中职高教版（2021）1.1 充分条件和必要条件优秀一课一练

专题01 充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．

如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

注意：

1.定义法判断充分条件的步骤：

(1)分清“条件p”与“结论q”.

(2)判断条件p能否推出结论q.

(3)下结论：若“条件p⇒结论q”，则p是q的充分条件；若“条件p⇏结论q”，则p不是q的充分条件.

2.集合法判断充分条件

已知A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}.若A⊆B，则p是q的充分条件.

3.定义法判断必要条件的步骤：

(1)分清“条件p”与“结论q”.

(2)判断条件q能否推出结论p.

(3)下结论：若“结论q⇒条件p”，则p是q的必要条件；若“结论q⇏条件p”，则p不是q的必要条件.

4.集合法判断充分条件

【题型1 命题的概念】

【题型2 真假命题】

【题型3 充分和必要条件】

【题型1 命题的概念】

知识点：能够判断真假的陈述句

例1.下列语句是命题的是（    ）

A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树

C．求证： D．3比5大

【题型训练1】

1．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）．

（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．

A．3 B．4 C．5 D．6

【题型2 真假命题】

知识点：命题的题设成立，并且结论一定也成立的命题叫做真命题；

命题的题设成立，并且结论一定不成立的命题叫做假命题；

例2.下列语句中，为真命题的是（    ）

A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补

C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角

【题型训练2】

1．下列命题是真命题的是（    ）

A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等

B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形

C．存在一个实数，使得

D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0

2．下列命题中所有真命题的序号是         

①“”是“”的充分条件；

②“”是“”的必要条件；

③“”是“”的必要条件．

【题型3 充分条件和必要条件】

知识点：（1）一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）几点说明

①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是充分的；给定条件p，由p可以推出的结论q是必要的．

②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“”，即“若p，则q”是否为真命题．

例3．“”是“”的（　　）条件

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【题型训练3】

1．设，则使成立的一个充分条件是（    ）

A．  B．

C． D．

2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（　　）

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件又是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

3．“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

4．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　

A． B． C． D．

5．下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有      

（1）若是无理数，则是无理数．

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．

（3）若，则.

（4）若和都是偶数，则是偶数．

6．如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则

（1）若是的充分不必要条件，则       ；

（2）若是的必要不充分条件，则       ；

（3）若是的充分必要条件，则       ；

（4）若是的既不充分又不必要条件，则       .

7．若，则“”是“”的          条件．（从“充分不必要”､“必要不充分”“充要”､“既不充分又不必要”中选填）

8．设p：或；q：或，则是的        条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

9．指出下列各组命题中，是的什么条件？是的什么条件？

(1)若，，；

(2)或；；

(3)：能被整除，：能被整除．

10．下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？

（1）p：x＝2，q：|x|＝2；

（2）p：x∈R，q：x∈Z；

（3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；

（4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．