黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 Ⅰ 卷
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分．）
1. 一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（ ）
A. 4B. 5C. 9D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理求解.
【详解】第一类从女同学中选1名，有4种不同的选法；
第二类从男同学中选1名，有5种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.
故选：C
2. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用常见函数的导数可以判断B、C的真假，利用积的导数的运算法则判断D的真假，利用商的导数的运算法则判断A的真假.
【详解】∵，故A错误；
∵，故B正确；
∵，故C错误；
∵，故D错误.
故选：B.
3. 已知函数的导函数为，且满足，则等于（ ）
A. 1B. C. -1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知求导得，利用方程思想将代入求值.
【详解】由题意，可得，代入
∴，得
故选：B．
4. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①是函数的极值点；
②在处切线的斜率小于零；
③在区间上单调递增；
④是函数的最小值点．
则正确命题的序号是（ ）
A. ①③B. ①②
C. ③④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的导函数的图象，确定导数值正负所对应的x取值区间，再结合极值的定义、导数的几何意义、判断函数单调性的方法判断各命题作答.
【详解】观察导函数的图象知，当时，，，
当且时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此是函数的极值点，①正确；
，则函数的图象在处切线的斜率大于零，②错误；
，因此函数在区间上单调递增，③正确；
由于在上单调递增，即在上无极值点，④错误.
所以正确命题的序号是①③，A正确.
故选：A
5. 一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.当方盒的容积最大时，（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知：方盒高为，底面是边长为正方形，求出其容积，利用导数判断其在定义域内的单调性，求出函数取最大值时的值即可.
【详解】由题意可得：无盖方盒的底面是边长为的正方形，高为，
则无盖方盒的容积，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故时，方盒的容积最大，
故选：B.
.
6. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）个
① . ②. ③ . ④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用凸函数的定义逐项判断即可.
【详解】①由，得，，
因为，所以，则，即，
故在上是凸函数；
②由，得，是上恒成立，
故在上是凸函数；
③由，得，则是上恒成立，
故在上是凸函数；
④由，得 ，则，故在上不是凸函数.
故选：C
7. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
8. 已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，，，然后构造函数并利用导数研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小.
详解】对，，两边都取自然对数得
，，，
令，得，设，
得，∴在递减，∴，
∴，∴在递减，
又，，，∴，
∴.
故选A.
点睛】本题主要考查构造函数并利用其单调性比较大小问题，属较难题.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间有（ ）
A. B. (0，1)C. (2，＋∞)D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数求得的单调递增区间.
【详解】的定义域为，
，
所以在区间递增.
故选：AC
10. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设函数，，利用导数可得在上单调递减，从而，即可得出答案.
【详解】设函数，，
则，因为恒成立，所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
故AC正确，BD错误
故选：AC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，过原点作曲线的切线l，则l的方程为
B. 当时，在上单调递增
C. 若在上单调递增，则
D. 当时，在上有极小值点
【答案】ABD
【解析】
【分析】设切点坐标并求导及导数的几何意义可求得切线方程，运用导数研究函数的单调性、极值点.
【详解】当时，，设切点为，，，
所以，
又l过原点，则，解得，所以l方程为，故A正确；
当时，，，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，故B正确；
，若在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，得，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，故C错误；
当时，，，
令，则，
当时，，所以，
所以在上单调递增，
又，，
所以由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上有极小值点，故D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数在时取得极大值4，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
13. 在实验中学元旦晚会中有A、B、C、D、E，5个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目A不能安排在第一位和最后一位，节目D、E必须安排连在一起，则这五个节目演出顺序的编排方案共有______种．
【答案】24
【解析】
【分析】把D，E视为一个整体，与B，C作全排列，再把A插入中间两个间隙并排D，E即可.
【详解】把D，E视为一个整体，与B，C作全排列，有种方法，
再把A插入每个排列的中间两个间隙中，有种方法，D，E间的排列有种，
所以五个节目演出顺序的编排方案共有（种）.
故答案为：24
14. 若实数，，，满足，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值.
【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得，
因为切点为，所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解：由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
16. 记函数的导函数为，已知，．
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的最值．
【答案】（1）
（2）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解；
（2）由（1）可知，求得函数的单调性，结合极值和区间端点的函数值，即可求得函数的最值.
【小问1详解】
由函数，可得，
因为，所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，
令，解得或；令，解得，
所以函数在，单调递增，在单调递减，
又因为，，，，
所以，．
17. 已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）求函数的极值．
【答案】（1），
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值.
【小问1详解】
解：因为，则，
因为函数在点处的切线方程为，
则，解得.
【小问2详解】
解：函数的定义域为，则，
由可得，列表如下：
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
18. 已知函数 ，，是自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于的方程 有两个不等实根，求的取值范围；
（3）若 ，为整数，且当时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性；
（2）方程，转化为，利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，求参数的取值范围；
（3）首先参变分离为，再令，，利用导数求函数的单调区间，并求函数的最小值的取值范围，即可求解的最大值.
【小问1详解】
，
若，则恒成立，所以在上单调递增，
若，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，的增区间是，
当时，的减区间是，增区间是；
【小问2详解】
方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，
，
当时，，在区间和单调递减，
并且时，，当时，
当时，，单调递增，
时，当时，取得最小值，，
如图，函数的图象，
与有2个交点，则；
【小问3详解】
当时，，，
所以，
当时，，，
令，，
则，
由（1）可知，在单调递增，而且，
所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，
设此零点为，则，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为，
所以，
所以整数的最大值为2.
【点睛】关键点点睛：本题第二问和第三问的关键是运用参变分离，转化为函数图象的交点问题，以及隐点问题，求最值.
19. 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）已知函数在区间上不存在极值点，求的取值范围；
（3）证明：，.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求，由导数的几何意义求得斜率，再由点斜式可得点斜式方程；
（2），则，由题意可得或，设，等价于或对于恒成立，求导利用单调性转化为最值问题即可求解；
（3）构造函数，利用导数求最值可得，令可得，再累加即可求证.
【小问1详解】
由可得，
所以在点处的切线斜率为，
因为，所以切点为，
所以在点处的切线方程为即.
【小问2详解】
，定义域为，
，
若在区间上不存在极值点，
则或恒成立，
令，则或对于恒成立，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，
若恒成立，则，所以符合题意；
因为对于不可能恒成立，
所以时，恒成立，此时在区间上不存在极值点，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
设，定义域为，
则
由可得；由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以即，
令，则，
所以，
所以，
即.
减
极小值
增