2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一10月月考数学试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用集合的并集定义求解即可．

【详解】

集合，，则

故选：D

【点睛】

本题考查集合的并集运算，考查学生计算能力，属于基础题．

2．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解一元二次不等式求得集合A，然后求出，再与集合B取交集.

【详解】

的解为或，，

.

故选：B

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及一元二次不等式，属于基础题.

3．函数的定义域为（    ）

A．[1，2)∪(2，+∞) B．(1，2)∪(2，+∞) C．(1，+∞) D．[1，+∞)

【答案】A

【解析】要使函数有意义，则有，解出即可.

【详解】

要使函数有意义，则有，解得且

所以函数的定义域为[1，2)∪(2，+∞)

故选：A

【点睛】

本题考查的是函数的定义域，较简单.

4．命题，的否定形式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定形式可直接选出答案.

【详解】

命题，的否定形式为

故选：D

【点睛】

本题考查的是全称命题的否定，较简单.

5．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】C

【解析】求出集合A、B，根据集合的包含关系可知集合M中一定包含元素0、1，直接列举出满足条件的集合M.

【详解】

，，

，则集合M中一定包含元素0、1，

满足条件的集合M有：

，共15个.

故选：C

【点睛】

本题考查集合的包含关系，属于中档题.

6．若，则下列结论中不恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】

因为，所以，，

当时不成立

故选：D

【点睛】

本题考查的是不等式的性质，较简单.

7．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）

C．（﹣∞，0]∪[1+∞，） D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）

【答案】A

【解析】先化简命题q，再根据p是q的充分而不必要条件，由a≤0，且2+a≥1求解.

【详解】

命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．

因为p是q的充分而不必要条件，

所以a≤0，且2+a≥1，

解得﹣1≤a≤0.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查逻辑条件的应用，属于基础题.

8．，，若，则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．

【详解】

，

，，

，或，

或或．

的取值集合为．

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．

9．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作差法分别比较与、与的大小.

【详解】

，，故A、B错；

，

.

故选：C

【点睛】

本题考查作差法比较数或式的大小，属于基础题.

10．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则实数的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】由韦达定理可得，然后结合可解出，然后进行检验即可.

【详解】

因为是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，

所以，

所以

解得或

当时，方程无解，故舍去

当时满足题意

故选：A

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，较简单.

11．已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用构造方程组的方法，解出的解析式．

【详解】

由，可得 ①

又②，

得：，解得

故选：A

【点睛】

本题考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题．

12．若关于的不等式的整数解只有0，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题得或，再对分三种情况讨论得解.

【详解】

由得或，

当时，；

当时，，

当时，不等式无解，

不等式的整数解只有0，

当时，，无解，

当时，，解得．

故选：C

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题

13．已知函数，若，则______.

【答案】3

【解析】求出，进而求出即可列出等式求解a.

【详解】

，，则.

故答案为：3

【点睛】

本题考查分段函数值，属于基础题.

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________.

【答案】

【解析】由的定义域知在函数中，，解不等式即可求得的定义域.

【详解】

因为函数的定义域为，所以，

所以在函数中，，解得，

故函数的定义域为.

故答案为：

【点睛】

本题考查抽象函数的定义域及其解法，属于基础题.

15．已知函数，则_____________.

【答案】

【解析】利用换元法求解即可.

【详解】

令，则

所以，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用换元法求函数解析式，较简单.

三、双空题

16．已知函数，若关于x的不等式的解集为，则_______；若函数，，则函数的最大值为____________.

【答案】       

【解析】由题意知且，列出方程组求解t、a，求出函数的解析式，并作出函数的图像，数形结合可求得最大值.

【详解】

由题意知，且，即，

由②式可求得或（舍去），

将代入①式可得，解得；

，时，，，

令解得或，

所以，

二次函数的对称轴为，，，作出函数的图像如图所示，

所以函数的最大值为8.

故答案为：；8

【点睛】

本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系、分段函数的图像与性质，属于中档题.

四、解答题

17．解下列不等式：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将原不等式化为，然后由二次函数图象的性质可得答案.

（2）将原不等式移项通分，将分式不等式转为整式不等式求解即可.

【详解】

（1）化原不等式为

或，

则不等式的解集为

（2）化原不等式为

则不等式的解集为.

【点睛】

本题考查一元二次不等式和分式不等式以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.

18．已知集合.

（1）若，求、；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出再与集合B取交集；（2）根据并集的结果可得，分、两种情况进行讨论求解a的取值范围.

【详解】

（1），，

（2），

①若；

②若.

综上所述，.

【点睛】

本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题.

19．已知集合，.

（1）若“命题，”是真命题，求的取值范围.

（2）若“命题，”是真命题，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解分式不等式求出集合A，命题p为真命题则，由此可列出集合B中元素应满足的条件，解不等式组即可；（2）命题q为真则，解不等式即可.

【详解】

由已知得：

（1）.

，解得或，

.

【点睛】

本题考查根据命题的真假求参数的范围、集合之间的关系，属于中档题.

20．已知函数，且

（1）求实数的值；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据条件可直接求出的值；

（2）分、两种情况讨论即可.

【详解】

（1），

（2）由（1）知，，且

或

或

【点睛】

本题考查的是分段函数的知识，较简单.

21．已知二次函数的最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）解关于的不等式：.

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】（1）由题意可得出，且，再由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出函数的解析式；

（2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，由此可得出原不等式的解集.

【详解】

（1）由于二次函数的最小值为，则，且，

所以，，则，解得.

所以，；

（2）由，可得，

即，即.

①当时，即当或时，则有，原不等式的解集为；

②当时，即当或时，解原不等式可得，原不等式的解集为；

③当时，即当时，解原不等式可得，原不等式的解集为.

综上所述，当或时，原不等式的解集为；

当或时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】

本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.

22．已知函数，.

（1）若时，的最大值为6，求实数的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）分、两种情况讨论即可；

（2）由条件可得恒成立，然后分、、三种情况讨论即可.

【详解】

（1），对称轴

①时，，，

②时，，，

综上，

（2）恒成立

即恒成立

①，即或时

若，恒成立，则满足题意，所以，

若，，仅对成立，所以舍去

②，或

对称轴

时，，时式恒成立，所以

时，，时或，

③，开口向下

即时，，故不成立

综上，或

【点睛】

本题考查了二次函数及二次不等式的知识，考查了分类讨论的思想，属于中档题.