2024-2025学年陕西省西安理工大学附中八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安理工大学附中八年级（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算中，正确的是( )
A. (a+b)2=a2+b2B. a3+a2=2a5
C. (−2x3)2=4x6D. (−1)−1=1
2.下面是几个汽车标志的图案，其中是轴对称图形的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.如图所示，AB//CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是∠EED的平分线，交AB于G.若∠QED=40°，那么∠EGB=( )
A. 80°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
4.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于( )
A. 44°
B. 68°
C. 46°
D. 22°
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )
A. 5cmB. 6cm
C. 7cmD. 8cm
6.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是( )
A. 13mB. 17m
C. 18mD. 25m
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC=8cm，AC=6cm，则BD的长为( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
8.甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(ℎ)之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了20km；②乙在途中停留了0.5ℎ；③甲、乙两人同时到达目的地；④相遇后，甲的速度小于乙的速度，根据图象信息，以上说法正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知4x2+kx+9是完全平方式，则k= ______．
10.若(x+m)(x−m)=x2−14，则m=______．
11.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为______．
12.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=______度．
13.如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：______，使△AEH≌△CEB．
三、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
计算题．
(1)16×2−4+(−13)0÷(−13)；
(2)[4(x+y)2−x−y]÷(x+y)；
(3)(2a+1)2−(2a+1)(−1+2a)；
(4)(2a+b−c)2−(2a−b+c)2．
15.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对应的边．
(1)已知a=16，b=12，求c的长；
(2)已知c=13，b=12，求a的长；
16.(本小题5分)
先化简，再求值：[(3ab+2)(3ab−2)−6a2b2+4]÷(−3a2b)，其中a=12009,b=−5．
17.(本小题5分)
如图，已知线段m、n(m>n)，求作等腰三角形ABC，使底边AB的长为m，底上高的长为n(不写作法，保留作图痕迹)．
18.(本小题6分)
在括号内填写理由．
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2.求证：CD⊥AB
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB=∠ACB=90° (______)
∴DG//AC(______)
∴∠2=∠DCA(______)
∵∠1=∠2∴∠1=∠DCA (______)
∴EF//CD(______)
∴∠AEF=∠ADC(______)
∵EF⊥AB
∴∠AEF=90°
∴∠ADC=90°即CD⊥AB．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AE=BE．
(1)CE平分∠ACB吗？为什么？
(2)若△ABC的面积是S，△AEC的面积是x，则S与x之间的数量如何表示？
20.(本小题8分)
如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且(x−3)2+|y−4|=0
(1)求AD和BC的长；
(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论．
21.(本小题10分)
货车和轿车先后从甲地出发，沿高速公路前往乙地.如图表示行驶过程中，它们行驶的路程s(千米)与所用时间t(分钟)之间关系的图象.已知全程为90千米，根据图象上的信息回答问题：
(1)货车比轿车早______分钟从甲地出发；轿车到达乙地______分钟后货车才到；
(2)轿车开出______分钟后追上货车；
(3)分别求出货车和轿车的速度．
22.(本小题10分)
如图，已知等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF.求证：
(1)AE=BF；
(2)AE⊥BF．
23.(本小题12分)
如图，在长方形ABCD中，AB=CD=4，点M是边BC上一点且BM=3，点P是边AD或DC上一点．

(1)如图①，如果△ABM的周长：四边形AMCD的周长=1：2，求边AD的长；
(2)如图②，若点P与点D重合且∠AMP=90°，求AP的长；
(3)如图③，如果AD=4，△AMP为等腰三角形，求△AMP的面积．
答案解析
1.C
【解析】解：A、(a+b)2=a2+b2+2ab，
B、不是同类项不能合并，
C、(−2x3)2=(−2)2(x3)2=4x6．
D、(−1)−1=−1
故选C．
根据负整数指数幂、合并同类项、积的乘方、完全平方式等知识点进行判断．
本题主要考查了负整数指数幂、合并同类项、幂的乘方与积的乘方和完全平方式等知识点，基础题，需要同学牢固掌握．
2.C
【解析】解：左起第二个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
第一、第三、第四这三个图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.C
【解析】解：∵EG是∠FED的平分线，交AB于点G，∠QED=40°，
∴∠DEG=180°−40°2=70°，
∵AB/​/CD，
∴∠EGB=180°−70°=110°．
故选：C．
根据角平分线的定义和平行线的性质计算即可．
本题考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握和运用这些性质是解题的关键．
4.D
【解析】解：∵∠A=44°，AB=AC
∴∠B=∠C=68°
∵∠BDC=90°
∴∠DCB=22°．
故本题选D．
本可先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，进而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．
5.B
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，关键是证明△ACD≌△AED.先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，CD=DE，然后求出BD+DE=AE，进而可得△DEB的周长．
【解答】
解：∵DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∠C=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)，
∴AC=AE，CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，
BD+DE+BE=AE+BE=AB=6cm，
所以，△DEB的周长为6cm．
故选B．
6.B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= 132−52=12(米)，
∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17米．
故选B．
7.C
【解析】解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB= BC2+AC2= 62+82=10(cm)，
∵S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅DE+12AC⋅CD，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，
∴12×8×6=12×10⋅CD+12×6⋅CD，
∴CD=3(cm)，
∴BD=BC−DC=8−3=5(cm)，
故选：C．
根据勾股定理得出AB，进而利用三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AB的长解答．
8.B
【解析】解：(1)根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了20km，故原说法正确，符合题意；
(2)乙在出发0.5小时后，路程不增加，而时间在增加，故乙在途中停留了1−0.5=0.5(ℎ)，故原说法正确，符合题意；
(3)从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.6小时，故原说法错误，不符合题意；
(4)相遇后，甲直线上升得快，故甲的速度大于乙的速度，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
首先注意横纵坐标表示的意义，再观察图象可得乙出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用1.6小时到达离出发地20千米的目的地；甲比乙早到0.6小时出发，用1.5小时到达离出发地20千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．
此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
9.±12
【解析】解：∵4x2+kx+9是完全平方式，
∴4x2+kx+9=(2x±3)2=4x2±12x+9，
∴k=±12．
故答案为：±12．
两个完全平方式a2±2ab+b2，结合完全平方式的特点可得答案．
本题考查了利用完全平方公式的特点求解未知系数的值，掌握“完全平方公式的特点”是关键．
10.±12
【解析】解：由于(x+m)(x−m)=x2−m2= x2−14，
因此得：m2=14，
解得：m=±12．
故答案为：±12．
此题只需先根据平方差公式将等式左边展开，然后再跟右边对照即可得m的值．
本题考查了平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
11.4
【解析】解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．
故答案为：4
根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．
考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．
12.180
【解析】解：如右图所示，
∵∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，
∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOB+∠COD=180°．
故答案是180．
先利用∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，而∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，于是有∠AOB+∠COD=180°．
本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．
13.AH=CB(答案不唯一)
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°−∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°−∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB；
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB．
开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14.解：(1)16×2−4+(−13)0÷(−13)
=16×116+1×(−3)
=1−3
=−2；
(2)[4(x+y)2−x−y]÷(x+y)
=[4(x+y)2−(x+y)]÷(x+y)
=4(x+y)−1
=4x+4y−1；
(3)(2a+1)2−(2a+1)(−1+2a)
=4a2+4a+1−(4a2−1)
=4a2+4a+1−4a2+1
=4a+2；
(4)(2a+b−c)2−(2a−b+c)2
=[2a+b−c+(2a−b+c)][2a+b−c−(2a−b+c)]
=(2a+b−c+2a−b+c)(2a+b−c−2a+b−c)
=4a(2b−2c)
=8ab−8ac．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用整体的思想进行计算，即可解答；
(3)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
(4)利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.解：(1)∵∠C=90°，a=16，b=12．
∴c= 162+122=20；
(2))∵∠C=90°，c=13，b=12，
∴a= 132−122=5．
【解析】(1)利用勾股定理计算c边的长；
(2)利用勾股定理计算a边的长；
本题主要考查了勾股定理的应用，属于基础题．
16.解：[(3ab+2)(3ab−2)−6a2b2+4]÷(−3a2b)
=(9a2b2−4−6a2b2+4)÷(−3a2b)
=3a2b2÷(−3a2b)
=−b，
当a=12009,b=−5时，原式=−(−5)=5．
【解析】先利用平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.解：如图，△ABC即为所求．

【解析】作射线AM，在射线AM上截取线段AB，使得AB=m，作线段AB的垂直平分线DN，垂足为D，在射线DN上截取线段DC，使得CD=n，连接AC，CB即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18.垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【解析】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直的定义)
∴DG/​/AC(同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2
∴∠1=∠DCA(等量代换)
∴EF/​/CD(同位角相等，两直线平行)
∴∠AEF=∠ADC(两直线平行，同位角相等)
∵EF⊥AB
∴∠AEF=90°
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的性质与判定定理即可作出解决．
本题考查了平行线的性质定理以及判定定理，关键性质定理与判定定理二者之间的区别以及正确掌握同位角、内错角、同旁内角的定义．
19.解：(1)CE不一定平分∠ACB，理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，AE=BE，但AC与BC不一定相等，
∴CE不一定平分∠ACB；
(2)∵在△ABC中，AE=BE，
∴△AEC的面积与△BEC的面积相等，
∴S=2x．
【解析】(1)根据等腰三角形“三线合一”的性质解答即可；
(2)利用“等底等高的三角形的面积相等”的性质解答即可．
本题考查了角平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
20.解：(1)∵(x−3)2+|y−4|=0，
∴x−3=0，y−4=0，
解得：x=3，y=4，
∴AD=3，BC=4；
(2)AD/​/BC．
理由：∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE=∠EAB，∠CBE=∠EBA，
∵∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠DAE+∠EBC=90°，
∴∠EAB+∠EBA+∠DAE+∠EBC=90°+90°=180°，
∴AD/​/BC．
【解析】(1)根据绝对值和完全平方公式的性质得出x，y的值即可得出答案；
(2)根据已知得出∠EAB+∠EBA+∠DAE+∠EBC=90°+90°=180°，再由平行线的判定得出即可．
此题主要考查了平行线的判定和绝对值的性质等知识，根据已知得出∠DAE+∠EBC=90°是解题关键．
21.10 5 30
【解析】解：(1)10；5；
(2)货车：s=9060t即s=32t
轿车：设s=at+b由题意图象经过(10,0)(55,90)
所以10a+b=055a+b=90解得a=2b=−20
所以s=2t−20
32t=2t−20
解得t=40
40−10=30；
(3)货车速度：9060=1.5(千米/分钟)；轿车速度：9045=2(千米/分钟)．
由图象信息可知，货车出发后十分钟轿车出发，而又比货车先到达．需特别注意图中信息以货车计时，而此题是求轿车开出的时间．
看清图象信息，注意细节之处，如(2)中是求轿车开出的时间，学生容易出错．
22.证明：(1)在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°−∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO(SAS)，
∴AE=BF；
(2)延长AE交BF于D，交OB于C，
则∠BCD=∠ACO，
由(1)知：∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，
∴AE⊥BF．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质的有关知识．
(1)可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；
(2)由(1)知：∠OAC=∠OBF，得到∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF．
23.解：(1)设CM=x，
∵∠B=90°，AB=4，BM=3，
由勾股定理得AM=5，
∴△ABM的周长=AB+BM+AM=12，四边形AMCD的周长=x+3+4+5+x=2x+12，
由题意得，12：(2x+12)=1：2，
解得，x=6，即CM=6，
∴AD=9；
(2)设CM=x，
在Rt△CMP中，DM2=CM2+CD2=x2+42，
在RT△AMP中，DM2=AD2−AM2=(x+3)2−52，
∴x2+42=(x+3)2−52，
解得，x=163，
∴AP=3+163=253；
(3)如图3，当AM=AP时，

AP=5，AD=4，
由勾股定理得：DP=3，
则MC=PC=1，
△AMP的面积=4×4−12×3×4−12×3×4−12×1×1=3.5；
如图4，当PA=PM时，

设DP=y，则CP=4−y，
则42+y2=12+(4−y)2，
解得，y=18，即DP=18，
△AMP的面积=4×4−12×3×4−12×18×4−12×1×318=12516；
综上所述：△AMP 的面积为3.5或12516．
【解析】(1)设CM=x，用x分别表示出△ABM的周长和四边形AMCD的周长，根据题意列出方程，解方程即可；
(2)根据勾股定理列出方程，解方程求出AP；
(3)分AM=AP、PA=PM两种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理解答．
本题考查的是矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的性质、三角形的面积公式、灵活运用勾股定理是解题的关键．