初中数学2.4 等腰三角形的判定定理优秀综合训练题

2.4等腰三角形的判定定理浙教版初中数学八年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，在中，，，，平分，则图中等腰三角形的个数是
(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.如图，中，，，，分别平分，，过点作直线平行于，交，于，，则的周长为
(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点有
(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为
(    )
 

A.  B.  C.  D. 不能确定

5.下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是(    )

A. 含有角的两个直角三角形
B. 腰相等的两个等腰三角形
C. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
D. 一个钝角对应相等的两个等腰三角形

6.如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是(    )

 

A. 和是等腰三角形 B.
C. 的周长是 D.

7.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点下面说法正确的是(    )
的面积的面积；；；．

A.  B.  C.  D.

8.如图，，平分，是射线上的一点，于，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，已知，截线与直线，分别交于点，，以点为圆心，长为半径作弧交直线于点，连接，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，等腰中，于，的平分线分别交于、两点，为的中点，延长交于点，连接；下列结论：；≌；是等腰三角形；；其中正确的结论个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形．则方格图中满足条件的点的个数有______个．

12.如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为          
 

13.如图，已知，是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则等于______ ．

14.如图，在中，，过顶点的直线，，的平分线分别交于点、，若，，则的长为          ．
 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

如图，点、在的边上，，，

求证：．

若，，直接写出图中除与外所有的等腰三角形．

16.本小题分

如图，从四个等式中选出两个作为条件，证明是等腰三角形写出一种即可．

17.本小题分

在中，，，，求证：是等腰三角形．

18.本小题分

如图所示，五边形中，，，，点是的中点．求证：．

19.本小题分

已知：如图，，平分．
求证：．

20.本小题分
如图，已知点、分别在的边、上，且，，的平分线与交于点，连接．

求证：；
求证：平分．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
是等腰三角形 
又，
．

．

，
即是等腰三角形．

，

，即是等腰三角形．

平分．

B.

，

即是等腰三角形．

，

，即是等腰三角形．

共有个等腰三角形．

2.【答案】 

【解析】【分析】

此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．此题难度适中，注意证得与是等腰三角形是解此题的关键．根据平行线的性质得到，，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，，于是得到，，即可得到结果．

【解答】

解：，
，，
中，和的平分线相交于点，
，，
，，
，，
，，
的周长为：




．
故选B．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定，利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．
分别以、为圆心，长为半径画弧，作的垂直平分线，即可得到符合题意的点的位置．
【解答】
解：如图所示，分别以、为圆心，长为半径画弧，与轴的交点，，符合题意；作的垂直平分线，与轴的交点符合题意，

故选：．

4.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
≌，
，
，，
，
故选：．

延长交于，根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．

5.【答案】 

【解析】解：、含有角的两个直角三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，利用可得一定全等，选项符合题意；
D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定解答即可．
此题考查全等三角形的判定，关键是根据等腰三角形、等腰直角三角形和等边三角形的全等判定解答．

6.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
．
同理，．
和是等腰三角形；
的周长；
，
，
，
，
故选项A，，说法正确，不符合题意，
故选：．
由角平分线的定义以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定和是等腰三角形，所以，，的周长被转化为的两边和的和，即求得的周长为．
此题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

7.【答案】 

【解析】解：是中线，
，
，
的面积，的面积，
的面积的面积，
故正确；
，
，
，
同理：，
平分，
，
，，
，
故正确；
平分，
，
，
故正确；
作于，
平分，，
，
，
，
故错误．
正确的是．
故选：．
由是中线，得到，由三角形面积公式，即可证明的面积的面积，由余角的性质推出，，由三角形外角的性质得到，由角平分线定义即可证明，由角平分线的性质得到，因此．
本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积，三角形的外角的性质，余角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
平分，
，
，
，
在中，．
故选：．
过点作于点，如图，则根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，然后根据含度的直角三角形三边的关系求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质．

9.【答案】 

【解析】解：由题意，，
，
，
，
故选：．
根据题意确定，从而得到，再利用三角形的内角和求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，理解并熟练运用等腰三角形的性质是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，


在和中，
，
≌，
，
，
，故正确；
，
，，
又是钝角，
不是等腰三角形，故错误；
故选：．
利用证明≌得到即可判断；根据证明≌即可判断；得到，再证明≌得到，进一步证明即可判断；再由，得到，又是钝角，则不是等腰三角形，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：如图所示：

分两种种情况：
当在，，，位置上时，；
当在，位置上时，；
即满足点的个数是，
故答案为：．
解析：分两种种情况，，．
本题考查了等腰三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等角对等边，将  的周长转换为  的值是解本题的关键．根据角平分线的定义以及平行线的性质可得  ，则可得  的周长等于  的值．

【解答】
解：  和  的平分线交于  点，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  的周长  ．

13.【答案】 

【解析】解：作于点，如图所示，

平分，，，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
作辅助线于点，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，然后根据可以得到的长，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】 

【解析】解：，
．
平分，
，
，
．
同理可得：，
．
故答案为：．
由平行线的性质、角平分线的定义推知，则同理可得，所以线段的长度转化为线段、的和．
本题综合考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定．

15.【答案】【小题】如图，过点作于点，
，
，
，
，
．
 

【小题】易证，，，，
除与外所有的等腰三角形为：、、、．

【解析】 略
 略

16.【答案】选择的条件是：或，，证明略 

【解析】见答案

17.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形． 

【解析】证明≌，得，再由等腰三角形的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，证明≌是解题的关键．

18.【答案】证明：连接，，

在和中，

≌，
，
点是的中点，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是连接，构造全等三角形连接，，可证明≌，进而得到，再利用等腰三角形的性质：三线合一即可得到．

19.【答案】解：，
．
平分．
．
．
． 

【解析】据平行线的性质可得到，然后结合角平分线的性质可证明，最后，依据等角对等边的性质即可得出答案．
本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．

20.【答案】 解：，
，
平分，
，
，
；
，
，
由知，
又，
，
，
，
平分． 

【解析】【试题解析】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定即可得到；
根据平行线的性质得到，由知，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，即可得到结论．