于x的方程的一个根，则方程的另一个根x2＝ ．
分析：设方程的另一根为x2，由一个根为x1＝－1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即为方程的另一根．
解：∵关于x的方程x2+mx－5＝0的一个根为x1＝－1，设另一个为x2，
∴－x2＝－5，解得：x2＝5，则方程的另一根是x2＝5．
点拨：本题此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有＝ ＝。
例4：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，
∴△
解这个不等式，得≤0
设方程两根为 则，
整理得：
解得：
又∵，∴
点拨：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
例5：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴ 解得；
∵方程（2）没有实数根，
∴， 解得；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
点拨：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
例6：已知实数a，b分别满足a2－6a+4＝0，b2－6b+4＝0，且a≠b，则的值是（ ）
分析：根据已知两等式得到a与b为方程的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
解：根据题意得：a与b为方程x2－6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
因为＝＝7
点拨：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，要能够观察出a与b为方程x2－6x+4＝0的两根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
快餐 二 中考能力题
例7. 已知、是一元二次方程的两个根，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【解析】根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答. 由题可知：，
【答案】A
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
例8．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（ ）
【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．
假设存在实数m使+=0成立，则=0，
∴=0，
∴m=0．
当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，
∴m=0符合题意．
【答案】A
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q
例9．已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（ ）
【解析】根据点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，得出b＜0，c＜﹣1，再根据x1•x2=，x1+x2=﹣，即可得出答案．
【答案】C
【点拨】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．
例10.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣．
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点拨：．本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
快餐 三 易错易混题
例11．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝－1，则m的值是（ ）
A．3或－1 B．3 C．1 D．－3或1
分析：由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+＝－1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值
错解：根据根与系数的关系，得α+β＝－（2m+3） αβ＝ m2
又因为+＝＝－1，
即＝1，整理，得＝0，解得
故选A
正解：根据根与系数的关系，得α+β＝－（2m+3） αβ＝ m2
又因为+＝＝－1，
即＝1，整理，得＝0，解得
又根据△＝＞0
得＞0
解得m＞
所以m只能够取3
故选B
点拨： 1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0，方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0，方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝－， x1x2＝
快餐 四 课堂练习题
一、选择题
1. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．0 B． 2 C．－2 D． 4
2. 已知m， n是关于x的一元二次方程x2－3x+a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）＝－6，则a的值为（ ）
A．－10 B． 4 C．－4 D． 10
二、填空题
3．设x1，x2是方程2x2－3x－3＝0的两个实数根，则的值为 ．
4.已知关于的方程的两根为，且，则 。
5若两个不等实数m、n满足条件：m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2+n2的值是 ．
6.若x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根，则x12+x1x2+x22=_______.
7.已知一元二次方程y2-3y +1=0的两个实数根分别为y1，y2，则(y1-1)(y2-1)的值为_______.
三、解答题
8.(鸡西模拟)若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.
9. 设，是方程＝0的两实数根，求的值．
10.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
11. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
课堂练习参考答案
1.【解析】由题意，得：x1+x2=-p，x1x2=q；
【答案】B.
∴p=-(x1+x2)=-3，q=x1x2=2.故选A.
2.【解析】C（提示：根据题意得：m+n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m+n）+1＝－6，
∴a－3+1＝－6，解得：a＝－4.
【答案】C.
3.【解析】（提示：∵x1，x2是方程2x2－3x－3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝－，
则原式＝＝＝＝＝－．
答案：－
4.【解析】：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
答案：
5.【解析】6（提示：由题意知，m、n是关于x的方程x2－2x－1＝0的两个根，则m+n＝2，mn＝－1．
所以，m2+n2＝（m+n）2－2mn＝2×2－2×（－1）＝6
答案：6
6.【解析】∵x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-5，x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=4+5=9.
答案：9
7.【解析】由根与系数的关系得y1+y2=3，y1y2=1，所以(y1-1)(y2-1)=y1y2-y1-y2+1=y1y2-(y1+y2)+1=1-3+1=-1.
答案：-1
8.【解析】由根与系数的关系得:x1+x2=4①，
x1x2=k-3②，
又∵x1=3x2③，联立①、③，解方程组得
∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
答：方程两根为x1=3,x2=1；k=6.
9.【解析】将代入＝0中得＝0，移项，德
两边同乘以，得，再将代入得
所以，因为+＝1
所以＝2019。
10.【解析】(1)由Δ=(k+2)2-4k·＞0,∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1且k≠0.
(2)不存在符合条件的实数k.
理由：设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系有：
又，则，
∴k=-2.
由(1)知，k=-2时，Δ＜0，原方程无实解.
∴不存在符合条件的k的值
11.【解析】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
A．
7
B．
－7
C．
11
D．
－11

A．
m=0时成立
B．
m=2时成立
C．
m=0或2时成立
D．
不存在

A．
x1+x2＞1，x1•x2＞0
B．
x1+x2＜0，x1•x2＞0

C．
0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0
D．
x1+x2与x1•x2的符号都不确定