【教培专用】五年级上册秋季数学奥数培优讲义-第05讲 直线形计算中的比例关系 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、直线形计算中的比例关系（五上）

一、 等高模型

1、如图，，三角形ABC的面积是80平方厘米，求三角形ACD的面积．

【答案】
30

【解析】
CD切分△ABC成两个等高三角形，则，所以三角形ACD的面积为平方厘米．

2、如图，，，三角形ABC的面积是60平方厘米，求三角形AED的面积为多少平方厘米．

【答案】
15

【解析】
AD切分△ACB成两个等高三角形，然后DE再切分△ADB为等高三角形．，所以三角形ADB面积为平方厘米．，所以三角形AED面积为平方厘米．

3、如图，，，三角形ABC的面积是170平方厘米，求三角形CED的面积为多少平方厘米．

【答案】
40

【解析】
CD切分△ACB成两个等高三角形，然后DE再切分△BCD为等高三角形．，所以三角形BCD面积为平方厘米．，所以三角形CED面积为平方厘米．

4、如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？

【答案】
11平方厘米

【解析】
连接AC．由于E是AB的中点，则△BCE的面积就是△ABC面积的一半．在梯形ABCD中，平方厘米．

而△ABC与△DBC同底等高．所以它的面积也是22平方厘米．

于是△BCE的面积为平方厘米．

5、如图，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．

【答案】
100厘米

【解析】
△ABC的面积是ABD的4倍，它们有相同的高，所以它们的底边AC与AD也是4倍关系．
于是厘米，所以厘米．△DBC的面积是△DBE的3倍．从而厘米，厘米．由△DEF和△EFC面积相等，得到厘米．所以厘米．

6、（2011走美杯六年级初赛）如图，一个边长为120cm的等边三角形被分成了面积相等的五等份，那么，__________cm．

【答案】
45

【解析】
因为，所以，．因为，所以．

7、如图，（1）若，，求；

（2）若，，求；

（3）若，，求．

【答案】
（1）9（2）14（3）21

【解析】
（1）△BOD和△AOB等高，所以它们的面积比是，所以△AOB的面积是．

（2）△BOC和△COE等高，所以它们的面积比是，所以△BOC的面积是．

（3）△COD和△AOC等高，所以它们的面积比是，所以△AOC的面积是．

8、如图，长方形ABCD中，，．E是CD延长线上的一点，BE与AD相交于F．已知△AEF的面积是10，求△CEF的面积．

【答案】
15

【解析】
长方形ABCD的面积是．根据一半模型，△ABF与△CDF的面积和是长方形ABCD面积的一半，即30．△ABF的面积是，所以△ABF的面积是20，△CDF的面积是10．△ABF与△CDF等高，AF与DF的边长比等于面积比，．△AEF与△DEF等高，它们的面积比等于，所以△DEF的面积是．所以△CEF的面积．

9、如图，，平方厘米， 平方厘米，求为多少平方厘米．

【答案】
150

【解析】
平方厘米，CD切分△ACB成两个等高三角形，然后DE再切分△ADC为等高三角形．，所以三角形ACD面积为平方厘米．，所以三角形CED面积为平方厘米．

10、如图，已知，，，．直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65．请问：三角形ADG的面积是多少？

【答案】
40

【解析】
由题目条件可得，，．

设△ADE的面积为，△AEG的面积为，三角形CEB的面积为，三角形EFB的面积为，则有解得．所以△ADG的面积是40．

二、 鸟头模型

11、如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________．

【答案】
20

【解析】
AD是AB的，AE是AC的．根据鸟头模型，有△ADE面积是△ABC面积的．那么△ABC的面积是20．

12、如图，在三角形ABC中，，，那么三角形ABC的面积是三角形CDE的______倍．

【答案】
4.5倍

【解析】
，，根据鸟头模型，．

13、如图，已知，，，试求的值？

【答案】
 

【解析】
根据鸟头模型，，同理，，因此．

14、如图，已知长方形ADEF的面积是16，，．请问：三角形BCE的面积是__________．

【答案】
3

【解析】
连接DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的．那么△BCE的面积是．

15、如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是__________平方厘米．

【答案】
40平方厘米

【解析】
考虑空白△AEB，△BFC，△EDF，分别求出它们的面积．

首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长AD的；它的高为AB，与长方形的宽相等．

所以△AEB的面积是长方形面积的，即平方厘米．

同样可求得△BFC的面积是长方形面积的，即平方厘米．

△EDF的面积是长方形面积的，即平方厘米．

所以空白部分的总面积为，阴影部分的面积为

16、如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF的面积是4．请问：三角形ABC的面积是多少？

【答案】
7

【解析】
；，；，；因此，；．

17、如图，ABCDEF为正六边形．G，H，I，J，K，L分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL．请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？

【答案】
 

【解析】
设正六边形ABCDEF的面积为S，则；，，根据鸟头模型，，因此；小正六边形是大正六边形减去六个和一样的三角形得到的，面积为，小正六边形占大正六边形面积的．

三、 任意四边形

18、图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米．请问：三角形BOC的面积是多少？

【答案】
30平方厘米

【解析】
，因此，平方厘米．

19、图中四边形ABCD的面积为200，对角线AC和BD交于O点，如果△BCD的面积比△ABD的面积大60，△ABC的面积比△ADC的面积大80．请问：由对角线分成的四个三角形中，面积最小的一个是多少？

【答案】
△AOD

【解析】
△BCD的面积比△ABD的面积等于，因为△BCD的面积比△ABD的面积大60，所以OC比OA大．而△BOC比△AOB的面积等于，所以△BOC的面积比△AOB的面积大；同理△COD的面积比△AOD的面积大．

同理△ABC的面积比△ADC的面积大80，所以OB比OD大，所以△BOC的面积比△COD的面积大，△AOB的面积比△AOD的面积大．

综上所述，四个三角形中，面积最小的是△AOD．

20、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成4个部分．三角形的面积是2平方千米，三角形的面积是3平方千米，三角形的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是______平方千米．

【答案】
0.6平方千米

【解析】
根据蝴蝶模型，，因此，因此整个公园的面积是平方千米，其中陆地面积是6.9平方千米，因此人工湖的面积是平方千米．

21、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的，且，，那么CO的长度是DO的长度的_______倍．

【答案】
2

【解析】
蝴蝶模型．因为三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的，所以AO是CO长度的，则，所以CO的长度是DO的长度的2倍．

22、（2013年四中分班）如图，矩形ABCD的面积等于36，在AB、AD上分别取点E、F，使得，，DE交CF于点O，则的面积是__________．

【答案】
4

【解析】
如图，将EF，EC连接．的面积明显不可以直接求．我们可以通过求得的面积，以及OD与OE的比，得到的面积．而OD与OE的比可以通过和的面积比得到，即5:4. 余下的省略．此题也可以通过求得的面积，以及OF与OC的比（1:2），得到的面积．

1、如图，，，三角形ABC面积为120，求三角形AED的面积是__________．

【答案】
50

【解析】
△ACD与△ABC同高，所以它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△AED与△ACD同高，所以它们的面积比是，所以△AED的面积是．

2、如图，在三角形ABC中，AD的长度是AB的，AE的长度是AC的．请问：三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几：___________．

【答案】
 

【解析】
由于，，根据鸟头模型，．

3、如图，长方形ABCD的面积是48，，．三角形CEF的面积是__________．

【答案】
10

【解析】
连接BD，CE是BC的，CF是CD的．根据鸟头模型，△CEF面积是△BCD面积的．那么△CEF的面积是．

4、四边形ABCD中，AC、BD两条对角线交于O点，三角形AOB的面积为6，三角形AOD的面积为8，三角形BOC的面积是15，那么四边形ABCD的面积是__________．

【答案】
49

【解析】
△COD的面积是，所以四边形ABCD的面积是．

1、如图，，．已知△ABC的面积是10，阴影部分的面积是__________．

【答案】
2.4

【解析】
△ABD和△ACD是等高，它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△CDE和△ADE是等高，它们的面积比是，所以阴影部分的面积是．

2、如图所示，D是AB边上靠近A点的三等分点，E是AC边上靠近A点的四等分点，F是BC边上靠近C点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24，那么三角形DEF的面积是__________．

【答案】
5.6

【解析】
由鸟头模型可得，，，，所以．

3、如图所示，在长方形ABCD中，，，如果阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是__________．

【答案】
18

【解析】
根据鸟头模型，可知△CEF面积是△BCD面积的．那么阴影部分的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是．

4、如图所示，长方形ABCD的面积是60，E是CD边上的中点，，那么三角形AEF的面积是__________．

【答案】
27

【解析】
连接BD，△CEF的面积占长方形ABCD面积的，△ABF的面积占长方形ABCD面积的，△ADE的面积占长方形ABCD面积的．所以△AEF的面积占长方形ABCD面积的，面积是．

5、如图所示，四边形的总面积为72，已知两个小三角形的面积是11和13，那么图中四个小三角形中面积最大的一个面积是__________．

【答案】
26

【解析】
如图，△AOD与△AOB的面积比等于．△BCD的面积是，△COD和△BOC的面积比是，所以△BOC的面积比△COD的面积大，是．

6、如图所示，△ABC中，4个小三角形的面积相等．已知BD的长度是2，那么BC的长度是__________．

【答案】
8

【解析】
△ABC的面积是△ABD面积的4倍，且它们等高，所以BC边是BD边的4倍，即．

7、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那么△ADE的面积是__________．

【答案】
12

【解析】
根据鸟头模型，△ADE的面积是△ABC面积的，即△ADE的面积是．

8、如图所示，三角形ABC的面积是12，三角形BCD的面积是30，三角形ACD的面积是24，那么四个小三角形中最大的一个面积是__________．

【答案】
20

【解析】
首先△ABD的面积是．，．所以四个小三角形中面积最大的是△COD，它的面积是．

9、如图是一个边长为4的正方形ABCD，E、H分别是AB和BG的中点，．阴影部分的面积是____________．

【答案】
4.5

【解析】
正方形ABCD的面积是，△ABG的面积是．再根据鸟头模型，△BEH的面积是△ABG面积的，所以阴影部分的面积是△ABG面积的，即．

10、如图所示，，，．已知△DEF的面积是12，那么△ABC的面积是多少？

【答案】
36

【解析】
根据鸟头模型，△AEF的面积是△ABC面积的，同理可得△BDF和△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△DEF的面积是△ABC面积的．所以△ABC的面积是．