初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定同步测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定同步测试题，共6页。试卷主要包含了下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

1．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG= ．
2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是 形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形．
3．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 ．
4．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为 ．
5．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为 ．
6．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为 ．
二．选择题（共10小题）
7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④S△CEF=2S△ABE，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
10．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的内角和与外角和相等
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是正方形
11．在3×4的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（ ）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不够成正方形的四个顶点．
A．2 B．3 C．4 D．5
12．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
13．直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
15．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
16．在△ABC中，AC=AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．四边形DEBF是矩形 B．四边形DCEF是正方形
C．四边形ADEF是菱形 D．△DEF是等边三角形
三．解答题（共4小题）
17．在正方形ABCD中，CE⊥DF．
（1）如图1，证明：BE=CF．
（2）如图2，设正方形对角线交点为O，连接EO，FO猜想：OE与OF之间的关系．并说明理由．
（3）在（2）中，若OE=，FC=1，求正方形的边长．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF．
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
20．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
参考答案
一．填空题
1．3．
2．矩形；菱形；正方形．
3．9
4．10．
5．2．
6．．
二．选择题
7．D．
8．A．
9．C．
10．D．
11．C．
12．D．
13．B．
14．D．
15．B．
16．C．
三．解答题
17．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
又∵∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴BE=CF；
（2）OE=OF；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
在△OEB和△OCF中，
∴△OEB≌△OCF（SAS），
∴OE=OF；
（3）解：如图，
连接EF，
∵△OEB≌△OCF，
∴∠EOB=∠FOC，OE=OF=
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，
∴EF==，
又∵BE=CF=1
∴BF==3
∴BC=BF+FC=3+1=4；
即正方形的边长是4．
18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，
∵∠DBC=45°，
∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，
∴BE=BC=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，
∴DE=BD﹣BE=2﹣；
（2）∵FE⊥CE，
∴∠CEF=90°，
∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，
∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，
∴△FEB≌△ECD，
∴BF=DE=2﹣；
（3）延长GE交AB于F，
由（2）知：DE=BF=2﹣，
由（1）知：BE=BC=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴△DGE∽△BFE，
解得：DG=3﹣4．
19．解：（1）四边形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
20．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，
∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
=225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．
则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，
即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．
由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD=AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=AB．
∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．