初中数学13.3.2 等边三角形随堂练习题

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第十三章 轴对称第8课时　13.3.2等边三角形（2）
一、课前小测——简约的导入1. 关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（   ）．A．等边三角形的范围比等腰三角形大       B．等腰三角形包括等边三角形C．等边三角形是等腰三角形的特殊情况     D．等边三角形具有等腰三角形的所有性质 2. 若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（   ）．（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．A．1个      B．2个      C．3个      D．4个

二、典例探究——核心的知识例1 如图1,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于                            (    ).A.1m      B. 2m     C.3m     D.4m                                图1例2 如图2,在△ABC中，AB=AC=9，∠ABD=120°,AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为           .图2  例3 如图3,已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，试说明BF=2CF.     三、平行练习——三基的巩固3. 如图4，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°,BD=1cm,那么∠BCD=______，BC=_______cm，AD=________cm．图4                        4. 如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，过B点的一条直线BE交AC于E点，ED⊥AB．写出一个你认为适当的条件，并利用此条件说明D为AB的中点．图5  5. 如图6，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥AB交BC于E，∠BAC＝120°，AE＝3cm,求BC的长. 图6   四、变式练习——拓展的思维例4  如图7，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)_____________    ；(2)_____________    ；(3)____________   _ .        图7                    图8变式1 如图8，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，则BN=              ．变式2 如图9,已知△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．图9  变式3 如图10,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.                             图10 变式4 如图11，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形．        图11  五、课时作业——必要的再现6．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （      ）.A.75°或15°       B.75°      C.15°             D.75°和30°7. 如图12，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AB于D，则∠DCB数为           . 8. 如图13，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AD的垂直平分线交BC于D，交AB于E，求证:BD=DC．  9. 如图14,ΔABC是等边三角形,D是AC上一点,BD=CE,∠1=∠2,试判断ΔADE形状,并证明你的结论.答案1. A.2. C例1 B.例2 4.5.例3 连结AF，∵EF是AC的垂直平分线，∴FA=FC，∴.又∵，∴.又∵AB=AC，∴.∴.在Rt△ABF中，，，∴，∴，即BF=2CF.3. 30°, 2 , 3.  4. 当∠A=30°时，点D恰为AB的中点.理由如下:∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBA=60°．由对称性知△CBE与△DBE重合,∴∠EDB=∠C=90°，∠EBA=∠EBC=∠CBA=×60°=30°，∴ED⊥AB．又∵∠A=30°，∴∠A=∠EBA，∴EA=EB．∵ED⊥AB，∴ED平分AB，即D是AB的中点．5. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角）.∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝30°.又∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°,∠EAC＝∠BAC－∠BAE＝120°－90°＝30°.∴∠C＝∠EAC,∴AE＝EC＝3cm.在Rt△ABE中，∠B＝30°，∴BE＝2AE＝6cm,∴BC＝BE＋EC＝6＋3＝9（cm）.例4（1）BD⊥AC;(2) ∠E=30°;(3)BD=DE.变式1 BN=a．变式2关系:DE=DB.∵CD=CE，∴∠E=∠EDC，又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°,又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE.变式3 ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=2AD，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD.变式4 ∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，∴∠1=∠2==60°．∵AE∥DC，∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°，∴∠3=∠4=∠E=60°，∴∠ACE是等边三角形．6. A.7. 45°.8．连接AD，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C== 30°，∵DE为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠DAC=90°，∵∠C=30°，∴AD=DC，∵AD=BD，∴BD=DC．9. ΔADE为等边三角形.∵ΔABC为等边三角形，∴AB=AC.又∵∠1=∠2，BD=CE，∴ΔABD≌ΔACE（SAS）.∴AD=AE, ∠CAE=∠BAD=60°,∴ΔADE为等边三角形.