黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的导数是（ ）
A B.
C. D.
2. 如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数的单调递减区间为，则（ ）
A. B. C. 16D. 27
4. 已知是递增数列，则的通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. C. eD.
6. 已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 7D. 8
7. 已知，若恰好有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的前项和是，且，则（ ）
A. B. C. D. 的最小值为
10. 已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 函数有两个零点
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则______．
13. 已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为______.
14. 若数列满足：，则定义数列为函数的“切线——零点数列”．已知，数列为函数的“切线——零底数列”，，若数列满足，则数列的前n项和___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2等差数列，求数列的前n项和.
16. 已知．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，求函数的单调区间；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
17. 在平面直角坐标系中，已知点，，，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．
18. 设函数．
（1）若在处取得极小值，求的单调区间；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围．
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为.
①求的值；
②是坐标原点，过曲线上一点作垂直轴于点，求的最大值；
（2）当时，是否存在整数，使得关于不等式恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.