人教版五年级数学上册【课本】5年级第18讲_直线形计算中的比例关系

第十八讲 直线形计算中的比例关系

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在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系，下面我们复习一下其中的基本结论．

当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．

如图所示，对于三角形ABD与三角形BDC，它们有共同的高BH，可知．

例题1．如图，AE:EB=3:2，CD:DB=7:5，三角形ABC的面积是60，求三角形AED的面积．

「分析」图中是否有等高的三角形？




 

练习1．如图，，三角形ABC面积为120，求三角形AED的面积．

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在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”．把“飞镖”立起来（如图），标好字母，会发现两个三角形：三角形ADE与三角形ABC．这两个三角形有一个公共的角A，并且角A的两边AD、AE分别在AB、AC上．对于符合这种情况的三角形ADE与三角形ABC，我们称之为“共角三角形”．

对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：在“小黎飞镖”中，有．（同学们，可以想一想如何来证明这个结论．提示：连结四边形BDEC的一条对角线）

例如：如果在“小黎飞镖”中，D点是AB上靠近B的3等分点，E点是AC上靠近A的3等分点，那么，，那么三角形ADE的面积就是三角形ABC面积的．

有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了．请看下面的问题．

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例题2．如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是多少？

「分析」△ADE占△ABC的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算？




 

练习2．三角形ABC中，BD的长度是AB的，AE的长度是AC的．三角形AED的面积是8，那么三角形ABC的面积是多少？

例题3．如图，已知长方形ADEF的面积是16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少？




 

「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？

练习3．如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE的面积是多少？

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接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系．如图，对于一个任意的四边形ABCD，连结对角线AC和BD，将整个四边形分成4个小三角形，由等高三角形的基本结论，我们可以得到如下关系：

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例题4．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成4个部分．三角形BOC的面积是2平方千米，三角形COD的面积是3平方千米，三角形AOB的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？

「分析」△BOC、△COD和△AOB的面积都知道了，那么△AOC的面积是多少呢？




 

练习4．四边形ABCD中，AC、BD两条对角线交于O点，三角形ABO的面积为6，三角形AOD的面积为8，三角形BOC的面积是15，那么四边形ABCD的面积是多少？

例题5．如图，△ABC的面积是36，并且，，，试求△DEF的面积．





 

「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢？

例题6．图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果△ABD的面积是30平方厘米，△ABC的面积是48平方厘米，△BCD的面积是50平方厘米．请问：△BOC的面积是多少？

「分析」题目中给出了3个大三角形的面积，能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？

三角形中的五心

重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；

垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；

外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；

内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心．

1. 如图，△ABC中，BD的长度是AB的，如果△ABC的面积为15，那么△ADC的面积是多少？
    

2. 如图，，，三角形ABC的面积是84，三角形AED的面积是多少？

3. 如图，，，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？
    

4. 如图所示，在长方形ABCD中，，，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影部分的面积是多少？

5. 如图，四边形ABCD中，AC、BD两条对角线交于O点，△ADO的面积为30，△ABO的面积为6，△DOC的面积是20，那么四边形ABCD的面积是多少？