高中数学人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试 （含解析）

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 人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试  一 、单选题（本大题共10小题，共50分）1.（5分）不等式的解集是A.  B.  C.  D. 2.（5分）若， 则下列不等式成立的是A.  B.
C.  D. 3.（5分）已知，则下列不等式中总成立的是A.  B.
C.  D. 4.（5分）与的大小关系是A.  B.  C.  D. 不能确定5.（5分）如果，那么下列不等式成立的是   A.  B.
C.  D. 6.（5分）已知是二次函数，不等式的解集是，则的解集是A.  B.  C.  D. 7.（5分）做一个面积为，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理够用，且浪费最少的是A.  B.  C.  D. 8.（5分）若，有下列四个不等式： 
； 
； 
； 
． 
则下列组合中全部正确的为A.  B.  C.  D. 9.（5分）已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，，终边上分别有点，，且，则的最小值为A.  B.  C.  D. 10.（5分）对于实数、，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相同的实根、、，则取值范围为A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共4小题，共20分）11.（5分）某地有一座堰塘，设计最大容量为根据预测，汛期时堰塘的进水量单位：与天数的关系式是堰塘原有水量为，水闸泄水量每天当汛期来临第一天，堰塘就开始泄洪，若堤坝被淹就可能发生危险，则第天堤坝可能会发生危险.A.  B.  C.  D. 12.（5分）设，为正实数，现有下列命题中的真命题有A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则13.（5分）若关于的不等式在区间内有解，则下列区间中符合题意的实数的取值有A.  B.
C.  D. 14.（5分）若，则A.  B.  C.  D. 三 、填空题（本大题共4小题，共20分）15.（5分）有个座位连成一排，甲、乙、丙、丁人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有          种不同的坐法. 
 16.（5分）已知正实数，满足，则的最小值为__________.17.（5分）已知，则的最小值为 ______18.（5分）对任意，都有，则实数的取值范围是______．四 、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）某校园内有一块长为，宽为的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉花卉带的宽度相同，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．20.（12分）已知关于的不等式 
若此不等式的解集为，求实数的值； 
若，解这个关于的不等式的解集； 
，不等式恒成立，求实数的取值范围．21.（12分）在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为，且 
求椭圆的标准方程 
若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为， 
求证：为定值： 
求面积的最大值.22.（12分）比较与的大小．  
已知求证：当且仅当时等号成立．23.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为 
求椭圆的方程 
过椭圆的左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，求24.（12分） 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. 
 判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围：己知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
答案和解析1.【答案】A;【解析】 
不等式可化为，求出解集即可． 
该题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 
 
解：不等式可化为， 
解得， 
所以不等式的解集是． 
故选：．
 2.【答案】B;【解析】 
此题主要考查不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题． 
根据，取，，即可排除错误选项． 
解：根据，取，， 
则可排除 
故答案为：
 3.【答案】A;【解析】 
该题考查了不等式的性质，属于基础题． 
由，可得．利用不等式的性质即可得出． 
 
解：，． 
． 
故选：． 

 4.【答案】C;【解析】解： 
 
， 
 
故选： 
利用作差法，即可判定两个代数式的大小． 
此题主要考查了利用作差法比较两个代数式的大小问题，基本步骤是作差、判正负、得结论，是基础题．
 5.【答案】D;【解析】 
该题考查不等式基本性质的综合应用，属于基础题． 
结合已知中，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论． 
 
解：， 
， 
，即，故A错误； 
，故B错误； 
当时，，故C错误； 
，故D正确； 
故选：．
 6.【答案】C;【解析】解：由题设可得：不等式的解集为，  
不等式可化为，  
解得：，  
故选：． 
先由题设求得不等式的解集，再求得不等式的解集即可． 
这道题主要考查一元二次不等式及指数不等式的解法，属于基础题．
 7.【答案】C;【解析】解：设一条直角边为，则另一条直角边是，斜边长为，  
故周长，  
当且仅当时等号成立，  
故最合理够用，且浪费最少是，  
故选C． 
由题意设一条直角边为，则另一条直角边是，建立起周长的函数关系，根据其形式和特点用基本不等式即可求出周长的最小值．  
考查材料最省的问题，此类题一般是根据题意是建立起函数关系式，再用单调性或者用基本不等式求出最小值．用基本不等式求最值时要注意等号成立的条件是否具备，属于基础题．
 8.【答案】B;【解析】解：根据，不妨取，， 
则不成立，故ACD不正确． 
故选：． 
根据，不妨取，，则可排除错误选项，从而得解． 
该题考查了不等式的基本性质，取特殊值是解答该题的关键，属基础题．
 9.【答案】C;【解析】解：由已知可得，， 
， 
， 
，即， 
，当且仅当，即时取等号， 
故选：． 
由题意可得，即，则，利用基本不等式即可求出 
该题考查了基本不等式的应用和三角函数的性质，考查了计算能力和推理论证能力，属于基础题
 10.【答案】D;【解析】解：，  
，  
其图象如下图所示：  
 
由图可得：，，  
故，，  
，  
故选：． 
根据定义求出解析式，画出图象，判断即可．  
本题考察了函数的图象，在求解零点问题中的应用．属于中档题．
 11.【答案】CD;【解析】根据题意可得：，化简可得， 
两边同时平方，可得，即， 
，，又因为，所以在第天及以后就会有危险，故选 

 12.【答案】AD;【解析】解：若，则，即，，，即，A正确； 
若，可取，，则，B错误； 
若，则可取，，而，C错误； 
由， 
若，则，即，，，即 
若，则，即，，，即 
，D正确． 
故选：． 
将，分解变形为，即可证明，即；可通过举反例的方法证明其错误性；若，去掉绝对值，将分解变形为，即可证明，同理当时也可证明，从而命题D正确． 
这道题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题．
 13.【答案】CD;【解析】【解析】 
不等式在区间内有解等价于， 
令， 
所以，所以 

 14.【答案】AD;【解析】解：对于，因为，所以，故正确； 
对于，取，，满足，则，故错误； 
对于，因为，所以，而，所以，故错误； 
对于，因为， 
因为，所以，， 
所以，即有为，故正确． 
故选： 
由重要不等式判断； 
举例法判断； 
由正负关系判断； 
作差法判断 
此题主要考查了重要不等式、不等式的性质及作差法比较两个数的大小，属于基础题．
 15.【答案】480;【解析】解：解析第一步，考虑甲乙丙的位置关系，丙只能在最前或后，甲乙顺序随意，有种情况第二步，考虑将丁放入甲乙丙产生的个空位中，有种情况第三步，将个空位插入甲乙丙丁产生的个空位中，个空位分成个空位，个连空位，先选一个位置放连空位，有种情况，再选个空位放空位，有种情况，故有种情况因此，总计有种情况，故答案为 
解析先将甲乙丙丁四人排好顺序，再将剩下的四个空位插入这四人之间第一步，先排甲乙丙，有种方法，再让丁插空，有种方法，所以有种方法第二步，把四个空位看成个相同的元素，用隔板法将其分为三组，每一组至少有一个球，有种方法，即按从左到右的顺序分成、、的三组将每一组插入到四人排列形成的个空中，都有种方法，所以第二步共有种方法 
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的坐法.
 16.【答案】;【解析】 
此题主要考查基本不等式求最值，属于基础题. 
运用“”的代换以及基本不等式，即可得到所求的最小值.解：由，且，得 
，当且仅当，即时，取等号，此时则的最小值为 
故答案为 
 

 17.【答案】6;【解析】解：根据基本不等式的性质，  
有，  
又由，则，  
故答案为． 
根据基本不等式的性质，有，结合题意，，代入可得答案．  
该题考查基本不等式的性质，注意结合幂的运算性质进行计算．
 18.【答案】;【解析】解：由于对任意，都有，即函数的图象在轴上方，与无交点；即； 
； 
故答案为：． 
利用一元二次不等式的图象即可求解． 
该题考查了一元二次不等式的应用，考查了学生的分析能力，计算能力；属于基础题．
 19.【答案】解：设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m.根据题意可得，整理得-700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.;【解析】此题主要考查了不等关系和一元二次不等式的解法.利用不等关系建立不等式，再利用一元二次不等式的解法计算得结论.
 20.【答案】解：（1）不等式a+（a-1）x-1＞0可化为（ax-1）（x+1）＞0， 
因为不等式的解集为， 
可得-1，-为方程（ax-1）（x+1）=0（a＜0）的两根， 
可得=-，解得a=-2． 
（2）当a=0时，原不等式即为x+1＜0，解得x＜-1，解集为{x|x＜-1}； 
当a＞0时，原不等式化为（x-）（x+1）＞0，解集为{x|x＞或x＜-1}； 
当a＜0时，原不等式化为（x-）（x+1）＜0， 
①若a=-1，可得（x+1）2＜0，解集为∅； 
②若a＜-1，＞-1，可得解集为{x|-1＜x＜}； 
③若-1＜a＜0，＜-1，可得解集为{x|＜x＜-1}． 
（3）∀x∈[1，3]，不等式（ax-1）（x+1）＞（2a+1）x-a恒成立， 
等价为a（-x+1）＞2x+1在x∈[1，3]恒成立， 
由于-x+1=（x-）2+＞0恒成立， 
可得a＞=在x∈[1，3]恒成立， 
令t=x+∈[，]，则==， 
由f（t）=t+-2，t∈[，]，由对勾函数可知拐点t=∉[，]， 
所以当t∈[，]时，f（t）单调递增， 
所以当t=时，f（t）取得最小值为f（）=， 
此时取得最大值为3， 
所以a＞3． 
即a的取值范围是（3，+∞）．;【解析】 
由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； 
讨论，，，又分，，时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集； 
由题意可得在恒成立，令，则，由，，结合对勾函数的单调性可得的最小值，从而可得的最大值，即可求得的范围． 
此题主要考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
 21.【答案】解：因为，所以，又，所以， 
所以，，所以椭圆的标准方程为 
当的斜率为时，显然， 
当的斜率不为时，设， 
由得， 
设，，故有，， 
所以 
因为，所以 
综上所述，恒有为定值. 
， 
即， 
当且仅当，即时取等号此时适合， 
所以面积的最大值为 
;【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，涉及利用基本不等式求最值．属于较难题． 
由椭圆长轴长为知，由，得，由此能求出椭圆的标准方程； 
①的斜率不为时，设，由设，运用韦达定理及斜率公式化简即可． 
②，运用基本不等式即可.
 22.【答案】解：（1）∵+-[2（2a-b）-5]=（a-2）2+（b+1）2≥0，  
∴+≥2（2a-b）-5，；  
（2）解：设y=÷=（，  
当a＞b时，＞1，＞0，据指数函数的性质可知y＞1，即≥．  
当a＜b时，0＜＜1，＜0，根据指数函数的性质可知y＞1，即≥．  
综上所述：当且仅当a=b时等号成立．;【解析】 
利用“作差法”和配方法即可得出；利用相除法，再根据指数函数的性质即可比较．  
这道题主要考查了等式的大小比较，需要分类讨论，属于基础题．
 23.【答案】解：由题意：，即，短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为， 
即，而， 
所以，，所以椭圆的方程：；由，左焦点，直线的方程：， 
设，， 
联立直线与椭圆的方程，消去整理得： 
所以，， 
;【解析】此题主要考查直线与椭圆的交点弦长，椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系． 
由题意得离心率及长半轴长及，，之间的关系，求出椭圆的方程； 
由题意写出直线的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．
 24.【答案】解：对于函数的定义域内存在，则， 
 无解故不是“依赖函数”；   
因为在递增， 
故，即， 
由，故，得， 
从而在上单调递增， 
故， 
 ①若，故在上最小值，此时不存在，舍去； 
②若故在上单调递减，从而，解得 舍或 . 
从而，存在，使得对任意的， 
有不等式都成立， 
即恒成立， 
由， 
得，由，可得， 
又在单调递减，故当时， ， 
分从而，解得， 
综上，故实数的最大值为 
;【解析】此题主要考查与函数有关的新定义，属于难题. 
由题意可得 ，无解，故不是“依赖函数”； 
由题意可得，即，进而可得在上单调递增，可得； 
由分类讨论和二次函数的最值，综合可得．