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人教版九年级上册数学第22章二次函数 单元测试题（解析版）
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这是一份人教版九年级上册数学第22章二次函数 单元测试题（解析版），共55页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1.二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 7 D. ﹣6
2.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A.x2＋3x－1＝0 B.x2＋3x＋1＝0 C.3x2＋x－1＝0 D.x2－3x＋1＝0
3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5.如图，在 中， ， ， ，动点 P从点 A开始沿 AB向点以 B以 的速度移动，动点 Q从点 B开始沿 向点 C以 的速度移动.若 P， Q两点分别从 A， B两点同时出发， P点到达 B点运动停止，则 的面积 S随出发时间 t的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m
7.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞﹣5 B. ﹣5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. ﹣5＜t≤4
8.将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A. y= （x﹣8）2+5 B. y= （x﹣4）2+5 C. y= （x﹣8）2+3 D. y= （x﹣4）2+3
9.下列各点中，抛物线 经过的点是（ ）
A. (0，4) B. (1， ) C. ( ， ) D. (2，8)
10.若二次函数 的图像经过点(－1， )，( ， )，则 与 的大小关系为( )
A. > B. = C. < D. 不能确定
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为________．
12.的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程 的两个根分别是x1=1.3和x2=________．
13.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是________（不写定义域）．
14.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.
15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y＝60x－1.5x2 ， 该型号飞机着陆后需滑行________m才能停下来．
16.把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
17.函数 的最小值是________．
18.二次函数 的图象经过原点，则a的值为________ ．
三、解答题（共5题；共30分）
19.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
20.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
21.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
22.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
23.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
四、综合题（共3题；共36分）
24.温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排 x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的 x值．
25.根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为；并用虚线标示出函数y= 图象中 y＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．
26.如图，已知二次函数 的图象与 x轴分别交于A(1,0),B(3,,0)两点，与 y轴交于点C．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断 的形状，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1．故答案为：B【分析】有解析式直接得出二次项系数，常数项的值，再根据有理数加法法则算出其和即可。
2.【答案】A
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解故答案为：A.
【分析】根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，就是求x2＋3x－1=0的根即可解答此题。
3.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣ =﹣2， =﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线的顶点坐标，代入可得出b=4a，c=-5a，因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a，分别将b=4a，c=-5a代入①②，结合a>0，可对①②作出判断；再由y=0，就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标，结合函数图像及x1＜x2 ， 可对③作出判断；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。
4.【答案】A
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：① =﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故答案为：A．
【分析】此题考查二次函数的图像与系数的关系，由图像知a＞0，b＜0，-1＜c＜0，顶点的横坐标0＜x＜1,与x轴两个交点的横坐标一个是-1＜x1＜0,一个是1＜x2＜2,及OA=OC即可一一判断。
5.【答案】C
【考点】二次函数的图象，根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S= PB•BQ= （3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故答案为：C．
【分析】由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。
6.【答案】D
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1,高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h=−t2＋24t＋1=−（t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A，B，C三个选项的说法，即只要把t的值代入h=−t2＋24t＋1即可得到；D是求二次函数的最值，可将函数表达式化成顶点式，根据a的正负，判断是最大还是最小的.
7.【答案】D
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
8.【答案】D
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y= x2﹣6x+21
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，
故y= （x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．
故答案为：D．
【分析】考查二次函数的平移变化；需要将二次函数化成顶点式， 由向左平移2个单位，则顶点式中（x-h）写成“（x-h+2）”即可。
9.【答案】B
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：A、当x＝0时，y＝－4，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（0，4），不符合题意；
B、当x＝1时，y＝12－4×1－4＝－7，∴抛物线y＝x2－4x－4经过点（1，－7），符合题意；；
C、当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－4＝1，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（－1，－1），不符合题意；；
D、当x＝2时，y＝22－4×2－4＝－8，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（2，－8），不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】由题意将每一个点代入解析式，若能使解析式左右两边相等，则点在图像上，反之点不在图像上。
10.【答案】A
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】解：当 时，
当 时，
∴ >
故答案为：A.
【分析】由题意将两个点的横坐标代入解析式求得和的值即可比较大小。
二、填空题
11.【答案】6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，根据实际问题列二次函数关系式，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：设A（a， ），B（b， ），则C（a， ）．
将y=x+m代入y= ，得x+m= ，
整理，得x2+mx﹣3=0，
则a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC= AC•BC
= （ ﹣ ）（a﹣b）
= • •（a﹣b）
= （a﹣b）2
= （m2+12）
= m2+6，
∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
【分析】设A（a， ），B（b， ），则C（a，）．将两函数联立方程得出x2+mx﹣3=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b、ab的值，再求出（a﹣b）2 ， 利用S△ABC= AC•BC，可建立s与m的函数解析式，利用二次函数的性质，可解答。
12.【答案】-3.3
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴- =-1则- =-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。
13.【答案】
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】矩形垂直于墙的一边长为x米，则另一边为（10−2 x）m，
所以花圃面积为S=x(10−2x)，即S=−2x2+10x；
故答案为：
【分析】矩形的面积=长宽。由题意知矩形垂直于墙的一边长为x米，则另一边为（10−2 x）m，所以花圃面积为S=x(10−2x)=−2x2+10x。
14.【答案】x1＝－3，x2＝2
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3，0)，(2，0)，∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程 的解为
故答案为：
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点的坐标可得抛物线方程的解。
15.【答案】600
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵y=60x﹣1.5x2=﹣1.5（x﹣20）2+600，
∴x=20时，y取得最大值，此时y=600
【分析】此题就是求抛物线的最值问题的题，将给的抛物线配成顶点式即可得出答案。
16.【答案】y=2x2+1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【分析】首先将抛物线配成顶点式，然后根据抛物线的几何变换规律左右平移在顶点的纵坐标上左加右减，即可得出答案。
17.【答案】-2
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：在函数y= 中，∵a= ＞0，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2．故答案为：﹣2
【分析】该二次函数的二次项系数大于0，故函数有最小值，又该函数的解析式是顶点式，直接得出顶点坐标为（-1，-2），故可直接得出其最小值就是顶点的纵坐标。
18.【答案】-1
【考点】二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵二次函数 的图象经过原点，
∴ ，解得： .
故答案为：：-1
【分析】根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，根据二次函数的图像与系数的关系，由图象经过原点，可知常数项等于0，从而列出混合组，求解得出答案。
三、解答题
19.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20190
当x= =35时，才能在半月内获得最大利润.
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式，利用公式法可得二次函数的最值.
20.【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
21.【答案】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化， ∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP=12﹣2t，BQ=4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
22.【答案】解：作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，
则AE= AB= x，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60﹣AB﹣CD=60﹣2x，
∴S= （AD+BC）×AE= （60﹣2x）× x=﹣ x2+15x（0＜x＜60）．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE= AB= x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
23.【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴ ，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将 y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
四、综合题
24.【答案】（1）
（2）解 ：由题意得15×2（65-x）=x（130-2x）+550
∴x2-80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130-2x=110（元）
答：每件乙产品可获得的利润是110元。
（3）解 ：设生产甲产品m人
W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200
∵2m=65-x-m
∴m=
∵x，m都是非负整数
∴取x=26时，此时m=13，65-x-m=26，
即当x=26时，W最大值=3198（元）
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元。
【考点】二次函数的最值，二次函数的应用，一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每天安排 x 人生产乙产品，则每天安排（65-x）人生产甲产品，每天可生产甲产品2（65-x）件，每件乙产品可获利(130-2x)元；
（2）每天生产甲产品可获得的利润为：15×2（65-x）元，每天生产乙产品可获得的利润x（130-2x）元，根据若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，列出方程，求解并检验即可得出答案；
（3）设生产甲产品m人，每天生产乙产品可获得的利润x（130-2x）元，每天生产甲产品可获得的利润为：15×2m元,每天生产丙产品可获得的利润为：30（65-x-m）元，每天生产三种产品可获得的总利润W=每天生产甲产品可获得的利润+每天生产乙产品可获得的利润+每天生产丙产品可获得的利润，即可列出w与x之间的函数关系式，并配成顶点式，然后由每天甲、丙两种产品的产量相等得出2m=65-x-m，从而得出用含x的式子表示m，再根据x，m都是非负整数得出取x=26时，此时m=13，65-x-m=26，从而得出答案。
25.【答案】（1）解：二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标，观察函数图像，写出x2-2x＜0的解集。
（2）先画出函数y=x2-2x-3的图象，观察函数图像，要使 x 2 − 2 x -3≥0即y≥0，就是观察x轴上方的图像，根据抛物线与x轴的两交点坐标，写出其解集。
26.【答案】（1）解：将A、B两点坐标分别代入函数 ，得
，解得 ，
所以，二次函数解析式为y=x2-4x+3
（2）解：△BCD为直角三角形，理由如下：
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴抛物线顶点坐标D（2，-1），
，
，
， ，
，
∴ ，
∴△BCD为直角三角形
【考点】待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式。建立方程组，求出a、b的值，就可得出二次函数解析式。
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式求出点D的坐标，再利用勾股定理求出CD2、BD2、BC2的值，再利用勾股定理的逆定理判断，可得出此三角形的形状。产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
15
乙
x
x
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
65-x
2（65-x）
15
乙
x
x
130-2x
1.二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 7 D. ﹣6
2.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A.x2＋3x－1＝0 B.x2＋3x＋1＝0 C.3x2＋x－1＝0 D.x2－3x＋1＝0
3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5.如图，在 中， ， ， ，动点 P从点 A开始沿 AB向点以 B以 的速度移动，动点 Q从点 B开始沿 向点 C以 的速度移动.若 P， Q两点分别从 A， B两点同时出发， P点到达 B点运动停止，则 的面积 S随出发时间 t的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m
7.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞﹣5 B. ﹣5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. ﹣5＜t≤4
8.将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A. y= （x﹣8）2+5 B. y= （x﹣4）2+5 C. y= （x﹣8）2+3 D. y= （x﹣4）2+3
9.下列各点中，抛物线 经过的点是（ ）
A. (0，4) B. (1， ) C. ( ， ) D. (2，8)
10.若二次函数 的图像经过点(－1， )，( ， )，则 与 的大小关系为( )
A. > B. = C. < D. 不能确定
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为________．
12.的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程 的两个根分别是x1=1.3和x2=________．
13.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是________（不写定义域）．
14.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.
15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y＝60x－1.5x2 ， 该型号飞机着陆后需滑行________m才能停下来．
16.把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
17.函数 的最小值是________．
18.二次函数 的图象经过原点，则a的值为________ ．
三、解答题（共5题；共30分）
19.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
20.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
21.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
22.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
23.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
四、综合题（共3题；共36分）
24.温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排 x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的 x值．
25.根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为；并用虚线标示出函数y= 图象中 y＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．
26.如图，已知二次函数 的图象与 x轴分别交于A(1,0),B(3,,0)两点，与 y轴交于点C．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断 的形状，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1．故答案为：B【分析】有解析式直接得出二次项系数，常数项的值，再根据有理数加法法则算出其和即可。
2.【答案】A
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解故答案为：A.
【分析】根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，就是求x2＋3x－1=0的根即可解答此题。
3.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣ =﹣2， =﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线的顶点坐标，代入可得出b=4a，c=-5a，因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a，分别将b=4a，c=-5a代入①②，结合a>0，可对①②作出判断；再由y=0，就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标，结合函数图像及x1＜x2 ， 可对③作出判断；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。
4.【答案】A
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：① =﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故答案为：A．
【分析】此题考查二次函数的图像与系数的关系，由图像知a＞0，b＜0，-1＜c＜0，顶点的横坐标0＜x＜1,与x轴两个交点的横坐标一个是-1＜x1＜0,一个是1＜x2＜2,及OA=OC即可一一判断。
5.【答案】C
【考点】二次函数的图象，根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S= PB•BQ= （3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故答案为：C．
【分析】由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。
6.【答案】D
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1,高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h=−t2＋24t＋1=−（t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A，B，C三个选项的说法，即只要把t的值代入h=−t2＋24t＋1即可得到；D是求二次函数的最值，可将函数表达式化成顶点式，根据a的正负，判断是最大还是最小的.
7.【答案】D
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
8.【答案】D
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y= x2﹣6x+21
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，
故y= （x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．
故答案为：D．
【分析】考查二次函数的平移变化；需要将二次函数化成顶点式， 由向左平移2个单位，则顶点式中（x-h）写成“（x-h+2）”即可。
9.【答案】B
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：A、当x＝0时，y＝－4，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（0，4），不符合题意；
B、当x＝1时，y＝12－4×1－4＝－7，∴抛物线y＝x2－4x－4经过点（1，－7），符合题意；；
C、当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－4＝1，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（－1，－1），不符合题意；；
D、当x＝2时，y＝22－4×2－4＝－8，∴抛物线y＝x2－4x－4不经过点（2，－8），不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】由题意将每一个点代入解析式，若能使解析式左右两边相等，则点在图像上，反之点不在图像上。
10.【答案】A
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】解：当 时，
当 时，
∴ >
故答案为：A.
【分析】由题意将两个点的横坐标代入解析式求得和的值即可比较大小。
二、填空题
11.【答案】6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，根据实际问题列二次函数关系式，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：设A（a， ），B（b， ），则C（a， ）．
将y=x+m代入y= ，得x+m= ，
整理，得x2+mx﹣3=0，
则a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC= AC•BC
= （ ﹣ ）（a﹣b）
= • •（a﹣b）
= （a﹣b）2
= （m2+12）
= m2+6，
∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
【分析】设A（a， ），B（b， ），则C（a，）．将两函数联立方程得出x2+mx﹣3=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b、ab的值，再求出（a﹣b）2 ， 利用S△ABC= AC•BC，可建立s与m的函数解析式，利用二次函数的性质，可解答。
12.【答案】-3.3
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴- =-1则- =-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。
13.【答案】
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】矩形垂直于墙的一边长为x米，则另一边为（10−2 x）m，
所以花圃面积为S=x(10−2x)，即S=−2x2+10x；
故答案为：
【分析】矩形的面积=长宽。由题意知矩形垂直于墙的一边长为x米，则另一边为（10−2 x）m，所以花圃面积为S=x(10−2x)=−2x2+10x。
14.【答案】x1＝－3，x2＝2
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3，0)，(2，0)，∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程 的解为
故答案为：
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点的坐标可得抛物线方程的解。
15.【答案】600
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵y=60x﹣1.5x2=﹣1.5（x﹣20）2+600，
∴x=20时，y取得最大值，此时y=600
【分析】此题就是求抛物线的最值问题的题，将给的抛物线配成顶点式即可得出答案。
16.【答案】y=2x2+1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【分析】首先将抛物线配成顶点式，然后根据抛物线的几何变换规律左右平移在顶点的纵坐标上左加右减，即可得出答案。
17.【答案】-2
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：在函数y= 中，∵a= ＞0，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2．故答案为：﹣2
【分析】该二次函数的二次项系数大于0，故函数有最小值，又该函数的解析式是顶点式，直接得出顶点坐标为（-1，-2），故可直接得出其最小值就是顶点的纵坐标。
18.【答案】-1
【考点】二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵二次函数 的图象经过原点，
∴ ，解得： .
故答案为：：-1
【分析】根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，根据二次函数的图像与系数的关系，由图象经过原点，可知常数项等于0，从而列出混合组，求解得出答案。
三、解答题
19.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20190
当x= =35时，才能在半月内获得最大利润.
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式，利用公式法可得二次函数的最值.
20.【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
21.【答案】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化， ∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP=12﹣2t，BQ=4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
22.【答案】解：作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，
则AE= AB= x，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60﹣AB﹣CD=60﹣2x，
∴S= （AD+BC）×AE= （60﹣2x）× x=﹣ x2+15x（0＜x＜60）．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE= AB= x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
23.【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴ ，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将 y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
四、综合题
24.【答案】（1）
（2）解 ：由题意得15×2（65-x）=x（130-2x）+550
∴x2-80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130-2x=110（元）
答：每件乙产品可获得的利润是110元。
（3）解 ：设生产甲产品m人
W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200
∵2m=65-x-m
∴m=
∵x，m都是非负整数
∴取x=26时，此时m=13，65-x-m=26，
即当x=26时，W最大值=3198（元）
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元。
【考点】二次函数的最值，二次函数的应用，一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每天安排 x 人生产乙产品，则每天安排（65-x）人生产甲产品，每天可生产甲产品2（65-x）件，每件乙产品可获利(130-2x)元；
（2）每天生产甲产品可获得的利润为：15×2（65-x）元，每天生产乙产品可获得的利润x（130-2x）元，根据若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，列出方程，求解并检验即可得出答案；
（3）设生产甲产品m人，每天生产乙产品可获得的利润x（130-2x）元，每天生产甲产品可获得的利润为：15×2m元,每天生产丙产品可获得的利润为：30（65-x-m）元，每天生产三种产品可获得的总利润W=每天生产甲产品可获得的利润+每天生产乙产品可获得的利润+每天生产丙产品可获得的利润，即可列出w与x之间的函数关系式，并配成顶点式，然后由每天甲、丙两种产品的产量相等得出2m=65-x-m，从而得出用含x的式子表示m，再根据x，m都是非负整数得出取x=26时，此时m=13，65-x-m=26，从而得出答案。
25.【答案】（1）解：二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标，观察函数图像，写出x2-2x＜0的解集。
（2）先画出函数y=x2-2x-3的图象，观察函数图像，要使 x 2 − 2 x -3≥0即y≥0，就是观察x轴上方的图像，根据抛物线与x轴的两交点坐标，写出其解集。
26.【答案】（1）解：将A、B两点坐标分别代入函数 ，得
，解得 ，
所以，二次函数解析式为y=x2-4x+3
（2）解：△BCD为直角三角形，理由如下：
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴抛物线顶点坐标D（2，-1），
，
，
， ，
，
∴ ，
∴△BCD为直角三角形
【考点】待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式。建立方程组，求出a、b的值，就可得出二次函数解析式。
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式求出点D的坐标，再利用勾股定理求出CD2、BD2、BC2的值，再利用勾股定理的逆定理判断，可得出此三角形的形状。产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
15
乙
x
x
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
65-x
2（65-x）
15
乙
x
x
130-2x
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