人教版九年级数学上册 第二十四章圆 综合素质评价 （含答案） 试卷

第二十四章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是(　　)

A．点P在⊙O外  B．点P在⊙O内

C．点P在⊙O上  D．无法确定

2．如图，点A，B，C在⊙O上 ，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为(　　)

A．27°  B．108°  C．116°  D．128°

3．【母题：教材P83练习T1】如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(　　)

A．8  B．2  C．10  D．5

4．【2023·重庆渝北区模拟】如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是(　　)

A．60°  B．70°  C．80°  D．90°

5．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为(　　)

A．12  B．10  C．14  D．15

6．【2023·海口一中模拟】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是(　　)

A．30°  B．35°  C．45°  D．60°

7．【2022·荆门】如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E.若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(　　)

A．36  B．24

C．18  D．72

8．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(　　)

A．2  B．1  C.  D.

9．欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程x2＋4nx－9m2＝0根的图形解法：如图，在⊙O中，CD为直径，⊙O的切线与CD的延长线交于点B，切点为A，连接AO，AC，使AB＝3m，CD＝4n，则该方程的一个正根是(　　)

A．BD的长度  B．BO的长度 

C．BC的长度  D．AC的长度

10．【2022·武汉】如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，        ∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是(　　)

A. cm　　　　  　B．8 cm　　　　　

C．6 cm　　　　　D．10 cm

二、填空题(每题3分，共24分)

11．【2022·连云港】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点．连接BC，与⊙O交于点D，连接OD.若∠AOD＝82°，则∠C＝________°.

12．挂钟的分针长10 cm，经过15分钟，它的针尖经过的路径长为__________cm.

13．【2022·永州】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝________度．

14．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________．

15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为________．

16．【2022·金华】如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知AC＝6 cm，CB＝8 cm，则⊙O的半径为________ cm.

17．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度约为________cm.

18．【2022·梧州】如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F.若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为____________．

三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．

20．【2023·北京西城模拟】下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图①，P为⊙O外一点．

求作：经过点P的⊙O的切线．

作法：如图②所示．

①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；

②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于B，C两点；

③作直线PB，PC.

则直线PB，PC就是所求作的切线．　

根据小飞设计的尺规作图过程：

(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据)．

证明：连接OB，OC.

∵PO为⊙A的直径，

∴∠PBO＝∠PCO＝________(____________________)．

∴PB⊥OB，PC⊥OC.

又∵OB，OC为⊙O的半径，

∴PB，PC为⊙O的切线(______________________________)．

21．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．

22．如图，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．

(1)求⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标；

(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围．

23．【2022·广元】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

24．【2022·天津】已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB.

(1)如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；

(2)如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为点E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．

答案

一、1.A　【点拨】由题易知OP＝6＞5，∴点P在⊙O外．故选A.

2．B　【点拨】由圆周角定理可知∠BOC＝2∠BAC＝108°.故选B.

3．D　【点拨】连接OA，易知OM⊥AB，在Rt△OAM中，利用勾股定理即可求解．

4．C　【点拨】∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，∴∠A＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝80°，故选C.

5．B　【点拨】连接EF，先根据90°的圆周角所对的弦是直径判断出EF为直径，再利用勾股定理求解即可．

6．A　【点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理的推论得到∠BAE＝90°，结合图形计算可得答案．

7．A　【点拨】连接OC.根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．

8．B　【点拨】因为圆内接正三角形的面积为，所以圆的半径为，所以该圆的内接正六边形的边心距为1，故选B.

9．A　【点拨】∵CD＝4n，∴OD＝OA＝2n.

∵⊙O的切线与CD的延长线交于点B，切点为A，

∴AB⊥OA，即AO2＋AB2＝OB2.

∵x2＋4nx－9m2＝0，∴x2＋4nx＝9m2，即x2＋4nx＝AB2，

∴x2＋4nx＝OB2－AO2，

∴x(x＋4n)＝(OB＋AO)(OB－AO)，

∴x(x＋4n)＝(BD＋DO＋AO)(BD＋DO－AO)，

∴x(x＋4n)＝(BD＋4n)·BD，∴x＝BD.

10．B　【点拨】如图，当AB，BC，CD分别切⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．

连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.

∵AD∥BC，∠BAD＝90°，

∴∠ABC＝90°.

∵∠DHB＝90°，

∴四边形ABHD是矩形．

∴AB＝DH＝20 cm，AD＝BH＝9 cm.

∵BC＝24 cm，∴CH＝BC－BH＝24－9＝15(cm)，

∴CD＝＝＝25(cm)．

设OE＝OF＝OG＝r cm，则有×(9＋24)×20＝×20×r＋×24×r＋×25×r＋×9×(20－r)，

解得r＝8.∴OE＝OF＝OG＝8 cm.

二、11.49　【点拨】根据AC是⊙O的切线，可得∠BAC＝90°，再根据∠AOD＝82°，可得∠ABD的度数，即可得到∠C的度数．

12．5π　【点拨】首先要理解针尖经过的路径的形状，即为一段弧，然后根据弧长公式计算即可．

13．120　【点拨】根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ADC＝60°，由平角的定义可得∠BOC＝120°.

14．99°　【点拨】先根据切线长定理可得EB＝EC，则∠ECB＝67°，再根据平角的定义可得∠BCD＝81°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠A的度数．

15．30°　【点拨】连接OC，OD求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可求解．

16.　【点拨】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质可得BD＝AC＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，设⊙O的半径为r cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列方程求解即可．

17．240　【点拨】设小圆的切线MN与小圆相切于点D，连接OD，OM，则OD⊥MN，∴MD＝DN.

在Rt△DOM中，OM＝180 cm，OD＝60 cm，

∴MD＝＝＝120(cm)，

∴MN＝2MD＝240 cm.

18.π＋－　【点拨】连接OE，OB.易知△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形OAB－(S扇形OAE－S△AOE)－S△AOB＝S扇形OAB－S扇形OAE＋S△AOE－S△AOB，即可求出答案．

三、19.【解】∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，

∴∠OAP＝90°.

又∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.

∴∠B＝∠AOP＝30°.

20．【解】(1)补全的图形如图所示．

(2)90°；直径所对的圆周角是直角；过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

21．(1)【证明】如图，连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

又∵DC＝BD，∴AB＝AC.

(2)【解】由(1)知AB＝AC.

∵∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形．∴∠ABD＝60°.

又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°.

在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，

∴BD＝CD＝4.∴AD＝4.

又∵DE⊥AC，∴DC·AD＝AC·DE.

∴DE＝＝＝＝2.

22．【解】(1)过点P作直线x＝2的垂线，垂足为点A.

当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x－2＝3，解得x＝5，

则y＝x＝×5＝，∴P的坐标为；

当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝3，解得x＝－1，则y＝x＝×(－1)＝－，∴P的坐标为.

综上可知，当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为或.

(2)当－1<x<5时，⊙P与直线x＝2相交；

当x<－1或x>5时，⊙P与直线x＝2相离．

23．(1)【证明】如图，连接OD，CD.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠DCB＝90°.

∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°.

∴∠CDB＝180°－∠ADC＝90°.

∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC.

∴∠DCE＝∠CDE.

∴∠ODC＋∠CDE＝90°.即∠ODE＝90°.

又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

(2)【解】∵AD＝4，BD＝9，

∴AB＝AD＋BD＝4＋9＝13.

在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2，

在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2，

在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2，

∴132－AC2＝92＋AC2－42.∴AC＝2.

∴⊙O的半径为.

24．【解】(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵C为的中点，∴＝.∴AC＝BC.

∴∠CAB＝45°.

又∵AB＝6，∴AC＝3.

(2)∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，即∠FDE＝90°.

∵OD⊥BC，∴∠CED＝90°.

又∵∠ACB＝90°，∴∠FCB＝90°，

∴四边形FCED为矩形．∴FD＝EC.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，

∴BC＝＝4.

∵OD⊥BC，∴EC＝BC＝2.∴FD＝2.