中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册3.2 双曲线精品课堂检测

专题07 双曲线

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3、说明

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

双曲线的标准方程

两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.

【题型1 双曲线的定义】

【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】

【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】

【题型1 双曲线的定义】

一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

【典例1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ）

A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线

【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】

【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为          ．

【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】

【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支

【题型4 判断方程是否表示双曲线】

【典例1】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ）

A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线

C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线

【题型5 根据方程表示双曲线求参数】

【典例1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【题型6 求双曲线方程】

【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【题型7 等轴双曲线】

（，）当时称双曲线为等轴双曲线

①；   ②离心率；      ③两渐近线互相垂直，分别为；

④等轴双曲线的方程，；

【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为        

1、代数法：设直线，双曲线联立解得：

（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；

（2）时，

存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若，

时，，直线与双曲线相交于两点；

时，，直线与双曲线相离，没有交点；

时，直线与双曲线有一个交点；相切

不存在，时，直线与双曲线没有交点；

  直线与双曲线相交于两点；

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为      ．

1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.

【典例1】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为      ．

【题型10 双曲线与渐近线的关系】

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：   

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

【典例1】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

1.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ）

A．5 B．6 C．9 D．11

2.（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3.（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4.（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（    ）

A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线

C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点

5.（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（    ）

A．实轴长为1 B．虚轴长为2

C．离心率 D．渐近线方程为

6.（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

7.（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

8.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ）

A．1或9 B．3或7 C．9 D．7

9.（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

10.（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

1.（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为      ．

2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为          .

3.（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为      ．

4.（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数            ．

5.（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为      ．

三、解答题

1.（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；

(2)经过点和．

2.（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题：

（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；

（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．