2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列不能确定△ABC为直角三角形的是( )
A. a2+b2=c2B. a：b：c=1：2：3
C. ∠A+∠B=∠CD. (a+b)(a−b)=c2
2.下列各式正确的是( )
A. 9=±3B. (−3)2=−3C. 34=2D. ± 25=±5
3.在下列各数0.21⋅， 16， 5，−π，3.14，227，0.030030003…(相邻两个3之间依次增加一个0)中，是无理数的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.如果点P(a,b)在第二象限，那么点M(a−b,ab)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.下列命题中，逆命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等B. 若a=b，那么a2=b2
C. 对顶角相等D. 若a=b，那么|a|=|b|
6.如图，∠BAD=13∠BAC，∠BCD=13∠BCA且∠B=75°，则∠ADC的度数是( )
A. 110°
B. 70°
C. 127.5°
D. 100°
7.若关于x，y的二元一次方程组4x+2y=5k−42x+4y=−1的解满足x−y=1，则k的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
8.某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2=41.后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变
9.小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路.在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h.他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟.设小明从家到学校的平路有x km，上坡路有y km，则依题意所列的方程组是( )
A. x12+y10=4060x12+y15=3060B. x12+y15=4060x12+y10=3060
C. x15+y12=4060x10+y12=3060D. x10+y12=4060x15+y12=3060
10.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=4时，点R应运动到( )
A. M处B. N处C. P处D. Q处
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：2 3______3 2.(填“>、<、或=”)
12.如图，已知函数y=x+3和y=ax+7的图象交于点P，点P的横坐标为2，则关于x，y的方程组x−y=−3ax−y=−7的解是______．
13.数轴上A，B两点之间的距离是 3−1，点A在数轴上表示的数为 3+1，则点B在数轴上表示的数为______．
14.如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑4m，那么梯足将滑动______m.
15.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=6 2，AC=8，BC>6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF=CE，则AE+BF的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)2 18−2 12+ 2；
(2)( 3−2)2− 18− 8 2．
17.(本小题8分)
解下列方程组：
(1)y−2x=03x+y=15；
(2)x+y3−x−y2=12x+3y=14．
18.(本小题8分)
如图，已知∠1=∠2，∠A=∠D.求证：AE/​/DF．
19.(本小题8分)
某地受灾后，学校学生会向全校2000名学生发起了捐款倡议活动，全体学生都参与了捐款，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图②中m的值是______；
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数和中位数；
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于15元的学生人数．
20.(本小题8分)
某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司采购A，B两种型号的机器人各若干台，费用恰好是40万元，求该公司共有几种采购方案？A，B两种机器人分别采购了多少台？
21.(本小题8分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)BC= ______，AB边上的高h= ______；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
22.(本小题8分)
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“K型全等”.(不需要证明)
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
(1)直接写出OA= ______，OB= ______；
(2)在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，则点E的坐标为______；
(3)如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
【拓展应用】如图4，直线AB：y=2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线AB上，且点C坐标为(−3,2)，点E坐标为(0,−2)，连接CE，点P为直线AB上一点，满足∠CEP=45°，请直接写出点P的坐标：______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为a2+b2=c2，
所以能判断△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
因为a：b：c=1：2：3，
设a=k，b=2k，c=3k，
则a2+b2=5k2≠9k2=c2
所以不能判断△ABC为直角三角形，
故B符合题意；
因为∠A+∠B=∠C，
所以∠C=90°
所以能判断△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
因为(a+b)(a−b)=c2，
所以a2=b2+c2
所以能判断△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义计算判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的定义即有一个角是直角的三角形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、 9=3，故原式错误，不符合题意；
B、 (−3)2=3，故原式错误，不符合题意；
C、34≠2，故原式错误，不符合题意；
D、± 25=±5，该选项正确．
故选：D．
根据平方根的意义，立方根的意义即可求出答案．
本题考查平方根的意义，立方根的意义，解题的关键是正确理解平方根的意义，立方根的意义，本题属于基础题型．
3.【答案】C
【解析】解：无理数有： 5，−π，0.030030003…(相邻两个3之间依次增加一个0)共3个．
故选：C．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．
4.【答案】C
【解析】解：∵P(a,b)在第二象限，
∴a<0，b>0，
∴a−b<0，ab<0，
∴点M(a−b,ab)在第三象限，
故选：C．
根据点(a,b)在第二象限，可得a、b的符号，进而可得a−b，ab的符号，据此可判断其所在的象限．
此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
5.【答案】A
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若a=b，那么a2=b2的逆命题是若a2=b2，那么a=b，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若a=b，那么|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，那么a=b，是假命题，不符合题意；
故选：A．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠B=75°，
∴∠BAC+∠BCA=180°−∠B=180°−75°=105°，
∵∠BAD=13∠BAC，∠BCD=13∠BCA，
∴∠DAC=23∠BAC，∠DCA=23∠BCA，
∴∠DAC+∠DCA=23∠BAC+23∠BCA=23(∠BAC+∠BCA)=23×105°=70°．
在△ACD中，∠DAC+∠DCA=70°，
∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠DCA)=180°−70°=110°．
故选：A．
在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC+∠BCA的度数，结合各角间的关系，可求出∠DAC+∠DCA的度数，再在△ACD中，利用三角形内角和定理，即可求出∠ADC的度数．
本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：4x+2y=5k−4①2x+4y=−1②，
①−②得：2x−2y=5k−3，即2(x−y)=5k−3，
∵x−y=1，
∴5k−3=2
∴k=1．
故选：B．
利用方程①减去方程②，得到2(x−y)=5k−3，再利用整体代入法求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】
解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为x12小时，上坡路所需的时间为y10，下坡路所需的时间为y15，
则上学共需时间为(x12+y10)小时，放学回家共需的时间为(x12+y15)小时，
40分钟=4060小时，30分钟=3060小时，
可列出方程组为x12+y10=4060x12+y15=3060．
故选：A．
根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解上坡路与下坡路的距离相等．
10.【答案】C
【解析】解：点R在NP上时，三角形面积增加，点R在点P时，三角形的面积最大，
故选：C．
根据三角形的面积变化情况，可得R在PQ上时，三角形面积不变，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用三角型面积的变化确定R的位置是解题关键．
11.【答案】<
【解析】解：∵(2 3)2=12，(3 2)2=18，
而12<18，
∴2 3<3 2．
故答案为：<．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
12.【答案】x=2y=5
【解析】解：把x=2代入y=x+3，得出y=5，
函数y=x+3和y=ax+7的图象交于点P(2,5)，
即x=2，y=5同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组x−y=−3ax−y=−7的解是x=2y=5．
故答案为：x=2y=5．
由一次函数解析式求得交点P的坐标为(2,5)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13.【答案】2 3或2
【解析】解：∵A，B两点之间的距离是 3−1，点A在数轴上表示的数为 3+1，
∴ 3+1+ 3−1=2 3，或 3+1−( 3−1)=2，
∴点B在数轴上表示的数为2 3或2，
故答案为：2 3或2．
分点B在点A的两侧，分别列式计算即可．
本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解题的关键是注意分情况讨论．
14.【答案】8
【解析】解：梯子顶端距离墙角地距离为 252−72=24m，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为 252−(24−4)2=15m，
15−7=8(m)．
故答案为：8．
利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15.【答案】2 58
【解析】解：过A点作AG/​/BC，截取AG=AC，连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC=∠BRA=90°，
∴∠GAF=∠ACE，
在△AFG和△CEA中，
AG=AC∠GAF=∠ACEAF=CE，
∴△AFG≌△CEA(SAS)，
∴GF=AE，
∴AE+BF的最小值，即为BG的长，
∵∠ABC=45°，
∴∠RAB=∠EBA=45°，
∵AB=6 2，
∴BR=AR=6，
∵AC=8，
∴AG=AC=8，
∴RG=AR+AG=6+8=14，
∴BG= BR2+RG2= 62+142=2 58，
即AE+BF的最小值为2 58．
过A点作AG/​/BC，截取AG=AC，连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC=∠BRA=90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的综合运用，判断AE+BF的最小值即为BG的长是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=6 2− 2+ 2
=6 2；
(2)原式=3−4 3+4−( 182− 82)
=7−4 3−3+2
=6−4 3．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】解：(1)y−2x=0①3x+y=15②，
由①得y=2x ③，
把③代入②得：5x=15，
解得：x=3
把x=3代入①得：y=6，
∴x=3y=6；
(2)x+y3−x−y2=12x+3y=14，
整理得：x−5y=−6①2x+3y=14②
由①得x=5y−6 ③，
把③代入②得2(5y−6)+3y=14，
解得：y=2，
把y=2代入①得：x=4，
∴x=4y=2．
【解析】(1)利用代入消元法解二元一次方程即可；
(2)利用代入消元法解二元一次方程即可．
本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴CD/​/AB，
∴∠D+∠ABD=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠ABD=180°，
∴AE/​/DF．
【解析】先根据∠1=∠2得出CD/​/AB，故可得出∠D+∠ABD=180°，再由∠A=∠D可知∠A+∠ABD=180°，据此可得出结论．
本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
19.【答案】50 32
【解析】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生有4÷8%=50(人)，16÷50=32%，所以图②中m的值是32，
故答案为：50，32；
(2)本次调查捐款30元的有8人，
所以本次调查获取的样本数据的平均数为：4×5+16×10+12×15+10×20+30×850=16(元)；
本次调查获取的样本数据的中位数为：15+152=15元；
(3)12+10+850×2000=1200，
答：估计该校本次活动捐款金额不少于15元的学生有1200人．
(1)用捐款5元的人数除以其所占的百分比即可求出本次抽样调查的学生人数，然后用捐款10元的人数除以总人数即可求出m的值；
(2)先求出本次调查捐款30元的人数，再根据平均数和中位数的定义求解即可；
(3)用本次活动捐款金额不少于15元的学生人数除以调查的人数再乘以总人数计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数和利用样本估计总体等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得：x−y=253x+2y=450，
解得：x=100y=75，
答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
(2)设：A种机器人采购m台，B种机器人采购n台，根据题意得：
3m+2.5n=40(m、n为正整数)，
当m=5，n=10时，总费用为40万，
当m=10，n=4时，总费用为40万．
答：该公司有两个购买方案，A种机器人采购5台，B种机器人采购10台或者A种机器人采购10台，B种机器人采购4台．
【解析】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨”列方程组解答即可；
(2)设：A种机器人采购m台，B种机器人采购n台，根据m、n为正整数解方程即可，
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，并列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决
21.【答案】4 125
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= AB2−AC2= 52−32=4，
∵S△ABC=12AB⋅h=12AC⋅BC，
∴h=AC⋅BCAB=3×45=125，
故答案为：4，125；
(2)由题意得：BP=t，
在Rt△ABP中，∠B为锐角，
当∠APB=90°时，BP=BC，
∴t=4；
当∠BAP=90°时，如图，
则CP=t−4，
在Rt△APC中，AP2=AC2+CP2=32+(t−4)2，
在Rt△APC中，AP2+AB2=BP2，
∴32+(t−4)2+52=t2，
解得：t=254；
综上所述，t的值为4或254．
(1)由勾股定理可得BC=4，再利用面积法即可求得AB边上的高h；
(2)由于∠B为锐角，分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
22.【答案】4 2 (−4,6) (2,12)或(−143,−43)
【解析】解：(1)对于y=2x+4，
令x=0，则y=4；令y=0，则x=−2；
∴A(0,4)，B(−2,0)，
∴OA=4，OB=2；
故答案为：4，2；
(2)过点C作EF⊥y轴交于点F，
∵∠BAE=90°，
∴由K型全等模型可得△EAF≌△ABO，
∴EF=OA=4，AF=OB=2，则OF=4+2=6，
∴点E的坐标为(−4,6)；
故答案为：(−4,6)；
(3)过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB=45°，
∴BC=AB，由K型全等模型可得△BCD≌△ABO，
∵y=2x+4与x轴的交点B(−2,0)，A(0,4)，
∴CD=2，BD=4，
∴C(−6,2)，
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∴−6k+b=2b=4，
解得k=13b=4，
∴y=13x+4；
【拓展应用】解：点P的坐标：(2,12)或(−143,−43)，
①如图，当点P在射线CB上时，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，
∵∠CEF=45°，
∴CE=CF，
过C作x轴垂线l，分别过F，E作FM⊥l，EN⊥l，
∴∠FMC=∠CNE=90°，∠MCF+∠MFC=90°，
∵CF⊥CE，
∴∠MCF+∠NCE=90°，
∴∠MFC=∠NCE，
∴△FMC≌△CNE(AAS)，
∴FM=CN=4，CM=EN=3，
即F点坐标为(1,5)，
设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴b=−25=k+b，
∴k=7b=−2，
∴直线EF的解析式为y=7x−2，
联立y=7x−2y=2x+8，
解得x=2y=12，
∴P(2,12)；
②当点P在射线CA上时，过点C作CH⊥CE交直线EP于点H，过点H作HK⊥y轴交于K，过点H作GH⊥x轴，过点C作CG⊥GH交于G，
∵∠CHK=90°，
∴∠CHG+∠KHE=90°，
∵∠CHG+∠HCG=90°，
∴∠KHE=∠HCG，
∵∠DEP=45°，
∴DH=HE，
∴△CHG≌△EHK(AAS)，
∴CG=KE，GH=HK，
∵E(0,−2)，C(−3,2)，
∴GH=4−EK=4−CG=3+CG，
∴CG=0.5，
∴H(−3.5,−1.5)，
设直线HE的解析式为y=k′x+b′，将点H、E坐标代入得：
b′=−2−1.5=−3.5k′+b′，
解得：k′=−17b=−2，
∴y=−17x−2，
联立方程组y=2x+8y=−17x−2，
解得：x=−143y=−43，
∴P(−143,−43)，
综合上所述，点P坐标为(2,12)或(−143,−43)．
故答案为：(2,12)或(−143,−43)．
(1)求得A(0,4)，B(−2,0)，即可求解；
(2)过点C作EF⊥y轴交于点F，证明△EAF≌△ABO，据此即可求解；
(3)过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，证明△BCD≌△ABO，求得C(−6,2)，利用待定系数法即可求解；
拓展应用：分当点P在射线CB上和点P在射线CA上时，两种情况讨论，利用“k型全等”和待定系数法即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键．