2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）开学数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中最小的是（ ）
A．0B．C．﹣1.5D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．＝9C．＝2D．（）2＝25
3．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0
B．关于x方程kx+b＝0的解是x＝2
C．b＜0
D．y随x的增大而增大
4．（3分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．（3分）在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点
6．（3分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若x＞y，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．mx＜myB．x2＞y2C．xc2＞yc2D．x﹣a＞y﹣a
8．（3分）已知关于x的不等式（3﹣a）x＞3﹣a的解集为x＜1，则（ ）
A．a≤3B．a≥3C．a＞3D．a＜3
9．（3分）比较a2+b2与2ab的大小，叙述正确的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a2+b2＞2ab
C．由a的大小确定D．由b的大小确定
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，则AB的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若的整数部分为x，小数部分为y，则 ．
12．（3分）如图，把一个等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）放在等距的横线上，点A，B，C恰好都在横线上 ．
13．（3分）已知在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（3，0），设过点B的直线l的解析式为y＝kx+b（包含两个端点）有交点，则k的取值范围是 ．
14．（3分）如图所示，在△ABC中，DE，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，AC＝9，设△AEN周长为m ．
15．（3分）若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是 ．
16．（3分）如图，在△ABC，∠BAC＝45°，BC＝4﹣4，C的一动点，将△ABD沿AB翻折得到△ABE，连接EF，则四边形EBCF面积的最大值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，请写出必要的解题过程）
17．（8分）计算：（）+×（π﹣3）0+（﹣1）﹣2．
18．（10分）求当x为何值时，代数式的值不小于代数式4x+1的值？在数轴上表示其解集
19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，请用尺规作图法在CD边上求作一点P，使得S△ADP＝S△ABP．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AC的中点，连接DE并延长，∠DAC的平分线交DM于点F．
求证：AF＝CM．
21．（10分）为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，请跟进相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽测的男生人数为 ，图1中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据
22．（12分）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，B型车y辆，一次运完，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
23．（12分）思考：
（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的AC边上一点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），CE＝3，则AC＝ ．
（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是 ．
问题解决：
（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接ME，不存在请说明理由；若存在
2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数中最小的是（ ）
A．0B．C．﹣1.5D．
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣1.5＜﹣＜0＜，
∴最小的是﹣1.5．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．＝9C．＝2D．（）2＝25
【分析】直接根据二次根式与三次根式的性质计算判断即可．
【解答】解：＝3；
＝3，故选项B错误；
＝2，故选项C正确；
（）8＝5，故选项D错误．
故选：C．
3．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0
B．关于x方程kx+b＝0的解是x＝2
C．b＜0
D．y随x的增大而增大
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：由图象可知k＜0，b＞0，
∵直线与x轴的交点为（4，0），
∴关于x方程kx+b＝0的解是x＝2，
故选：B．
4．（3分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：解法一、∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝135°，
∵∠CAE+∠AEC+∠ACE＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
解法二、∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AED＝45°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠ACD＝15°，
故选：B．
5．（3分）在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点
【分析】利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA＝PB的点的位置，然后思考满足PB＝PC的点的位置，答案可得．
【解答】解：∵PA＝PB∴P在AB的垂直平分线上，
同理P在AC，BC的垂直平分线上．
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选：D．
6．（3分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由五只雀，六只燕共重一斤，
由雀重燕轻，互换一只，可得方程4x+y＝5y+x，
故，
故选：C．
7．（3分）若x＞y，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．mx＜myB．x2＞y2C．xc2＞yc2D．x﹣a＞y﹣a
【分析】根据x＞y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A、∵x＞y，
∴当m＝1时，mx＞my，
∴选项A结论不一定成立；
B、∵x＞y，
∴当x＝2，y＝﹣2时，x2＜y2，
∴选项B结论不一定成立；
C、当c＝3时2＝yc2，
∴选项C结论不一定成立；
D、∵x＞y，
∴x﹣a＞y﹣a，
∴选项D结论一定成立．
故选：D．
8．（3分）已知关于x的不等式（3﹣a）x＞3﹣a的解集为x＜1，则（ ）
A．a≤3B．a≥3C．a＞3D．a＜3
【分析】根据不等式的解集得到3﹣a为负数，即可确定出a的范围．
【解答】解：∵不等式（3﹣a）x＞3﹣a的解集为x＜2，
∴3﹣a＜0，
解得：a＞2．
故选：C．
9．（3分）比较a2+b2与2ab的大小，叙述正确的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a2+b2＞2ab
C．由a的大小确定D．由b的大小确定
【分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a2+b2﹣7ab＝（a﹣b）2≥0，
∴a3+b2≥2ab．
故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，则AB的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
【分析】利用BD是∠ABC的平分线，求出∠ABD＝∠DBC＝30°，得出AD＝BD＝2，再计算BC的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴AD＝BD＝2，
在Rt△BCD中，
BC＝cs30°×BD＝，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝7BC＝2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若的整数部分为x，小数部分为y，则 1 ．
【分析】由于1＜＜2，由此可得的整数部分和小数部分，进一步代入求得问题．
【解答】解：∵1＜＜6，
∴若的整数部分为x＝1﹣1，
则＝×1﹣（．
故答案为：2．
12．（3分）如图，把一个等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）放在等距的横线上，点A，B，C恰好都在横线上 4（厘米） ．
【分析】过点A作AE⊥点C所在横线于点E，过点B作BF⊥点C所在横线于点F，易证△CAE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得出AE、CE的长度，在Rt△ACE中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用等腰直角三角形的性质可求出AB的长度．
【解答】解：过点A作AE⊥点C所在横线于点E，过点B作BF⊥点C所在横线于点F．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝CB．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF．
在△CAE和△BCF中，
，
∴△CAE≌△BCF（AAS），
∴AE＝CF＝2，CE＝BF＝6．
在Rt△ACE中，AE＝5厘米，∠AEC＝90°，
∴AC＝＝3，
∴AB＝AC＝4．
故答案为：4（厘米）．
13．（3分）已知在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（3，0），设过点B的直线l的解析式为y＝kx+b（包含两个端点）有交点，则k的取值范围是 ﹣2≤k≤﹣ ．
【分析】先求出特殊位置时，k的值，即可求解．
【解答】解：∵点C，点A关于y轴对称，2），
∴点C坐标为（﹣2，3），
当直线l过点A时，由题意可得，
解得：k＝﹣2，
当直线l过点C时，由题意可得，
解得：k＝﹣，
∵直线l与线段AC（包含两个端点）有交点，
∴﹣5≤k≤﹣．
14．（3分）如图所示，在△ABC中，DE，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，AC＝9，设△AEN周长为m ＜m＜17 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，NC＝NA，根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：∵DE，MN是边AB，
∴EA＝EB，NC＝NA，
∴△AEN周长为m＝EA+EN+NA＝EB+EN+NC＝BC，
在△ABC中，9﹣8＜BC＜2+8，
∴m＜17，
当∠BAC＝90°时，BC＝＝，
∴＜m＜17
故答案为：＜m＜17．
15．（3分）若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是 13 ．
【分析】先解不等式得到x＜（m﹣1），再根据正整数解是1，2，3得到3＜（m﹣1）≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【解答】解：解不等式3x+1＜m，得x＜．
∵关于x的不等式3x+5＜m的正整数解是1，2，5，
∴3＜（m﹣1）≤4，
∴10＜m≤13，
∴整数m的最大值是13．
故答案为13．
16．（3分）如图，在△ABC，∠BAC＝45°，BC＝4﹣4，C的一动点，将△ABD沿AB翻折得到△ABE，连接EF，则四边形EBCF面积的最大值是 18﹣8 ．
【分析】由折叠的性质可得五边形AEBCF的面积＝2△ABC的面积，则四边形EBCF面积＝五边形AEBCF的面积﹣△AEF的面积，设AD＝AE＝AF＝x，由面积公式可得四边形EBCF的面积＝24﹣8﹣，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：过点B作BM⊥AC，垂足为M．
∵∠ACB＝60°，BC＝4，
∴CM＝BC＝2，BM＝，
∵∠BAC＝45°，
∴AM＝BM＝6﹣2，
∴AC＝CM+AM＝4，
∴S△ABC＝＝12﹣4，
设AD＝x，则AE＝AD＝AF＝x．
由翻折的性质可知：∠EAF＝90°，S五边形AEBCF＝6S△ABC＝24﹣8，
∴S△AEF＝x2，
∵S四边形EBCF＝S五边形AEBCF﹣S△AEF＝24﹣8﹣，
∴当x取最小值时，四边形EBCF的面积有最大值，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，此时，，解得AD＝，
∴四边形EBCF面积的最大值为：24﹣8﹣×（7）2＝18﹣7，
故答案为：18﹣8
三、解答题（本大题共7小题，共72分，请写出必要的解题过程）
17．（8分）计算：（）+×（π﹣3）0+（﹣1）﹣2．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝+×1+1
＝﹣+1．
18．（10分）求当x为何值时，代数式的值不小于代数式4x+1的值？在数轴上表示其解集
【分析】根据题意列出关于x的不等式，再根据解不等式的基本步骤求解可得．
【解答】解：根据题意，得：，
去分母，得：2x﹣11≥20x+5，
移项、合并，
系数化为1，得：x≤﹣3，
将解集表示在数轴上如下：
．
则满足条件的最大整数为﹣1．
19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，请用尺规作图法在CD边上求作一点P，使得S△ADP＝S△ABP．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作∠BAD的平分线交CD于P，则P点到AB和AD的距离相等，而AB＝AD，于是根据三角形面积公式，可判断S△ADP＝S△ABP．
【解答】解：如图，点P为所作．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AC的中点，连接DE并延长，∠DAC的平分线交DM于点F．
求证：AF＝CM．
【分析】先由等腰三角形的性质得∠B＝∠C，则∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，再由角平分线的定义得∠EAF＝∠DAC＝∠C，然后证明△AEF≌△CEM（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CEM中，
，
∴△AEF≌△CEM（ASA），
∴AF＝CM．
21．（10分）为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，请跟进相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽测的男生人数为 50 ，图1中m的值为 28 ；
（Ⅱ）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据
【分析】（Ⅰ）根据4次的人数及其百分比可得总人数，用6次的人数除以总人数求得m即可；
（Ⅱ）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；
（Ⅲ）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得．
【解答】解：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为10÷20%＝50（人），
m%＝×100%＝28%，
故答案为：50、28；
（Ⅱ）平均数为＝5.16（次），
众数为4次，中位数为．
（Ⅲ）×550＝396（人），
答：估计该校550名八年级男生中有396人体能达标．
22．（12分）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，B型车y辆，一次运完，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于x，y的二元一次方程，根据x，y均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆车的租金×租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，6辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨．
（2）依题意得：3x+7y＝31，
∴x＝．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有7种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，8辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，6辆B型车．
（3）方案1所需租车费为100×9+120×3＝1020（元）；
方案2所需租车费为100×5+120×6＝980（元）；
方案3所需租车费为100×1+120×3＝940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车．
23．（12分）思考：
（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的AC边上一点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），CE＝3，则AC＝ 4 ．
（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是 ．
问题解决：
（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，以BD为边作等边△BDE（BD下方），连接ME，不存在请说明理由；若存在
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD＝CE＝3，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得∠A＝∠BCE＝60°，则点E在射线CE上移动，由垂线段最短可得，当ME⊥CE时，ME有最小值，由直角三角形的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得∠BAD＝∠BCE＝30°，则点E在射线CE上移动，由垂线段最短可得，当ME⊥CE时，ME有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE＝3，
∴AC＝AD+DC＝4，
故答案为7；
（2）如图，连接CE，
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠A＝∠BCE＝60°，
∴点E在射线CE上移动，
由垂线段最短可得，当ME⊥CE时，
∵M是BC的中点，
∴MC＝BC＝，
∵ME⊥CE，∠BCE＝60°，
∴∠CME＝30°，
∴CE＝MC＝CE＝，
∴ME长的最小值的最小值为，
故答案为：；
（3）存在最小值，
理由如下：连接CE，
∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，
∴∠BAM＝30°，
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝30°，
∴点E在射线CE上移动，
由垂线段最短可得，当ME⊥CE时，
∵M是BC的中点，
∴MC＝BC＝，
∵ME⊥CE，∠BCE＝30°，
∴ME＝MC＝，
∴ME长的最小值为．