黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

哈师大附中2023级十月份月考数学试卷

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集的含义可得答案.

【详解】因为集合，，所以.

故选：B.

2. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可

【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：

对于A：，A错误；

对于B：，B错误；

对于C：，C错误；

对于D：，D正确.

故选：D.

3. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ）

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．

A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定

【答案】C

【解析】

【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论.

【详解】设天平左臂长，右臂长，且，

设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，

所以，，则．

故选：C．

4. 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（     ）

A. 每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和

B. 存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和

C. 每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和

D. 存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解.

【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误;

哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.

故选：D.

5. 已知，则的最小值为（    ）

A. 6 B.  C.  D. 4

【答案】B

【解析】

分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可.

【详解】设，，则，，

，当且仅当，即，时，等号成立.

故选：B.

6. 如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ）

A. 如果,那么 B. 如果,那么

C. 对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D. 对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立

【答案】C

【解析】

【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可

【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,

故选C

【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题

7. 政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合，把有价值的东西看作集合，那么它们的关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的包含关系及集合的交集、并集运算判断即可得出选项.

【详解】根据题意，推不出，能推出，

所以，故.

故选：A

8. 现设计一个两邻边长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时， （     ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意求得，得到矩形的周长为，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由题意知，且，所以，

则该矩形的周长为

，当且仅当，即时，取得等号，

此时.

故选：A.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A 若，且，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小.

【详解】对于A，，又，故，A正确；

对于B，不妨设，则，故B错误.

对于C，，

∵，∴，，，

∴，∴，所以C错误.

对于D，，

∵，∴，，∴，

∴，所以D正确.

故选：AD

10. 如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据题意，由二次函数的图像性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为图像与轴交于两点，所以，即，故A正确；

对称轴为，即，所以，故B错误；

结合图像，当时，，即，故C错误；

由对称轴为知，，根据抛物线开口向下，知，所以，

即，故D正确.

故选：AD

11. 当时，使得不等式恒成立的充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】采用分离变量法可求得不等式恒成立的充要条件为，根据充分不必要条件定义和推出关系依次验证各个选项即可.

【详解】当时，若不等式恒成立，则恒成立，

在上单调递增，，

，即当时，不等式恒成立的充要条件为；

对于A，，，

是的一个充分不必要条件，A正确；

对于B，，，

是的一个充分不必要条件，B正确；

对于C，，，

是的一个既不充分也不必要条件，C错误；

对于D，，，

是的一个既不充分也不必要条件，D错误.

故选：AB.

12. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用重要不等式的合理变形可得，即可知A正确；由基本不等式和不等式性质即可计算B正确；由即可求得C正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出，即D错误.

【详解】对于A，由可得，

又，所以，即，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B，由可得，即，

所以，当且仅当时等号成立，即B正确；

对于C，由可得，

所以可得，即，当且仅当时等号成立，即C正确；

对于D，易知，即；

当且仅当时等号成立，可得D错误；

故选：ABC

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数为____________.

【答案】

【解析】

【分析】解方程可求得集合，由交集结果可知，分别在和的情况下得到的值，由的值构成的集合的元素个数可求得结果.

【详解】由得：或，；

，；

当，即时，，满足题意；

当时，，若，则；若，则；

实数组成的集合为，共个元素，所求子集个数为.

故答案为：.

14. 正数，满足，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由基本不等式可得，，解不等式即可．

【详解】正数、满足，

，当且仅当时取等号，

，解得或（舍去），

则，当且仅当时取等号，即的取值范围是.

故答案为：．

15. 已知，，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

详解】设，

所以，解得，

因为，，则，，

因此，.

故答案为：.

16. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，

所以

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 解下列不等式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】因式分解求解二次不等式即可.

【小问1详解】

即，即，解得.

【小问2详解】

，即，即，

解得或.

即解集为

18. 已知集合，，.

（1）若，求、；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）、   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合的交并补运算，直接计算可得答案；

（2）根据题意，得到，对进行分类讨论，计算可得答案.

【小问1详解】

，，

，

若，则，，

则求、；

【小问2详解】

，

i.，满足题意，所以；

ii.且，需满足，

综上.

19. 已知集合，.

（1）若“命题，”是真命题，求的取值范围；

（2）若“命题，”是真命题，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先解不等式求集合A、B，再根据题意判定两集合的关系计算范围即可；

（2）根据题意判定两集合的关系计算范围即可.

【小问1详解】

由题意可知，即,

若“命题，”是真命题，则，

所以，

故的取值范围为：；

【小问2详解】

若“命题，”是真命题，则，

结合上问可知：

或，

所以或，

所以.

故的取值范围为：

20. 已知.

（1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围；

（2）方程有两个实数根，

①若均大于，试求的取值范围；

②若，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）①；②.

【解析】

【分析】（1）由的充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案.

（2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案.

【小问1详解】

由，得，

即，即，

又，∴，即，

∵的充分不必要条件是，

∴是的真子集，

则，解得，则，

即实数的取值范围是.

【小问2详解】

方程为，

①若均大于，则满足，

解得，故，即的取值范围为.

②若，则，

则，即，即，

解得或，由，得或.

所以，即实数的值是.

21. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；

（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.

【答案】（1）   

（2），118000元

【解析】

【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；

（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.

【小问1详解】

由题意可得，，且，则，

则

【小问2详解】

由（1）可知，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，当米时，元.

22. 已知函数，.

（1）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若时，函数的最小值为，求实数的值；

（3），使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）分别讨论和的情况，结合一元二次不等式恒成立的思想可构造不等式组求得结果；

（2）分别讨论、和情况，通过对二次函数开口方向和对称轴位置的分析得到最值点，利用最值构造方程求得结果；

（3）将问题转化为，令，由二次函数的最值和能成立的思想可得，解不等式可求得结果.

【小问1详解】

当时，，则当时，不成立，不合题意；

当时，由，恒成立得：，

解得：或；

综上所述：实数的取值范围为.

【小问2详解】

①当，即时，在上单调递增，，不合题意；

②当，即时，为开口方向向上，对称轴为的抛物线，

在上单调递增，，不合题意；

③当，即时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线；

若，即，则当时，取得最小值，，不合题意；

若，即，则当时，取得最小值，，

令，解得：；

综上所述：实数的值为.

【小问3详解】

由题意知：，使得成立，

即，使得成立，

即，使得成立；

令，则，使得，

为开口方向向下，对称轴为的抛物线，

，，解得：，

即实数的取值范围为.