黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共22页。

1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若(，是虚数单位)，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
3. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 在中，其内角对边分别为，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知边长为2菱形中，，点为上一动点，点满足，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. 3D.
8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，则
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为D. 的中线的长为
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则的最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若，则最小值为
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________．
13. 在中，内角所对的边分别是，且，当时，的最大值是______．
14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
16. 已知的内角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积．
17. 在中，角对边分别为，且．
（1）证明：为直角三角形；
（2）当时，求周长的最大值．
18. 如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

（1）求大小;
（2）若,求的面积.
19. 如图，在中，已知边上的中点为边上的中点为相交于点．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）过点作直线交边于点，求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值．哈尔滨市第九中学2023-2024学年度下学期
4月份月考高一学年数学学科试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若(，是虚数单位)，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等的条件，求得的值，即可求解.
【详解】因为，即，所以，
所以.
故选：B.
2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，从而求出.
【详解】由正弦定理，即，解得，
又，所以或.
故选：D
3. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
4. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以等腰三角形.
故选：A.
5. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量模的关系式，可选择设，化简此式推得，求得，继而利用向量的夹角公式即可求得.
【详解】设，则.
由，可得，
故以为邻边的平行四边形是矩形，且，
设向量与的夹角为θ，则cs θ＝,
又，所以.
故选：D.
6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为.
故选：B
7. 已知边长为2菱形中，，点为上一动点，点满足，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得关于的表达式，从而得解.
【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则，
则，
由题意，设，则，
则，
所以，
因为，所以当时，的最大值为3.
故选：C
8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.
【详解】由三角形面积公式可得：，故，
，故，
因为，所以，
解得：或0，
因为为锐角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因为为锐角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，
因为，所以，
则.
故选：C
【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量共线、单位向量、投影向量和向量垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得，则与不共线，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：BD.
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为D. 的中线的长为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于选项A，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；
对于选项B，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列；
对于选项C，由正弦定理可得，外接圆直径；根据可求得，由可得的值；
对于选项D，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求得.
【详解】A项：设的内角、、所对的边分别为、、，
因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，
解得，则，，，故的周长为，A正确；
B项：因为，
所以，，故B正确；
C项：因为，所以，由正弦定理得，，C错误；
D项：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D错误.
故选：AB．
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则的最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项，，后由可得答案.
对于B选项，由A分析可知，O，A，B，C四点在同一个圆上.又，则其长度为圆上弦的长度.
对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，设，又，则.
表示出后可得答案.
对于D选项，由结合C选项分析，得，
又由，可得，后由重要不等式可得答案.
【详解】对于A选项，如图，若，则，所以，又，所以，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又，则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时，最大，且最大值等于，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，
设，又，则
.其中.
则
，
当时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合可知.
又，则
，
则由重要不等式有：.
得，当且仅当时取等号.故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题涉及向量，三角函数.判断A，B选项关键为能由得到，从而可以得到O，A，B，C四点在同一个圆上.
判断C，D选项关键，为利用A，B，C在单位圆上设出其坐标，后利用向量坐标表示结合三角函数，不等式知识解决问题.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案．
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得．
故答案为：
13. 在中，内角所对的边分别是，且，当时，的最大值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】由同角的三角函数关系解方程得到，再由余弦定理结合基本不等式求出结果即可.
【详解】因为，即，
解得，
因为，所以
由余弦定理可得
，当且仅当时取等号，
所以最大值是3，
故答案为：3.
14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：设，因为，且，
可得，解得或，
所以或.
【小问2详解】
解：因为，且为单位向量，可得，，
又因为，可得，所以，
则，
因为，所以.
16. 已知的内角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积．
【答案】（1）；
（2）的周长为8，外接圆的面积为.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，将题干条件进行转化，得到，再根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小；
（2）由正弦定理可以直接得到外接圆半径进而得到外接圆面积；由三角形面积公式得到的值，再利用余弦定理求得的值，进而得到的周长.
【小问1详解】
由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，.
【小问2详解】
由正弦定理得，所以外接圆半径，
所以外接圆面积为，
，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长的周长为.
17. 在中，角的对边分别为，且．
（1）证明：为直角三角形；
（2）当时，求周长的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由降幂公式和余弦定理解三角形可得；
（2）利用三角函数把边长表示成角，再用辅助角公式表示出周长，最后利用正弦函数的值域求出最值.
【小问1详解】
证明：因为，即，
由余弦定理可得，
化简可得，
所以为直角三角形.
【小问2详解】
由（1）可得为直角三角形的斜边，
所以两直角边长分别为，
所以设周长为，则，
因为，
所以，即时，周长取得最大值，最大值为.
18. 如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

（1）求的大小;
（2）若,求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小.
（2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为是的角平分线,所以,
在中,根据余弦定理得,
所以,
则,
因为,
所以.
【小问2详解】
因为,所以,
在中,由正弦定理得,
在四边形中,,
所以,
则.
19. 如图，在中，已知边上的中点为边上的中点为相交于点．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）过点作直线交边于点，求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理求解；
（2）建立平面直角坐标系，根据，得到点坐标，再根据向量夹角的坐标运算即可得到两向量夹角的余弦值；
（3）根据中线得到是的重心，设出线段的比例关系，表示出上下两部分的面积之比，用向量共线的条件消去变量，最后得到面积之比的最小值.
【小问1详解】
中，，，，
由余弦定理得，解得（负值舍去）.
【小问2详解】
以为坐标原点，以为轴，以过且与垂直为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
由得，由得，
解得（负值舍去），所以，
又因为边上的中点为，边上的中点为，所以，，
所以，，
则，，，
所以，
即与夹角的余弦值为.
【小问3详解】
因为为的中点，为的中点，所以、是的中线，
所以与的交点是的重心，则，
设，，
则，
因为、、三点共线，所以，得，
又因为，，所以，，，
所以，，
即，所以，
，
所以上下两部分面积之比，
因为，所以，
所以上下两部分图形的面积之比的最小值为.