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48， 陕西省西安市碑林区西北工大附中2023-2024学年八年级 下学期开学考试数学试卷
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这是一份48， 陕西省西安市碑林区西北工大附中2023-2024学年八年级 下学期开学考试数学试卷，共23页。
A．B．
C．1.010010001D．π
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．三角形的一个外角大于它的内角
3．（3分）在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝2∠CB．AB：AC：BC＝1：1：2
C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2D．∠A﹣∠B＝90°
4．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A．B．C．或D．15您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高6．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1 或 3
8．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．6
二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．（3分）（﹣4）2的平方根是 ．
12．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a ﹣5﹣2b．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
15．（3分）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，点E是AB边上的动点，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，若点G为线段AC的中点，当时，则AF的长为 ．
三.解答题（共7小题，计52分，解答题应写出过程）
17．（9分）（1）计算：﹣12+（﹣3）0；
（2）解不等式：；
（3）解方程组：．
18．（5分）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，使得方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为 ．并找出点P关于AB的对称点Q，直接写出点Q的坐标 ．
（2）点Q到AB的距离是 ．
19．（6分）随着《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的实施，各学校越来越重视上足上好劳动课程．为了更好地设置学生喜欢的劳动课程，某学校在七年级学生中对四项劳动内容（A：校园种植花草；B：学校食堂帮厨；C：校园清洁；D：文明礼仪劝导）开展了随机问卷调查，并对调查结果进行统计，结果如下：
请结合统计图回答下列问题：
（1）该校抽样调查的学生人数为多少人？并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，请计算项目D所占扇形的圆心角是多少度？
（3）若该校七年级共有学生800人，试估计该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有多少人？
20．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
21．（7分）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4），动点E、F分别位于x轴负半轴、x轴正半轴上，且AE＝AF，过点D（0，8）的直线CD∥x轴，交AB于点C，连接CE交y轴于点G，连接CF．
（1）求直线AB关系式；
（2）若点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，当△ECF为直角三角形时，求点G的坐标．
23．（10分）综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG交CD于点F．
【问题探究】：
（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是 ，∠EAF＝ ．
（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，若AB＝5，BE＝3时，求DF的长．
（3）如图④，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，若AB＝5，DN＝，求MN的长．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．
C．1.010010001D．π
【解答】解：A、＝2，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、1.010010001，是有理数，故该选项不符合题意；
D、π是无理数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．三角形的一个外角大于它的内角
【解答】解：A、两条直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；
C、根据平行于同一直线的两直线平行，故原命题是真命题，符合题意；
D、若三角形的外角也可能等于它相邻的内角，此时三角形为直角三角形，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝2∠CB．AB：AC：BC＝1：1：2
C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2D．∠A﹣∠B＝90°
【解答】解：A．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；
B．∵AB：AC：BC＝1：1：2，
∴设AB＝AC＝x，则BC＝2x，
∵AB2+AC2＝x2+x2＝2x2BC2＝4x2，
∴AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形，故B不符合题意；
C．∵（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2，
∴AC2﹣BC2＝AB2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，故C符合题意；
D．∵∠A﹣∠B＝90°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，故D不符合题意，
故选：C．
4．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5＝，那么方程组是．
故选：A．
5．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A．B．C．或D．15
【解答】解：当AC＝AB＝4时，
过A作AE⊥BC，交BC于点E，
，
∵BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
由勾股定理，AE＝＝，
S△ABC＝×AE×BC＝3，
当CA＝CB＝6时，
∵AC不满足小于AD+CD，
∴此种情况不存在，
故选：B．
6．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1 或 3
【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），
解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，
∴点A的横坐标为正数，
∴3a﹣5＞0，
∴a＞，
∴a＝3．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、函数y＝kx的k＜0，函数y＝x﹣k中﹣k＜0，则k＞0，两个k的取值不一致，故此选项错误，不符合题意；
B、函数y＝kx的k＞0，函数y＝x﹣k中﹣k＜0，则k＞0，两个k的取值一致，故此选项正确，符合题意；
C、函数y＝kx的k＞0，函数y＝x﹣k中﹣k＞0，则k＜0，两个k的取值不一致，故此选项错误，不符合题意；
D、图象中无正比例函数图象，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
10．（3分）如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．6
【解答】解：在AP的下方作∠CAD＝30°，过点B作BD⊥AD于D，
则DP＝AP，
∴AP+BP＝DP+PB，
∴当D，P，B在一条直线上时，AP+BP取得最小值，最小值为线段BD．
∵∠BAP＝15°，
∴∠BAD＝30°+15°＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴2BD2＝62，
∴BD＝3，
∴AP+BP的最小值为3．
故选：B．
二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．（3分）（﹣4）2的平方根是 ±4 ．
【解答】解：∵（﹣4）2＝16
∴16平方根是±4．
∴（﹣4）2的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a ＞ ﹣5﹣2b．
【解答】解：两边都乘以﹣2，得
﹣2a＞﹣2b，
两边都加﹣5，得
﹣5﹣2a＞﹣5﹣2b，
故答案为：＞．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），
∴1＝﹣2a+4，
解得a＝，
∴A（，1），
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：．
14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ 80° ．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故答案为80°．
15．（3分）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为 （﹣6，3）或（4，3） ．
【解答】解：∵线段AB平行于x轴，
∴线段AB上所有点的纵坐标相等．
∵点A坐标为（﹣1，3），且AB＝5，
∴点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．
故答案为：（﹣6，3）或（4，3）．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，点E是AB边上的动点，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，若点G为线段AC的中点，当时，则AF的长为 4 ．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△CBE与△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝60°，
过F作FH⊥AC于H，
设AF＝2x
∴AH＝AF＝x，
∴FH＝＝x，
∵点G为线段AC的中点，
∴AG＝AC＝4，
∴HG＝4﹣x，
∵FG2＝FH2+HG2，
∴13＝3x2+（4﹣x）2，
解得x＝2或x＝6（不合题意舍去），
∴AF＝4．
故答案为：4．
三.解答题（共7小题，计52分，解答题应写出过程）
17．（9分）（1）计算：﹣12+（﹣3）0；
（2）解不等式：；
（3）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+1+2
＝﹣1﹣+1+2
＝；
（2），
去分母，得2（2x﹣1）﹣6≥3x，
去括号，得4x﹣2﹣6≥3x，
移项，得4x﹣3x≥2+6，
合并同类项，得x≥8；
（3），
①+②，得5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入②得：﹣1﹣y＝5，
解得y＝﹣6，
∴原方程组的解为．
18．（5分）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，使得方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为 （0，3） ．并找出点P关于AB的对称点Q，直接写出点Q的坐标 （3，0） ．
（2）点Q到AB的距离是 ．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可知，点P的坐标为（0，3）．
如图，点Q即为所求．
点Q的坐标为（3，0）．
故答案为：（0，3）；（3，0）．
（2）由勾股定理得，AB＝＝．
设点Q到AB的距离是h，
∵S△ABQ＝＝3，
∴＝3，
解得h＝，
∴点Q到AB的距离是．
故答案为：．
19．（6分）随着《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的实施，各学校越来越重视上足上好劳动课程．为了更好地设置学生喜欢的劳动课程，某学校在七年级学生中对四项劳动内容（A：校园种植花草；B：学校食堂帮厨；C：校园清洁；D：文明礼仪劝导）开展了随机问卷调查，并对调查结果进行统计，结果如下：
请结合统计图回答下列问题：
（1）该校抽样调查的学生人数为多少人？并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，请计算项目D所占扇形的圆心角是多少度？
（3）若该校七年级共有学生800人，试估计该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数：16÷32÷＝50（人）．
C组人数：50×20%＝10（人）．
B组人数：50﹣16﹣10﹣4＝20（人）．
补全条形统计图如下：
（2）项目D所占扇形的圆心角：360°×＝28.8°．
（3）该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有：800×＝416（人）．
20．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；
（2）设购进m个A种纪念章，则购进（400﹣m）个B种纪念章，
根据题意得：10m+6（400﹣m）≤2800，
解得：m≤100．
设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w＝（13﹣10）m+（8﹣6）（400﹣m），
即w＝m+800，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝100+800＝900，此时400﹣m＝400﹣100＝300．
答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
21．（7分）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
【解答】证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4），动点E、F分别位于x轴负半轴、x轴正半轴上，且AE＝AF，过点D（0，8）的直线CD∥x轴，交AB于点C，连接CE交y轴于点G，连接CF．
（1）求直线AB关系式；
（2）若点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，当△ECF为直角三角形时，求点G的坐标．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣4；
（2）把y＝8代入y＝x﹣4，
得x＝9，
∴点C的坐标为（9，8），
由△ECF是直角三角形，且点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，
得∠CFE＝90°或∠ECF＝90°，
①若∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝90°，
∴CF⊥x轴，
∵C（9，8），
∴点F的坐标为（9，0），
∵A（3，0），
∴AF＝6，
∵AE＝AF，
∴AE＝6，
∴点E的坐标为（﹣3，0），
设直线CE的解析式为y＝k1x+b1，
代入C（9，8），E（﹣3，0），
得，
解得，
∴直线CE的解析式为y＝x+2，
代入x＝0，得y＝2，
∴点G的坐标为（0，2）；
②若∠ECF＝90°，
∵A（3，0），C（9，8），
∴AC＝＝10，
∵△CEF是直角三角形，∠ECF＝90°，AE＝AF，
∴AC＝AE＝AF＝10，
∵A（3，0），
∴点E的坐标为（﹣7，0），
设直线CE的解析式为y＝k2x+b2，
代入C（9，8），E（﹣7，0），
得，
解得，
∴直线CE的解析式为y＝x+，
代入x＝0得，y＝，
∴点G的坐标为（0，）；
综上所述，当△ECF为直角三角形时，点G坐标的坐标为（0，2）或（0，）．
23．（10分）综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG交CD于点F．
【问题探究】：
（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是 FG＝FD ，∠EAF＝ 45° ．
（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，若AB＝5，BE＝3时，求DF的长．
（3）如图④，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，若AB＝5，DN＝，求MN的长．
【解答】解：（1）如图②，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
由翻折得AG＝AB，∠AGE＝∠B＝90°，∠EAG＝∠EAB＝∠BAG，
∴AG＝AD，∠AGF＝∠D＝90°，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），
∴FG＝FD，∠FAG＝∠FAD＝∠DAG，
∴∠EAF＝∠EAG+∠FAG＝（∠BAG+∠DAG）＝∠BAD＝45°，
故答案为：FG＝FD，45°．
（2）如图③，由翻折得AG＝AB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴GE＝BE，AG＝AD，∠AGF＝∠D＝90°，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），
∴GF＝DF，
∵AB＝5，BE＝3，
∴BC＝DC＝AB＝5，GE＝BE＝3，CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
∴CF＝5﹣DF，EF＝3+GF＝3+DF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+（5﹣DF）2＝（3+DF）2，
解得DF＝，
∴DF的长是．
（3）如图3，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABL，连接ML，则AL＝AN，BL＝DN＝，
∵AB＝AD＝5，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，BD＝＝＝5，
∴∠ABL＝∠ADN＝45°，BN＝BD﹣DN＝5﹣＝4，
∴∠LBM＝∠ABL+∠ABD＝90°，
∵∠EAG＝∠EAB＝∠BAG，∠FAG＝∠FAD＝∠DAG，
∴∠EAF＝∠EAG+∠FAG＝（∠BAG+∠DAG）＝∠BAD＝45°，
∵∠BAL＝∠DAN，
∴∠MAL＝∠BAL+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAL＝∠EAF，即∠MAL＝∠MAN，
在△MAL和△MAN中，
，
∴△MAL≌△MAN（SAS），
∴ML＝MN，
∵BL2+BM2＝ML2，且BM＝4﹣MN，
∴（）2+（4﹣MN）2＝MN2，
∴MN＝，
∴MN的长是．
A．B．
C．1.010010001D．π
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．三角形的一个外角大于它的内角
3．（3分）在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝2∠CB．AB：AC：BC＝1：1：2
C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2D．∠A﹣∠B＝90°
4．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A．B．C．或D．15您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高6．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1 或 3
8．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．6
二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．（3分）（﹣4）2的平方根是 ．
12．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a ﹣5﹣2b．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
15．（3分）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，点E是AB边上的动点，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，若点G为线段AC的中点，当时，则AF的长为 ．
三.解答题（共7小题，计52分，解答题应写出过程）
17．（9分）（1）计算：﹣12+（﹣3）0；
（2）解不等式：；
（3）解方程组：．
18．（5分）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，使得方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为 ．并找出点P关于AB的对称点Q，直接写出点Q的坐标 ．
（2）点Q到AB的距离是 ．
19．（6分）随着《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的实施，各学校越来越重视上足上好劳动课程．为了更好地设置学生喜欢的劳动课程，某学校在七年级学生中对四项劳动内容（A：校园种植花草；B：学校食堂帮厨；C：校园清洁；D：文明礼仪劝导）开展了随机问卷调查，并对调查结果进行统计，结果如下：
请结合统计图回答下列问题：
（1）该校抽样调查的学生人数为多少人？并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，请计算项目D所占扇形的圆心角是多少度？
（3）若该校七年级共有学生800人，试估计该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有多少人？
20．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
21．（7分）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4），动点E、F分别位于x轴负半轴、x轴正半轴上，且AE＝AF，过点D（0，8）的直线CD∥x轴，交AB于点C，连接CE交y轴于点G，连接CF．
（1）求直线AB关系式；
（2）若点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，当△ECF为直角三角形时，求点G的坐标．
23．（10分）综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG交CD于点F．
【问题探究】：
（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是 ，∠EAF＝ ．
（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，若AB＝5，BE＝3时，求DF的长．
（3）如图④，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，若AB＝5，DN＝，求MN的长．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．
C．1.010010001D．π
【解答】解：A、＝2，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、1.010010001，是有理数，故该选项不符合题意；
D、π是无理数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．三角形的一个外角大于它的内角
【解答】解：A、两条直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；
C、根据平行于同一直线的两直线平行，故原命题是真命题，符合题意；
D、若三角形的外角也可能等于它相邻的内角，此时三角形为直角三角形，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝2∠CB．AB：AC：BC＝1：1：2
C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2D．∠A﹣∠B＝90°
【解答】解：A．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；
B．∵AB：AC：BC＝1：1：2，
∴设AB＝AC＝x，则BC＝2x，
∵AB2+AC2＝x2+x2＝2x2BC2＝4x2，
∴AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形，故B不符合题意；
C．∵（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2，
∴AC2﹣BC2＝AB2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，故C符合题意；
D．∵∠A﹣∠B＝90°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，故D不符合题意，
故选：C．
4．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5＝，那么方程组是．
故选：A．
5．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A．B．C．或D．15
【解答】解：当AC＝AB＝4时，
过A作AE⊥BC，交BC于点E，
，
∵BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
由勾股定理，AE＝＝，
S△ABC＝×AE×BC＝3，
当CA＝CB＝6时，
∵AC不满足小于AD+CD，
∴此种情况不存在，
故选：B．
6．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞3C．a≠3D．a＜3
【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1 或 3
【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），
解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，
∴点A的横坐标为正数，
∴3a﹣5＞0，
∴a＞，
∴a＝3．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、函数y＝kx的k＜0，函数y＝x﹣k中﹣k＜0，则k＞0，两个k的取值不一致，故此选项错误，不符合题意；
B、函数y＝kx的k＞0，函数y＝x﹣k中﹣k＜0，则k＞0，两个k的取值一致，故此选项正确，符合题意；
C、函数y＝kx的k＞0，函数y＝x﹣k中﹣k＞0，则k＜0，两个k的取值不一致，故此选项错误，不符合题意；
D、图象中无正比例函数图象，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
10．（3分）如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．6
【解答】解：在AP的下方作∠CAD＝30°，过点B作BD⊥AD于D，
则DP＝AP，
∴AP+BP＝DP+PB，
∴当D，P，B在一条直线上时，AP+BP取得最小值，最小值为线段BD．
∵∠BAP＝15°，
∴∠BAD＝30°+15°＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴2BD2＝62，
∴BD＝3，
∴AP+BP的最小值为3．
故选：B．
二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．（3分）（﹣4）2的平方根是 ±4 ．
【解答】解：∵（﹣4）2＝16
∴16平方根是±4．
∴（﹣4）2的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a ＞ ﹣5﹣2b．
【解答】解：两边都乘以﹣2，得
﹣2a＞﹣2b，
两边都加﹣5，得
﹣5﹣2a＞﹣5﹣2b，
故答案为：＞．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），
∴1＝﹣2a+4，
解得a＝，
∴A（，1），
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：．
14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ 80° ．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故答案为80°．
15．（3分）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为 （﹣6，3）或（4，3） ．
【解答】解：∵线段AB平行于x轴，
∴线段AB上所有点的纵坐标相等．
∵点A坐标为（﹣1，3），且AB＝5，
∴点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．
故答案为：（﹣6，3）或（4，3）．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，点E是AB边上的动点，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，若点G为线段AC的中点，当时，则AF的长为 4 ．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△CBE与△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝60°，
过F作FH⊥AC于H，
设AF＝2x
∴AH＝AF＝x，
∴FH＝＝x，
∵点G为线段AC的中点，
∴AG＝AC＝4，
∴HG＝4﹣x，
∵FG2＝FH2+HG2，
∴13＝3x2+（4﹣x）2，
解得x＝2或x＝6（不合题意舍去），
∴AF＝4．
故答案为：4．
三.解答题（共7小题，计52分，解答题应写出过程）
17．（9分）（1）计算：﹣12+（﹣3）0；
（2）解不等式：；
（3）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+1+2
＝﹣1﹣+1+2
＝；
（2），
去分母，得2（2x﹣1）﹣6≥3x，
去括号，得4x﹣2﹣6≥3x，
移项，得4x﹣3x≥2+6，
合并同类项，得x≥8；
（3），
①+②，得5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入②得：﹣1﹣y＝5，
解得y＝﹣6，
∴原方程组的解为．
18．（5分）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，使得方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为 （0，3） ．并找出点P关于AB的对称点Q，直接写出点Q的坐标 （3，0） ．
（2）点Q到AB的距离是 ．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可知，点P的坐标为（0，3）．
如图，点Q即为所求．
点Q的坐标为（3，0）．
故答案为：（0，3）；（3，0）．
（2）由勾股定理得，AB＝＝．
设点Q到AB的距离是h，
∵S△ABQ＝＝3，
∴＝3，
解得h＝，
∴点Q到AB的距离是．
故答案为：．
19．（6分）随着《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的实施，各学校越来越重视上足上好劳动课程．为了更好地设置学生喜欢的劳动课程，某学校在七年级学生中对四项劳动内容（A：校园种植花草；B：学校食堂帮厨；C：校园清洁；D：文明礼仪劝导）开展了随机问卷调查，并对调查结果进行统计，结果如下：
请结合统计图回答下列问题：
（1）该校抽样调查的学生人数为多少人？并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，请计算项目D所占扇形的圆心角是多少度？
（3）若该校七年级共有学生800人，试估计该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数：16÷32÷＝50（人）．
C组人数：50×20%＝10（人）．
B组人数：50﹣16﹣10﹣4＝20（人）．
补全条形统计图如下：
（2）项目D所占扇形的圆心角：360°×＝28.8°．
（3）该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有：800×＝416（人）．
20．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；
（2）设购进m个A种纪念章，则购进（400﹣m）个B种纪念章，
根据题意得：10m+6（400﹣m）≤2800，
解得：m≤100．
设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w＝（13﹣10）m+（8﹣6）（400﹣m），
即w＝m+800，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝100+800＝900，此时400﹣m＝400﹣100＝300．
答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
21．（7分）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
【解答】证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4），动点E、F分别位于x轴负半轴、x轴正半轴上，且AE＝AF，过点D（0，8）的直线CD∥x轴，交AB于点C，连接CE交y轴于点G，连接CF．
（1）求直线AB关系式；
（2）若点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，当△ECF为直角三角形时，求点G的坐标．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣4；
（2）把y＝8代入y＝x﹣4，
得x＝9，
∴点C的坐标为（9，8），
由△ECF是直角三角形，且点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，
得∠CFE＝90°或∠ECF＝90°，
①若∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝90°，
∴CF⊥x轴，
∵C（9，8），
∴点F的坐标为（9，0），
∵A（3，0），
∴AF＝6，
∵AE＝AF，
∴AE＝6，
∴点E的坐标为（﹣3，0），
设直线CE的解析式为y＝k1x+b1，
代入C（9，8），E（﹣3，0），
得，
解得，
∴直线CE的解析式为y＝x+2，
代入x＝0，得y＝2，
∴点G的坐标为（0，2）；
②若∠ECF＝90°，
∵A（3，0），C（9，8），
∴AC＝＝10，
∵△CEF是直角三角形，∠ECF＝90°，AE＝AF，
∴AC＝AE＝AF＝10，
∵A（3，0），
∴点E的坐标为（﹣7，0），
设直线CE的解析式为y＝k2x+b2，
代入C（9，8），E（﹣7，0），
得，
解得，
∴直线CE的解析式为y＝x+，
代入x＝0得，y＝，
∴点G的坐标为（0，）；
综上所述，当△ECF为直角三角形时，点G坐标的坐标为（0，2）或（0，）．
23．（10分）综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG交CD于点F．
【问题探究】：
（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是 FG＝FD ，∠EAF＝ 45° ．
（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，若AB＝5，BE＝3时，求DF的长．
（3）如图④，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，若AB＝5，DN＝，求MN的长．
【解答】解：（1）如图②，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
由翻折得AG＝AB，∠AGE＝∠B＝90°，∠EAG＝∠EAB＝∠BAG，
∴AG＝AD，∠AGF＝∠D＝90°，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），
∴FG＝FD，∠FAG＝∠FAD＝∠DAG，
∴∠EAF＝∠EAG+∠FAG＝（∠BAG+∠DAG）＝∠BAD＝45°，
故答案为：FG＝FD，45°．
（2）如图③，由翻折得AG＝AB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴GE＝BE，AG＝AD，∠AGF＝∠D＝90°，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），
∴GF＝DF，
∵AB＝5，BE＝3，
∴BC＝DC＝AB＝5，GE＝BE＝3，CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
∴CF＝5﹣DF，EF＝3+GF＝3+DF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+（5﹣DF）2＝（3+DF）2，
解得DF＝，
∴DF的长是．
（3）如图3，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABL，连接ML，则AL＝AN，BL＝DN＝，
∵AB＝AD＝5，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，BD＝＝＝5，
∴∠ABL＝∠ADN＝45°，BN＝BD﹣DN＝5﹣＝4，
∴∠LBM＝∠ABL+∠ABD＝90°，
∵∠EAG＝∠EAB＝∠BAG，∠FAG＝∠FAD＝∠DAG，
∴∠EAF＝∠EAG+∠FAG＝（∠BAG+∠DAG）＝∠BAD＝45°，
∵∠BAL＝∠DAN，
∴∠MAL＝∠BAL+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAL＝∠EAF，即∠MAL＝∠MAN，
在△MAL和△MAN中，
，
∴△MAL≌△MAN（SAS），
∴ML＝MN，
∵BL2+BM2＝ML2，且BM＝4﹣MN，
∴（）2+（4﹣MN）2＝MN2，
∴MN＝，
∴MN的长是．
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