黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

哈师大附中2023—2024学年度高二上学期月考
数学试题

一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（    ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线的斜率和方向向量之间的关系即可求解.
【详解】不妨设点为直线上异于点的任意一点，
则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知，
整理得，因此满足题意的直线方程为.
故选：A.
2. 国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩（单位：环）如：，则这组数据第百分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将数据按照从小到大顺序排序，根据百分位数的求法直接求解即可.
【详解】将次射击成绩按照从小到大顺序排序为：，
，第百分位数为.
故选：C.
3. 已知直线和，若，则（ ）
A. 3 B. 1 C. -1 D. 3或-1
【答案】C
【解析】
【分析】代入两直线平行的公式，即可求解.
【详解】若，则，解得：.
故选：C
4. 若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.
【详解】圆经过点，，
可得线段中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为.
故选：A.
5. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如下图所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（ ）

A. 该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占70%
B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多
C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D. 相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形统计图和条形图对四个选项逐个判断可得答案.
【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为
，A正确.
由于2023届初三学生人数较2022届上升了，
假设2022届初三学生人数为（），
则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，
2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为
，，B正确.
2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，
2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误.
2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，
2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，D正确.
故选： C.
6. 已知直线：mx－y－3m＋1＝0与直线：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：上的动点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】圆C：的圆心，半径，
因为，
所以直线与直线互相垂直，
由，得，所以直线过定点，
由得，所以直线过定点，
因为中点为，且，
所以点的轨迹方程为，其圆心为，半径为，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
且，
故的最小值为.
故选：C.
7. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数；
②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【答案】B
【解析】
【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【详解】①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7，
与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（    ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件，先求出的轨迹方程，分情况讨论此曲线轨迹与交点情况即可.
详解】如图所示，设，则，，，

化简得，或（舍去），
即在以O为圆心的圆上，轨迹方程为，

如上图所示，易知曲线过定点，记为，
若，最多与圆有一个交点，不符合题意，可排除C、D选项；
若，先判定与相切的情况，
则圆心到直线的距离为，
由图形可知当时，曲线与有四个交点.
故选：B




二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知数据的平均数是，中位数为，方差为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则（ ）
A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是
C. 新数据的方差是 D. 新数据的极差是
【答案】CD
【解析】
【分析】直接利用平均数，中位数，方差，极差的定义求解判断即可.
【详解】对于A，新数据的平均数为

，故A错误；
对于B，因为原数据的中位数为，所以新数据的中位数是，故B错误；
对于C，因为原数据的方差为，
所以新数据的方差是，故C正确；
对于D，设数据中最大，最小，其中,, 则，
所以新数据的极差是，故D正确.
故选：CD.
10. 圆和圆的交点为，则有（　　）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D．
【详解】对于A，由与，两式作差可得，即，
∴公共弦所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，
圆的圆心，
的中点坐标，，
∴的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，
即，故B正确；
对于C，圆心到直线的距离，半径为，
则，故C错误；
对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径，
则到直线的距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD
11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.
【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，
对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，
所以它的最大值为，所以A错误；
对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为，所以B正确；
对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；
对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，
则点与圆心连线的斜率为，
根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
12. 已知圆上两点满足，点满足，则下列选项正确的有（    ）
A. 当时
B. 当时，过点的圆的最短弦长是
C. 线段的中点纵坐标最小值是
D. 过点作圆的切线且切点为，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可知点在线段的垂直平分线上，对于A，令举出反例即可判断；对于B ，此时点刚好在原点，通过分析发现圆的过点的最短弦长即为被轴所截得的弦长；对于C，设出线段的中点坐标，由垂径分线定理将不等式转换成，从而即可判断；对于D，由切线长定理即可判断.
【详解】圆的圆心、半径分别为，令圆心到线段的距离为；
对于A，不妨设直线，此时，由弦长公式可知，
但此时线段的垂直平分线是平行于轴的，即此时点不存在，故A选项错误；
对于B，如图所示：

当时，点与坐标原点重合，设为过点的任意一条不与重合的弦，，
可以发现，由弦长公式可知，若要弦长最短，只需最大，
而当且仅当时，，此时，
所以当时，过点的圆的最短弦长是，故B选项正确；
对于C，不妨设线段的中点坐标，由垂径分线定理可知，
又，所以，解得，
注意到，所以，解得，
因此当时，，即线段的中点纵坐标最小值是，故C选项正确；
对于D，如图所示：

设线段的中点为，由题意及切线长定理可知，
我们来简单说明一下切线长定理：事实上四边形的面积一方面可以表示为，
另一方面也可以表示为，
且注意到，
所以由等面积法结合以上式子可得，
又由勾股定理有，
且注意到，
所以，解得，
又，
所以有，解得或，即的取值范围是，故D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题A选项的关键是举反例证伪，B选项较为常规，至于C选项要注意转换成来做，D选项的话关键在于用切线长定理以及勾股定理来转换已知条件，从而顺利求解.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有________人.
【答案】100
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．
【详解】设北面共有x人，则由题意可得，解得，
所以北面共有100人.
故答案为：100．
14. 两条平行线和的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由两平行线直接的距离公式即可求解.
【详解】由题意直接由两平行线之间的距离公式可知，两条平行线和的距离为.
故答案为：.
15. 将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.
【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为.
设点为点，设点为点，所以线段的中点为，
由题意可知，
于是有： ，
故答案为：1
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.
16. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先进行转化，假设存在这样的点，使得，则，设点，可得，该圆对照，所以，求得点，再由，即可得解.
【详解】
假设存在这样的点，使得，则，设点，则，
即，
该圆对照，所以，所以点，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆C经过三点.
（1）求圆C的方程；
（2）经过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答.
（2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答.
【小问1详解】
设圆C的方程为，
由圆C经过三点，得，解得，
所以圆C的方程为
【小问2详解】
由（1）知圆C：，即圆心，半径为5，
由直线l被圆C所截得的弦长为，得圆心C到直线l的距离，
而直线l经过点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
即，于是，得或，
所以直线l的方程为或

18. 某高校就业部从该校2022年已就业的博士研究生的毕业生中随机抽取了200人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这200人月薪收入的样本平均数；
（2）该校在某地区就业的2022届博士研究生的毕业生共100人，决定于2023年五一劳动节长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；
方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；
用该校就业部统计的这200人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
【答案】（1）2（万元）
（2）方案一能收到更多的费用
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解；
（2）分别计算得到方案一和方案二中这50人共收活动费用的多少，比较即可得到结论.
【小问1详解】
解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得这200人月薪收入的样本平均数：
（万元）．
【小问2详解】
解：方案一：
月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间内收活动费用约（万元）；
月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）．
因此方案一，这100人共收活动费用约为（万元）；
方案二：这100人共收活动费用约为（万元）．
因为，故方案一能收到更多的费用.
19. 在四棱锥中，，，平面，分别为的中点，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角大小
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）易得，根据线面垂直的性质可得，从而可证得平面，进而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）分别取的中点，连接，不妨设，先利用勾股定理求出，从而可证得，进而可得即为二面角的平面角，再解即可得解.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
因为分别为的中点，所以，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
分别取的中点，连接，
不妨设，则，
在中，，则，
在中，，则，
因为平面，平面，
所以，
则，
因为分别为的中点，所以，
由（1）得平面，
因为平面，所以，
则，
因为为的中点，所以，
因为为的中点，
所以且，
又，所以，
所以即为二面角平面角，
因为为的中点，
所以且，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，所以，
即二面角的大小为.

20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（2）试估计测评成绩的第三四分位数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为69，方差为180，女生样本的均值为73，方差为200，求总样本的方差.
【答案】（1）20人 （2）78.75
（3）188
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可计算超过50分的人数，结合题意可估计总体；
（2）直接利用频率分布直方图计算75%分位数即可；
（3）根据分层抽样的方差公式计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，分数在的频率为，
在样本中分数在的人数为（人），
又在样本中分数在在的学生有5人，
所以样本中低于40分的人数有人，
故总体中分数小于40的人数为人；
【小问2详解】
测试成绩从低到高排序，样本中分数在的频率为，
样本中分数在的频率为，则75%分位数在之间，
所以估计测评成绩的75%分位数为；
【小问3详解】
由题意可知总样本的均值为：，
所以总样本的方差为.
21. 已知圆：，点.
（1）若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；
（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意，可设圆的方程为，判断出点在圆外，则圆与圆外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解，从而可得圆的方程；
（2）先排除过点与轴垂直的情况，从而设过点的直线方程为，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得，结合根与系数的关系以及，从而可得的方程，解方程即可得解.
【小问1详解】
当时，，设圆的方程为，
因为，所以点在圆外，
所以圆与圆外切或内切，又，圆的半径为，
当两圆外切时：，可得；
当两圆内切时：，可得；
所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或.
【小问2详解】
若过点的直线与轴垂直时，直线方程为，
圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不满意题意；
设过点的直线方程为，即，
由题意得，，
化简得，设直线、的斜率分别为，
则，且，
对过点的直线，令，得，
，
，解得，
所以.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；
（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．
22. 已知直线，圆.
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）点Q恒在直线上，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.
【小问1详解】
证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；
【小问2详解】
圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：
【小问3详解】
设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.
【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.