人教版数学九年级上册 期末总复习 学案

这是一份人教版数学九年级上册 期末总复习 学案，共10页。学案主要包含了知识梳理，综合运用，课堂检测，课堂小结，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。

班级：_____________姓名：__________________组号：_________
圆
复习目标：
1．会运用圆的相关性质求角度和线段的长。
2．知道圆的常见的几种辅助线的作法，能灵活运用它们解决圆有关的综合题。
3．分类讨论、方程思想、数形结合等数学思想在圆中的渗透。
一、知识梳理
（一）圆心角、弧、弦之间的关系
1．如图，AB是⊙O的直径，C，D为BE弧度三等分点，∠COD=35°，则∠AOE= 。
（二）圆周角定理及其推理
1．如图，点A、B、C在⊙O上，
（1）若∠BAC=60°，求∠BOC=____；
（2）若∠AOB=90°，求∠ACB=____。
2．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝______。
（三）点、直线与圆的位置关系：（可用什么方法判断）
1．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。
2．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD⊥AB于D，以C为圆心，以为半径的圆于AB的位置关系是 。
（四）圆的内接四边形、正多边形与圆。
1．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝ 。
2．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是_____度，半径是_____，边心距是_____。
（五）切线的性质与判定定理
1．如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA．OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
2．如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC．若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
切线的判定方法有哪些？
（六）扇形弧长和面积的相关计算公式
1．一段长为3的弧所在的圆半径是2，则此扇形的圆心角为_____，扇形的面积为 。
二、综合运用
1．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为_____。
2．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD，CD，CE，且∠BDA = 600.
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）若∠BDC=1200，猜想BDCE是何种特殊四边形，并证明你的猜想。
三、课堂检测
1．圆心角为60°，半径为12cm的扇形的弧长为 cm。
2．正六边形的边长为10 cm，它的边心距等于___cm。
3．如下图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE＝5cm。以点A为中心，将△ADE顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为________cm。
4．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长。
四、课堂小结
1．圆这一章的知识结构。
2．几个主要的性质定理和判定定理。
3．直线与圆的位置关系的判定及应用。
4．数形结合的思想和方程思想的渗透。
五、拓展延伸（选做）
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长。
2．如图在⊙O中AB=AC，点P是上一动点，连接PA、PB。
（1）图1，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，直接回答：点P、C、Q三点是否在同一直线上？（填“在”或“不在”）并说明理由；
（2）图2，连接PC若BAC=120°，试判断PA、PB、PC之间有何数量关系，并说明理由。
图2
图1
【答案】
【知识梳理】
（一）
1．75°
（二）
1．120°； 45°
2．30°
（三）
1．上； 外； 上
2．相交
（四）
1．60
2．60； 1；
（五）
1．B 2．B
（六）
1．270°；3π
【综合运用】
1．3
2．解：（1）△BDE为等边三角形。
∵弧AB=弧AB，
∴∠AEB=2∠BDA=120°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍），
∴∠BED=180°-∠AEB=180°-120°=60°，
∴∠EBD=60°
∴△BDE为等边三角形
（2）四边形BDCE为菱形
∵△BDE为等边三角形，
∴BD=DE=BE
∵∠BDC=120°，∠BDE=60，
∴∠EDC=60°
又∵∠3=∠4，
∴BD=DC
∴DE=DC
∴△DEC为等边三角形
∴DC=EC=DE=BD=EB
则四边形BDCE为菱形
【课堂检测】
1．
2．
3．
4．证明：（1）连接OD
∵点O、D分别是AB．BC的中点∴ OD∥AC又DE⊥AC
∴OD⊥DE∴ DE为⊙ O的切线。
（2）由AB=AC，∠BAC=60°
知△ABC是等边三角形
∵⊙O的半径为5
∴AB=BC=10，
又∠C=60° ，∴ DE=
【课堂小结】
略
【拓展延伸】（选做）
1．解：（1）证明：如图，连接OD．
∵OA=OD，AD平分∠BAC
∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD
∴OD//AC
∴∠ODB=∠C=90°
∴BC是⊙O的切线
（2）解法一：如图，过D作DE⊥AB于E
∴∠AED=∠C=90°
又∵AD=AD，∠EAD=∠CAD
∴△AED≌△ACD
∴AE=AC，DE=DC=3
在Rt△BED中，∠BED=90°，由勾股定理，得
BE=4
设AC=x（x>0），则AE=x
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=BD+DC=8，AB=x+4，由勾股定理，得
解得x=6．即AC=6
解法二：如图，延长AC到E，使得AE=AB
∵ AD=AD，∠EAD=∠BAD
∴ △AED≌△ABD
∴ ED=BD=5
在Rt△DCE中，∠DCE=90
由勾股定理，得CE=
在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，BC=BD+DC=8
由勾股定理，得AC2+BC2= AB2
即 AC2+82=(AC+4)2
解得AC=6
2．解：（1）证明：如图，连接PC
∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的
∴∠ABP=∠ACQ
由图知，点A、B．P、C四点共圆
∴∠ACP+∠ABP=180°
∴∠ACP+∠ACQ=180°
∴点P在线段QC的延长线上，即点P、C、Q三点在同一直线上
（2）若∠BAC=120°时，PA=PB+PC
理由如下
如图，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°
∴∠BPC=60°
∵弦AB=弦AC
∴∠APB=∠APQ=30°
在△ABP和△AQP中
∵PQ=PB，，AP=AP
∴△ABP≌△AQP（SAS）
∴AB=AQ，PB=PQ，∴AQ=AC
在等腰△AQC中，QG=CG
在Rt△APG中，∠APG=30°，则AP=2AG，PG=AG
∴PB+PC=PG-QG+PG+CG=PG-QG+PG+QG=2PG=AG
∴PA=PB+PC