2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学（理）试题

一、单选题

1．两直线与平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据两直线平行，斜率相等即可求出的值.

【详解】

由得，所以的斜率为，

所以，

由得，所以，

解得：，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了两直线平行，斜率相等，属于基础题.

2．若圆，，则和的位置关系是（    ）

A．外离 B．相交 C．内切 D．外切

【答案】D

【解析】求出两圆的圆心距，比较与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系.

【详解】

可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，

，

因此，圆与圆外切.

故选：D.

【点睛】

本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.

3．椭圆与的关系是（    ）

A．有相同的长轴长和短轴长 B．有相等的焦距

C．有相同的焦点 D．有相同的顶点

【答案】B

【解析】利用椭圆的定义分别求出两个方程的，，的值即可判断每个选项的正误.

【详解】

对于椭圆，

焦距，

对于椭圆

顶点坐标与有关，所以长轴长和短轴长与有关，

焦距

故两个椭圆由相等的焦距，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.

4．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】

解：当直线过点时，最大，故选B

5．点关于直线的对称点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设关于直线的对称点坐标为，根据直线与垂直，

和中点在直线上，列方程组即可求解.

【详解】

设关于直线的对称点坐标为，

因为直线与垂直，

所以，即，

又因为和中点在直线上，

所以，即，

所以，，所以点关于直线的对称点坐标为，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了求点关于直线对称的点，属于中档题.

6．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】建立空间直角坐标系，求出和坐标，利用向量夹角的坐标表示即可求解

【详解】

如图：以垂直于的方向为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则 ，，

因为，则，，

即，，

设异面直线与所成角为，，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了求异面直线所成的角，属于中档题.

7．若椭圆的弦被点平分，则所在直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】采用点差法，设，联立方程即可求解

【详解】

设，则满足，

两式作差得，

又被点平分，故，

且直线的斜率存在，所以，

化简得，

则所在直线方程为，

化简得

故选：B

【点睛】

本题考查由椭圆弦中点求对应直线方程，点差法是解决此类题型关键，对于小题，也可熟记结论，属于中档题

8．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.

【详解】

设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，和，

，，

，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆，

且焦点坐标为和，其中, ，

所以，

故椭圆轨迹方程为: ，

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆的轨迹方程，确定轨迹方程的类型是解题的关键.

9．过点作圆的两条切线，切点分别为和，则弦长（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】可知，，，根据四边形的面积建立等量关系可求出.

【详解】

如图，可知，，，

，，

所以四边形的面积，

即，解得.

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与圆相切的相关计算，属于基础题.

10．已知斜率为的直线过椭圆的下焦点，交椭圆于两点，为坐标原点，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，然后求解△OAB的面积.

【详解】

椭圆的下焦点坐标为 ,

∵斜率为1的直线过椭圆的下焦点，

可得直线方程为，

代入椭圆方程可得，

或，

的面积：，

故选：D

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，属于基础题.

11．长方体的外接球表面积为，，则点到平面的距离等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由长方体的外接球表面积为，求得，结合长方体的性质，解得,再根据，即可求得点到平面的距离.

【详解】

如图所示，长方体的外接球表面积为，则，解得，

在长方体中，可得，即，解得,

又由三棱锥的体积为,

在中，，可得,

所以,

设点到平面的距离为，则，

又因为，即，解得，

即点到平面的距离为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了求得表面积公式，长方体的结构特征，以及点到平面的距离的计算，其中解答中合理利用“等体积法”求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查推理与计算能力.

12．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取中点Q，可转化为，即，可求得，，求解即得.

【详解】

取中点Q，由得，

故，

故三角形AFP为等腰三角形，即，

且，所以，

由于P在直线上，故

即，

解得：或，又

故，

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知点是平面区域内的动点，则的最大值为_________.

【答案】13

【解析】作出不等式组表示的可行域，根据表示到的距离的平方即可求解.

【详解】

作出表示的可行域，如下（阴影部分）：

联立，解得，即两直线的交点为，

表示到的距离的平方，

由图可知，点到点的距离最大，

最大值为，

所以的最大值为13.

故答案为：13

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.

14．过作圆的切线，则其切线方程为____________.

【答案】或

【解析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案．

【详解】

圆的圆心为，半径为1，

（1）当过点的直线垂直于轴时，

此时直线斜率不存在，方程是，

圆心到直线的距离为，

直线符合题意；

（2）当过点的直线不垂直于轴时，

设直线方程为，即．

直线是的切线，

点到直线的距离为，解之得，

此时直线方程为．

切线方程为或．

故答案为：或．

【点睛】

借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

15．已知椭圆上动点为，则点到直线的距离的最小值为___________.

【答案】

【解析】设，，求出点到直线的距离，利用三角函数的性质既可以求出最小值.

【详解】

设，，

则点到直线的距离

，

所以当时，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了椭圆上点到直线距离的最值，利用参数方程较简单，属于中档题.

16．已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为____________.

【答案】

【解析】先求出，，，求出，，进而可以求出的周长和面积，设的内切圆半径为，由即可求出，利用坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.

【详解】

设的内切圆半径为，由椭圆的方程知：，，

则，因为垂直于轴，

所以 ，，

解得：，，

的周长为，

其面积为：，

由内切圆的性质得：，即，解得：，

圆心横坐标为：，所以圆心坐标为，

所以所求圆的方程为：，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程，属于中档题.

三、解答题

17．已知直线与相交于点，点为坐标原点，为线段的中点.

（1）求点的坐标；

（2）过点作直线垂直于直线，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）通过联立方程组求出直线的交点坐标，利用中点坐标公式即可求解；

（2）直线垂直于直线可以求出直线的斜率，再结合过点即可求解

【详解】

（1）因为直线与相交于点，

解方程组得所以.

因为，为线段中点，故由中点坐标公式求得.

（2）当时，直线的斜率为，因为直线过，

所以直线的方程：

故直线的方程为：.

【点睛】

本题只要考查了求两条直线的交点坐标，以及求直线的方程，涉及中点坐标公式，两直线垂直斜率为，属于基础题.

18．在平面直角坐标系中，圆经过三点.

（1）求圆的方程；

（2）若圆与直线交于两点，且，求的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）因为圆的圆心在线段的垂直平分线上，所以可设圆的圆心为，即可求出参数，得到圆心坐标，再求出圆的半径，从而求出圆的方程；

（2）依题意可得为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离，从而求出参数的值；

【详解】

解：（1）因为圆的圆心在线段的垂直平分线上，所以可设圆的圆心为，

则有，解得.即圆心为

则圆的半径为.

所以圆的方程为.

（2）因为圆与直线交于两点，且，所以为等腰直角三角形，点到直线距离

解得.

【点睛】

本题考查几何意义法求圆的方程，直线与圆的位置关系求参数的值，属于基础题.

19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，侧面是等边三角形，，，是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明，，利用线面垂直的判定定理即可证平面；

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出坐标以及平面的法向量，利用即可求解.

【详解】

解：（1）因为面，面，所以，

又因为是等边三角形，是线段的中点，所以，

因为，所以平面 .

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设为平面的法向量，

由即，令，可得，

设与平面所成的角为，

，

所以与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题主要考查了证明线面垂直以及利用向量求线面角的正弦，属于中档题

20．如图，在三棱柱中，已知平面，点分别是的中点，点是棱上的任一点.

（1）求证：；

（2）若平面与平面所成的锐角为，且，试确定点在棱上的位置，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）为棱的中点；答案见解析.

【解析】(1)由勾股定理得，以A为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；

（2）求出平面ACCA|的一个法向量和平面AMP的一个法向量，利用向量法能求出P，P是棱AB的中点.

【详解】

（1）由已知得：，所以，

又，所以，，两两垂直.

如图所示以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，.

设.，，

因为，

所以，故.

（2）由已知得，，所以平面的一个法向量为.

又，.

设平面的一个法向量为，则即

令，则，.

所以平面的一个法向量为,

又，

因为平面与平面所成的锐二面角为，且，

所以，解得：，

所以点坐标为，

故为棱的中点.

【点睛】

本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点的位置关系的判断与求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

21．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.

（1）求直线的斜率；

（2）求椭圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线的方程为，其中，计算出坐标原点到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，进而可求得的值，即为直线的斜率；

（2）设点，，，可得出以及，结合两点间的距离公式可求得的值，可求得、的值，由此可得出椭圆的方程.

【详解】

（1）由于点在椭圆上且位于第一象限，椭圆的左焦点为，

由题意可知，直线的斜率存在且为正数，

设直线的方程为，其中，到直线的距离为，

因为直线被圆截得的线段的长为，所以，

又，，，，解得，

因此，直线的斜率为；

（2）设，，，则，

又因为，且，，

所以，，解得，则，，

所以椭圆的方程为.

【点睛】

本题考查直线斜率的求解，同时也考查了利用椭圆的焦半径长求椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.

22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆与两个不同的点，记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由离心率可得，再根据条件求出，即可求出，写出椭圆方程；

（2）设，，直线，则直线，联立椭圆方程，根据弦长公式求出，再求出点到直线的距离，即可表达出的面积，进而求出最大值.

【详解】

（1）由题意知，所以，即，

又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以，，

故椭圆的标准方程为.

（2）设，，直线，

则直线，

由，得，

，.

，

因为，所以的面积等于的面积，，

因为点到直线的距离，

所以

令，则，，

因为，当且仅当，即时，也即时取等号，

所以当时，取得最大值.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的三角形面积最值问题，属于较难题.