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    黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题(Word版附解析)

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    这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了单选题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    哈师大附中2023—2024学年度高二上学期月考
    数学试题

    一、单选题:本大题共 8 小题,每个小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 过点的直线的方向向量为,则该直线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由直线的斜率和方向向量之间的关系即可求解.
    【详解】不妨设点为直线上异于点的任意一点,
    则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知,
    整理得,因此满足题意的直线方程为.
    故选:A.
    2. 国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩(单位:环)如:,则这组数据第百分位数为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】将数据按照从小到大顺序排序,根据百分位数的求法直接求解即可.
    【详解】将次射击成绩按照从小到大顺序排序为:,
    ,第百分位数为.
    故选:C.
    3. 已知直线和,若,则( )
    A. 3 B. 1 C. -1 D. 3或-1
    【答案】C
    【解析】
    【分析】代入两直线平行的公式,即可求解.
    【详解】若,则,解得:.
    故选:C
    4. 若圆经过点,,且圆心在直线:上,则圆的方程为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】求解的中垂线方程,然后求解圆的圆心坐标,求解圆的半径,然后得到圆的方程.
    【详解】圆经过点,,
    可得线段中点为,又,
    所以线段的中垂线的方程为,
    即,
    由,解得,
    即,圆的半径,
    所以圆的方程为.
    故选:A.
    5. 某校为了了解学生的身体素质,对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计,结果如下图所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%,则下列说法错误的是( )

    A. 该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占70%
    B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多
    C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
    D. 相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数,2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据扇形统计图和条形图对四个选项逐个判断可得答案.
    【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为
    ,A正确.
    由于2023届初三学生人数较2022届上升了,
    假设2022届初三学生人数为(),
    则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为,
    2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为
    ,,B正确.
    2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内,
    2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内,C错误.
    2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占,
    2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占,D正确.
    故选: C.
    6. 已知直线:mx-y-3m+1=0与直线:x+my-3m-1=0相交于点P,点Q是圆C:上的动点,则的最小值为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意分析可得点的轨迹是圆心为,半径为的圆,结合圆的性质运算求解.
    【详解】圆C:的圆心,半径,
    因为,
    所以直线与直线互相垂直,
    由,得,所以直线过定点,
    由得,所以直线过定点,
    因为中点为,且,
    所以点的轨迹方程为,其圆心为,半径为,
    所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
    且,
    故的最小值为.
    故选:C.
    7. 根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于即为入冬,将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,现有4组样本①、②、③、④,依次计算得到结果如下:
    ①平均数;
    ②平均数且极差小于或等于3;
    ③平均数且标准差;
    ④众数等于5且极差小于或等于4.
    则4组样本中一定符合入冬指标的共有( )
    A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
    【答案】B
    【解析】
    【分析】举反例否定①;反证法证明②符合要求;举反例否定③;直接法证明④符合要求.
    【详解】①举反例:,,,,,其平均数.但不符合入冬指标;
    ②假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3可知,
    则此组数据中的最小值为,此时数据的平均数必然大于7,
    与矛盾,故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标;
    ③举反例:1,1,1,1,11,平均数,且标准差.但不符合入冬指标;
    ④在众数等于5且极差小于等于4时,则最大数不超过9.符合入冬指标.
    故选:B.
    8. 在平面直角坐标系中,圆,若曲线上存在四个点,过动点作圆的两条切线,为切点,满足,则的取值范围是(    ).
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用条件,先求出的轨迹方程,分情况讨论此曲线轨迹与交点情况即可.
    详解】如图所示,设,则,,,

    化简得,或(舍去),
    即在以O为圆心的圆上,轨迹方程为,

    如上图所示,易知曲线过定点,记为,
    若,最多与圆有一个交点,不符合题意,可排除C、D选项;
    若,先判定与相切的情况,
    则圆心到直线的距离为,
    由图形可知当时,曲线与有四个交点.
    故选:B




    二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
    9. 已知数据的平均数是,中位数为,方差为,极差为.由这组数据得到新数据,其中,则( )
    A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是
    C. 新数据的方差是 D. 新数据的极差是
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】直接利用平均数,中位数,方差,极差的定义求解判断即可.
    【详解】对于A,新数据的平均数为

    ,故A错误;
    对于B,因为原数据的中位数为,所以新数据的中位数是,故B错误;
    对于C,因为原数据的方差为,
    所以新数据的方差是,故C正确;
    对于D,设数据中最大,最小,其中,, 则,
    所以新数据的极差是,故D正确.
    故选:CD.
    10. 圆和圆的交点为,则有(  )
    A. 公共弦所在直线方程为
    B. 线段中垂线方程为
    C. 公共弦的长为
    D. 为圆上一动点,则到直线距离的最大值为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】直接把两圆的方程作差判断A;利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B;求出公共弦长判断C;由到的距离加上的半径判断D.
    【详解】对于A,由与,两式作差可得,即,
    ∴公共弦所在直线方程为,故A正确;
    对于B,圆的圆心为,
    圆的圆心,
    的中点坐标,,
    ∴的中垂线的斜率为,可得的中垂线方程为,
    即,故B正确;
    对于C,圆心到直线的距离,半径为,
    则,故C错误;
    对于D,为圆上一动点,圆心到直线的距离为,半径,
    则到直线的距离的最大值为,故D正确.
    故选:ABD
    11. 已知实数满足曲线的方程,则下列选项正确的是( )
    A. 的最大值是
    B. 的最大值是
    C. 的最小值是
    D. 过点作曲线的切线,则切线方程为
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方,可判定A错误;由表示圆上的点与点的斜率,设,结合点到直线的距离公式,列出不等式,可判定B正确;由表示圆上任意一点到直线的距离的倍,进而可判定C错误;根据点在圆上,结合圆的切线的性质,可判定D正确.
    【详解】由圆可化为,可得圆心,半径为,
    对于A中,由表示圆上的点到定点的距离的平方,
    所以它的最大值为,所以A错误;
    对于B中,表示圆上的点与点的斜率,设,即,
    由圆心到直线的距离,解得,
    所以的最大值为,所以B正确;
    对于C中,由表示圆上任意一点到直线的距离的倍,
    圆心到直线的距离,所以其最小值为,所以C错误;
    对于D中,因为点满足圆的方程,即点在圆上,
    则点与圆心连线的斜率为,
    根据圆的性质,可得过点作圆的切线的斜率为,
    所以切线方程为,即,所以D正确.
    故选:BD.
    12. 已知圆上两点满足,点满足,则下列选项正确的有(    )
    A. 当时
    B. 当时,过点的圆的最短弦长是
    C. 线段的中点纵坐标最小值是
    D. 过点作圆的切线且切点为,则的取值范围是
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】由题意可知点在线段的垂直平分线上,对于A,令举出反例即可判断;对于B ,此时点刚好在原点,通过分析发现圆的过点的最短弦长即为被轴所截得的弦长;对于C,设出线段的中点坐标,由垂径分线定理将不等式转换成,从而即可判断;对于D,由切线长定理即可判断.
    【详解】圆的圆心、半径分别为,令圆心到线段的距离为;
    对于A,不妨设直线,此时,由弦长公式可知,
    但此时线段的垂直平分线是平行于轴的,即此时点不存在,故A选项错误;
    对于B,如图所示:

    当时,点与坐标原点重合,设为过点的任意一条不与重合的弦,,
    可以发现,由弦长公式可知,若要弦长最短,只需最大,
    而当且仅当时,,此时,
    所以当时,过点的圆的最短弦长是,故B选项正确;
    对于C,不妨设线段的中点坐标,由垂径分线定理可知,
    又,所以,解得,
    注意到,所以,解得,
    因此当时,,即线段的中点纵坐标最小值是,故C选项正确;
    对于D,如图所示:

    设线段的中点为,由题意及切线长定理可知,
    我们来简单说明一下切线长定理:事实上四边形的面积一方面可以表示为,
    另一方面也可以表示为,
    且注意到,
    所以由等面积法结合以上式子可得,
    又由勾股定理有,
    且注意到,
    所以,解得,
    又,
    所以有,解得或,即的取值范围是,故D选项正确.
    故选:BCD.
    【点睛】关键点点睛:本题A选项的关键是举反例证伪,B选项较为常规,至于C选项要注意转换成来做,D选项的话关键在于用切线长定理以及勾股定理来转换已知条件,从而顺利求解.
    三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
    13. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡三百人,南乡两百人,凡三乡,发役六十人,而北乡需遗十,问北乡人数几何?”其意思为:今有某地北面若干人,西面有300人,南面有200人,这三面要征调60人,而北面共征调10人(用分层抽样的方法),则北面共有________人.
    【答案】100
    【解析】
    【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可.
    【详解】设北面共有x人,则由题意可得,解得,
    所以北面共有100人.
    故答案为:100.
    14. 两条平行线和的距离为________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】直接由两平行线直接的距离公式即可求解.
    【详解】由题意直接由两平行线之间的距离公式可知,两条平行线和的距离为.
    故答案为:.
    15. 将一张坐标纸折叠一次,使得点与点重合,点与点重合,则_____________.
    【答案】1
    【解析】
    【分析】根据直线对称的性质,结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.
    【详解】设点为点,点为点,所以线段的中点为.
    设点为点,设点为点,所以线段的中点为,
    由题意可知,
    于是有: ,
    故答案为:1
    【点睛】关键点睛:本题的关键是根据直线对称,得到斜率之间的关系.
    16. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是“如果动点与两定点的距离之比为(,那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题,已知点为圆上的动点,,则的最小值为_____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】首先进行转化,假设存在这样的点,使得,则,设点,可得,该圆对照,所以,求得点,再由,即可得解.
    【详解】
    假设存在这样的点,使得,则,设点,则,
    即,
    该圆对照,所以,所以点,
    所以.
    故答案为:
    四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 已知圆C经过三点.
    (1)求圆C的方程;
    (2)经过点的直线l被圆C所截得的弦长为,求直线l的方程.
    【答案】(1);
    (2)或.
    【解析】
    【分析】(1)设出圆C的一般方程,再利用待定系数法求解作答.
    (2)由(1)求出圆C的圆心和半径,结合弦长及点到直线距离求解作答.
    【小问1详解】
    设圆C的方程为,
    由圆C经过三点,得,解得,
    所以圆C的方程为
    【小问2详解】
    由(1)知圆C:,即圆心,半径为5,
    由直线l被圆C所截得的弦长为,得圆心C到直线l的距离,
    而直线l经过点,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为,
    即,于是,得或,
    所以直线l的方程为或

    18. 某高校就业部从该校2022年已就业的博士研究生的毕业生中随机抽取了200人进行问卷调查,其中一项是他们的月薪收入情况,调查发现,他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间,根据统计数据分组,得到如下的频率分布直方图:

    (1)将同一组数据用该区间的中点值作代表,求这200人月薪收入的样本平均数;
    (2)该校在某地区就业的2022届博士研究生的毕业生共100人,决定于2023年五一劳动节长假期间举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用,有两种收费方案:
    方案一:设区间,月薪落在区间左侧的每人收取400元,月薪落在区间内的每人收取600元,月薪落在区间右侧的每人收取800元;
    方案二:每人按月薪收入的样本平均数的3%收取;
    用该校就业部统计的这200人月薪收入的样本频率进行估算,哪一种收费方案能收到更多的费用?
    【答案】(1)2(万元)
    (2)方案一能收到更多的费用
    【解析】
    【分析】(1)利用频率分布直方图的平均数的计算公式,准确计算,即可求解;
    (2)分别计算得到方案一和方案二中这50人共收活动费用的多少,比较即可得到结论.
    【小问1详解】
    解:根据频率分布直方图的平均数的计算公式,可得这200人月薪收入的样本平均数:
    (万元).
    【小问2详解】
    解:方案一:
    月薪落在区间左侧收活动费用约为(万元);
    月薪落在区间内收活动费用约(万元);
    月薪落在区间右侧收活动费用约为(万元).
    因此方案一,这100人共收活动费用约为(万元);
    方案二:这100人共收活动费用约为(万元).
    因为,故方案一能收到更多的费用.
    19. 在四棱锥中,,,平面,分别为的中点,.

    (1)求证:平面平面;
    (2)求二面角大小
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)易得,根据线面垂直的性质可得,从而可证得平面,进而可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得证;
    (2)分别取的中点,连接,不妨设,先利用勾股定理求出,从而可证得,进而可得即为二面角的平面角,再解即可得解.
    【小问1详解】
    因为平面,平面,
    所以,
    又平面,
    所以平面,
    因为分别为的中点,所以,
    所以平面,
    又平面,
    所以平面平面;
    【小问2详解】
    分别取的中点,连接,
    不妨设,则,
    在中,,则,
    在中,,则,
    因为平面,平面,
    所以,
    则,
    因为分别为的中点,所以,
    由(1)得平面,
    因为平面,所以,
    则,
    因为为的中点,所以,
    因为为的中点,
    所以且,
    又,所以,
    所以即为二面角平面角,
    因为为的中点,
    所以且,
    又平面,所以平面,
    又平面,所以,
    在中,,所以,
    即二面角的大小为.

    20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:,,,,并整理得到如下频率分布直方图:

    (1)已知样本中分数在的学生有5人,试估计总体中分数小于40的人数;
    (2)试估计测评成绩的第三四分位数;
    (3)已知样本中男生与女生的比例是3:1,男生样本的均值为69,方差为180,女生样本的均值为73,方差为200,求总样本的方差.
    【答案】(1)20人 (2)78.75
    (3)188
    【解析】
    【分析】(1)根据频率分布直方图可计算超过50分的人数,结合题意可估计总体;
    (2)直接利用频率分布直方图计算75%分位数即可;
    (3)根据分层抽样的方差公式计算即可.
    【小问1详解】
    由频率分布直方图知,分数在的频率为,
    在样本中分数在的人数为(人),
    又在样本中分数在在的学生有5人,
    所以样本中低于40分的人数有人,
    故总体中分数小于40的人数为人;
    【小问2详解】
    测试成绩从低到高排序,样本中分数在的频率为,
    样本中分数在的频率为,则75%分位数在之间,
    所以估计测评成绩的75%分位数为;
    【小问3详解】
    由题意可知总样本的均值为:,
    所以总样本的方差为.
    21. 已知圆:,点.
    (1)若,求以为圆心且与圆相切的圆的方程;
    (2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为,且与轴分别交于点、,,求的值.
    【答案】(1)或
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)由题意,可设圆的方程为,判断出点在圆外,则圆与圆外切或内切,分类讨论两圆内切与外切两种情况,列方程求解,从而可得圆的方程;
    (2)先排除过点与轴垂直的情况,从而设过点的直线方程为,再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得,结合根与系数的关系以及,从而可得的方程,解方程即可得解.
    【小问1详解】
    当时,,设圆的方程为,
    因为,所以点在圆外,
    所以圆与圆外切或内切,又,圆的半径为,
    当两圆外切时:,可得;
    当两圆内切时:,可得;
    所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或.
    【小问2详解】
    若过点的直线与轴垂直时,直线方程为,
    圆心到直线的距离为,直线与圆相离,不满意题意;
    设过点的直线方程为,即,
    由题意得,,
    化简得,设直线、的斜率分别为,
    则,且,
    对过点的直线,令,得,

    ,解得,
    所以.
    【点睛】方法点睛:解决直线与圆的综合问题时,要注意:
    (1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、圆的条件;
    (2)强化利用几何法求解圆的弦长,代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题.
    22. 已知直线,圆.
    (1)证明:直线l与圆C相交;
    (2)设l与C的两个交点分别为A、B,弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程;
    (3)在(2)的条件下,设圆C在点A处的切线为,在点B处的切线为,与的交点为Q.试探究:当m变化时,点Q是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2);
    (3)点Q恒在直线上,理由见解析.
    【解析】
    【分析】(1)求出直线过定点,得到在圆内部,故证明直线l与圆C相交;(2)设出点,利用垂直得到等量关系,整理后即为轨迹方程;(3)利用Q、A、B、C四点共圆,得到此圆的方程,联立,求出相交弦的方程,即直线的方程,根据直线过的定点,得到,从而得到点Q恒在直线上.
    【小问1详解】
    证明:直线过定点,代入得:,故在圆内,故直线l与圆C相交;
    【小问2详解】
    圆的圆心为,设点,由垂径定理得:,即,化简得:,点M的轨迹方程为:
    【小问3详解】
    设点,由题意得:Q、A、B、C四点共圆,且圆的方程为:,即,与圆C的方程联立,消去二次项得:,即为直线的方程,因为直线过定点,所以,解得:,所以当m变化时,点Q恒在直线上.
    【点睛】本题的第三问是稍有难度的,处理方法是根据四点共圆,直径的端点坐标,求出此圆的方程,与曲线联立后得到相交弦的方程,是处理此类问题的关键.



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